3. Modélisation A

3.1. Caractéristiques de la modélisation

Traction – compression - traction pure.

Figure 3.1-a: maillage et conditions aux limites.

Modélisation: DKTG

Conditions aux limites:

• Encastrement en \({A}_{1}\) ;

• \(\mathrm{DX}=0.0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\) ;

• \(\mathrm{DX}={U}_{0}\times f(t)\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\) ;

où \({U}_{0}=2.0\times {10}^{-4}m\) et \(f(t)\) représentent l’amplitude du chargement cyclique en fonction du paramètre (de pseudo-temps) \(t\) . Pour bien vérifier le modèle, on considère deux fonctions de chargement comme suit:

Figure 3.1-b: Fonctions de chargement f1 (gauche) et f2 (droite).

Note: la déformation extrémale est: \(2.0\times {10}^{-4}\) , soit bien en-deçà du passage en plasticité des aciers. Pas de tempsd’intégration: \(0.05s\) .

3.2. Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9. Nombre de mailles: 8 TRIA3; 8 SEG2.

3.3. Valeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f1

On compare les forces de réactions moyennes selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) et les déplacements moyens selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathrm{A2}-\mathrm{A4}\) obtenus par la modélisation multi-couches (référence) et par celle reposant sur le modèle GLRC_DM, en terme de différences relatives; la tolérance est prise en valeur absolue sur ces différences relatives:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
TRAC. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=0,25\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
TRAC. - PHASE CHAR. ENDO. \(t=1,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1,2 10-1
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	1,7 10-1
TRAC. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=1,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1,2 10-1
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	1,7 10-1
COMPR. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=3,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	1,7 10-1
COMPR. - PHASE DECHAR. ELAS \(t=3,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	1,7 10-1

Diagrammes comparés efforts \({N}_{xx}\) – déplacement \(\mathrm{DX}\) en traction/compression pour le chargement \(\mathrm{f1}\) :

Diagrammes comparés déplacement \(\mathrm{DY}\) (dû à l’effet de Poisson) en fonction du temps:

Diagrammes de l’évolution de l’endommagement du modèle GLRC_DM (\({d}_{1}\) pour la face supérieure et \({d}_{2}\) pour la face inférieure) en fonction du temps:

À partir des variables d’endommagement, on teste également l’énergie dissipée qui s’écrit: [R7.01.32 §2.7]:

\(E={k}_{0}\times ({d}_{1}+{d}_{2})\) avec ici \({k}_{0}=8.89910J/{m}^{2}\)

L’énergie dissipée a donc le même profil que la courbe ci-dessus.

3.4. Valeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f2

On compare les forces moyennes de réaction selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) et les déplacements moyens selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathrm{A2}-\mathrm{A4}\) obtenus par la modélisation multi-couches (référence) et par celle reposant sur le modèle GLRC_DM, en terme de différences relatives; la tolérance est prise en valeur absolue sur ces différences relatives:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	tolérance
COMPR. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=0,25\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
COMPR, - PHASE CHAR. ENDO. \(t=1,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
COMPR. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=1,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
TRAC. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=3,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1,2 10-1
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	1,7 10-1
TRAC. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=3,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1,2 10-1
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	AUTRE_ASTER	0	1,7 10-1

Diagrammes comparés \({N}_{xx}\) – déplacement \(\mathrm{DX}\) en traction/compression pour le chargement \(\mathrm{f2}\) :

Diagrammes comparés déplacement \(\mathrm{DY}\) (dû à l’effet de Poisson) en fonction du temps:

Diagrammes de l’évolution de l’endommagement du modèle GLRC_DM (\({d}_{1}\) pour la face supérieure et \({d}_{2}\) pour la face inférieure) en fonction du temps:

3.5. Remarques

D’après les courbes précédentes, on constate que le modèle GLRC_DM représente le comportement global du béton armé en traction – compression pure d’une manière satisfaisante. L’erreur relative du modèle GLRC_DM par rapport à la solution de référence est admissible. Il faut noter que la différence entre le modèle GLRC_DM et ENDO_ISOT_BETON est la plus importante durant la phase d’endommagement: le comportement du béton en traction est alors adoucissant et on trouve une pente négative dans le modèle de référence multi-couche, malgré le ferraillage (couches d’acier et couches ENDO_ISOT_BETON) alors que l’une des hypothèses du modèle GLRC_DM est de ne pas modéliser l’adoucissement du béton armé.

Étant basé sur l’hypothèse du matériau équivalent isotrope (voir [R7.01.32]), le modèle GLRC_DM surestime légèrement l’effet de Poisson.

On vérifie aussi la symétrie de la réponse selon le sens choisi de charge en compression-traction ou l’inverse, selon le chargement \(\mathit{f1}\) ou \(\mathit{f2}\) .