1. Problème de référence

1.1. Géométrie

\(e\)

Figure 1.1-a: géométrie de la plaque carrée en béton armé

Longueur: \(l=1.0m\) ;

Épaisseur de la plaque: \(e=0.1m\) .

Diamètre des aciers: \(0.01m\) .

Enrobage des nappes d’armature inférieure et supérieure des aciers selon l’axe \(x\) : \(0.01m\) .

Pour le modèle DHRC, où l’on représente exactement la section, les aciers selon l’axe \(y\) ont un enrobage de \(0.021m\) .

1.2. Propriétés du matériau

Tous les paramètres du modèle GLRC_DM, élastiques et non linéaires, sont identifiés à partir de tests correspondants dans les modélisations A et B , à l’exception du module de Young modifié dans le test D (cisaillement) afin de réduire l’erreur dans le domaine linéaire et ainsi mieux valider la partie endommagement. C’est-à-dire qu’on identifie:

Module de Young effectif de membrane \({E}_{\mathrm{éq}}^{m}\)

Coefficient de Poisson effectif de flexion \({\nu}_{m}\)

Module de Young effectif de flexion \({E}_{\mathrm{éq}}^{f}\)

Coefficient de Poisson effectif de membrane \({\nu}_{f}\)

Effort membranaire du seuil de fissuration en traction \({N}_{D}\) (noté \({\mathit{NYT}}_{\mathit{GLRC}}\) )

Coefficient d’endommagement en traction \({\gamma}_{\mathit{mt}}\)

Coefficient d’endommagement en traction \({\gamma}_{\mathit{mc}}\)

Coefficient d’initiation d’endommagement en compression \({\alpha}_{c}\)

Moment fléchissant du seuil de fissuration en flexion (\({M}_{D}\) noté \({\mathit{MYF}}_{\mathit{GLRC}}\) )

Coefficient d’endommagement en flexion \({\gamma}_{f}\)

Ces paramètres sont calculés à partir des caractéristiques des matériaux acier (modèle élastoplastique \({E}_{a}\) , \({\sigma}_{e}^{\mathrm{acier}}\) , \({E}_{\mathrm{ecr}}^{\mathrm{acier}}\) ) et béton (via le modèle ENDO_ISOT_BETON \({E}_{b}\) , \({\nu}_{b}\) , \({\gamma}_{\mathrm{EIB}}\) , \({\mathrm{SYT}}_{\mathrm{EIB}}\) , voir [R7.01.09]), et vérifiés par calage à partir de la modélisation A et grâce à la modélisation B.

Pour les modélisations H, I, J et L, M, N, les paramètres du modèle GLRC_DM sont calés à partir des paramètres obtenus pour le modèle DHRC, par une procédure d’identification des paramètres automatisée décrite dans le document [R7.01.37], voir [SU.10.01].

Au bilan, voici les valeurs des caractéristiques des matériaux et des paramètres GLRC_DM et EIB:

modélisation	A et B	C	D et E	F	G	H, I, J, L, M et N	K
\({E}_{a}\) , \(\mathrm{MPa}\)	200000	200000	200000	200000	200000	200000	200000
\({\sigma}_{e}^{\mathrm{acier}}\) , \(\mathrm{MPa}\)	570	570	570	4.5	11	570	570
\({E}_{\mathrm{ecr}}^{\mathrm{acier}}\) , \(\mathrm{MPa}\)	300	300	300	3570	4251	300	300
\({E}_{b}\) , \(\mathrm{MPa}\)	32308	32308	32308	32308	32308	32308	32308
\({\nu}_{b}\)	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
D_SIGM_EPSI	\(-0,2\times {E}_{b}\)	\(-0,2\times {E}_{b}\)	\(-0,2\times {E}_{b}\)	\(-0,2\times {E}_{b}\)	\(-0,2\times {E}_{b}\)	\(-0,2\times {E}_{b}\)	\(-0,2\times {E}_{b}\)
\({\gamma}_{\mathrm{EIB}}\)	\(5\)	\(5\)	\(5\)	\(5\)	\(5\)	\(5\)	\(5\)
\({\mathrm{SYT}}_{\mathrm{EIB}}\) , \(\mathrm{MPa}\)	3.4	3.4	3.4	3.4	3.4	3.4	3.4
\({E}_{\mathrm{éq}}^{m}\) , \(\mathrm{MPa}\)	35620	35700	32308	35700	42510	35625	35620
\({E}_{\mathrm{éq}}^{f}\) , \(\mathrm{MPa}\)	38700	38700	38700	35700	73200	38660	38700
\({\nu}_{m}\)	0.18	0.18	0.18	0.18	0.16	0.18	0.18
\({\nu}_{f}\)	0.17	0.17	0.17	0.18	0.12	0.17	0.17
\({\gamma}_{\mathrm{mt}}\)	0.02	0.02	0.02	0.1	0.225	0,06	0.02
\({\gamma}_{c}\)	1	1	1	1	1	0,8	0,02
\({\gamma}_{f}\)	0.32	0.32	0.32	0.1	0.6	0,45	0.32
\({\mathit{NYT}}_{\mathit{GLRC}}\) , \(N/m\)	370000	370000	370000	370000	360000	370000	370000
\({\mathit{MYF}}_{\mathit{GLRC}}\) , \(N\)	9000	9000	9000	5000	1600	9000	9000
\({\alpha}_{c}\)	1	1	1	1	1	1	100

