r3.03.01 Dualisation des conditions aux limites

Résumé :

On explique le principe des multiplicateurs de Lagrange pour résoudre les systèmes linéaires sous contraintes affines issues de l’imposition des conditions aux limites de type cinématique. La matrice de rigidité obtenue n’étant plus définie positive, certains algorithmes de résolution deviennent donc inutilisables. On cherche donc une technique pour pouvoir continuer à utiliser l’algorithme de factorisation \({\mathit{LDL}}^{T}\) sans permutation et sans élimination. La technique proposée est celle des « doubles Lagrange » (utilisée dans le code Castem2000). On démontre que cette technique est efficace. On donne quelques indications sur le conditionnement des matrices obtenues par cette technique.

Le problème de la recherche des modes propres des systèmes contraints est ensuite examiné. On montre qu’une solution possible est d’ajouter les conditions aux limites dualisées à la matrice de rigidité et de ne pas toucher à la matrice de masse.

Table des matières

• 1. Introduction
• 2. Dualisation des conditions aux limites cinématiques, principe des multiplicateurs de Lagrange
  • 2.1. Objectifs
  • 2.2. Principe et justification
• 3. Inconvénients de cette dualisation
  • 3.1. Exemple 1
  • 3.2. Exemple 2
• 4. Principe des « doubles Lagrange »
  • 4.1. Méthodologie
  • 4.2. Illustration
• 5. Avantage supplémentaire
• 6. Remarque sur le conditionnement du système
• 7. Modes propres et paramètres de Lagrange
  • 7.1. Introduction
  • 7.2. Problème mécanique à résoudre
  • 7.3. Système réduit
  • 7.4. Matrice de rigidité réduite
  • 7.5. Matrice de masse réduite
  • 7.6. Système aux valeurs propres
  • 7.7. Système dualisé
  • 7.8. Exemple
  • 7.9. Conclusions
• 8. Annexe: démonstrations de quelques résultats
  • 8.1. Problèmes équivalents
  • 8.2. Démonstration de la règle \({R}_{0}\)
  • 8.3. Démonstration