Dans la modélisation C, des paramètres, dont la présence permet le calcul des variables internes V8 à V18, sont ajoutés:

NYC
EPSI_C	0.00232424991421
EPSI_ELS	2E-03
EPSI_LIM	1E-02
RX	0.8
OMX	8E-04
EA	2.E11
SY	5.70000000E8
FTJ	3.4E6
FCJ	48E6

Remarque: on note que la valeur de \({\gamma}_{\mathrm{EIB}}\) , cf.[R7.01.04], est comparable à l’inverse de celle utilisée dans la loi GLRC_DM, cf.[R7.01.32].

L’identification des paramètres du modèle DHRC se fait de manière automatique via une procédure externe effectuée au préalable, considérant que la plaque en béton armé est d’épaisseur \(e=0.1m\) et que les aciers sont de diamètre \(Ø=10\mathrm{mm}\) , espacés de \(10\mathit{cm}\) . Les caractéristiques matériaux élastiques pour le béton et l’acier sont celles du modèle EIB résumées dans le tableau ci-dessus. L’identification nécessite de plus des paramètres d’endommagement pour le béton \({\alpha}_{t}\) , \({\gamma}_{t}\) , \({\alpha}_{c}\) et \({\gamma}_{c}\) dont les valeurs sont estimées à partir des résultats usuels des essais de traction-compression du béton, respectivement: \(1\) , \(-0,04\) , \(1,9\) et \(0,8\) . Les paramètres de seuil pour le modèle DHRC sont choisis à partir des seuils d’endommagement du béton seul en traction et de glissement acier-béton à \(1,7\mathrm{MPa}\) et \(1,6\mathrm{MPa}\) , respectivement. Toutes ces valeurs, qui sont des données d’entrée de l’outil d’identification [SU1.10.01], sont résumées dans le tableau ci-dessous:

\({E}_{a}\) , \(\mathrm{MPa}\)	\({\nu}_{a}\)	\({E}_{b}\) , \(\mathrm{MPa}\)	\({\nu}_{b}\)	\({\alpha}_{t}\)	\({\gamma}_{t}\)	\({\alpha}_{c}\)	\({\gamma}_{c}\)	\({\sigma}_{d}\) , \(\mathrm{MPa}\)	\({\tau}_{\mathrm{crit}}\) , \(\mathrm{MPa}\)
200 000	0,2	32 308	0,2	1	-0,04	1,9	0,8	1,7	1,6

1.3. Conditions aux limites et chargements

On considère différentes modélisations de A à P pour différents types de chargements caractéristiques et différents comportements de la plaque. Dans tous les cas, les chargements sont des déplacements (ou des rotations) imposé(e)s aux bords de la plaque différemment pour chaque modélisation.

Les modélisations considérées sont:

• modélisation A: traction – compression - traction pure et test de DEFI_GLRC; GLRC_DM

• modélisation B: flexion pure alternée; GLRC_DM

• modélisation C: couplage de traction - compression et flexion; GLRC_DM

• modélisation D: cisaillement pur et distorsion dans le plan; GLRC_DM

• modélisation E: couplage de flexion et cisaillement dans le plan; GLRC_DM

• modélisation F: traction – compression pure – avec «kit_dll» de comportement élastoplastique endommageable (GLRC_DM + Von Mises);

• modélisation G: cisaillement pur – avec «kit_ddl» de comportement élastoplastique endommageable (GLRC_DM + Von Mises);

• modélisation H: traction – compression pure, sollicitations élevées; GLRC_DM et DHRC

• modélisation I: flexion pure alternée, sollicitations élevées; GLRC_DMet DHRC

• modélisation J: couplage traction/compression et flexion, sollicitations élevées; GLRC_DMet DHRC

• modélisation K: compression - traction avec ALPHA_C=100; GLRC_DM

• modélisation L: cisaillement pur et distorsion dans le plan, sollicitations élevées; GLRC_DM et DHRC

• modélisation M: couplage flexion et cisaillement dans le plan, sollicitations élevées; GLRC_DMet DHRC

• modélisation N:flexion anticlastique, sollicitations élevées; GLRC_DMet DHRC

• modélisation O: sollicitations chargement thermique; GLRC_DM, GLRC_DAMAGE, DHRC et ELAS.

1.4. Conditions initiales

Au départ les déplacements et les contraintes valent zéro partout.