r3.06.08 Éléments finis traitant la quasi-incompressibilité#
Résumé:
Dans certaines situations, le comportement mécanique du matériau impose que la dilatation volumique reste nulle, autrement dit que la déformation se fasse à volume constant : élasticité isotrope avec coefficient de Poisson égal à \(0.5\), écoulements plastiques parfaits en analyse limite …
On propose ici de traiter cette condition d” «incompressibilité» ou de «quasi-incompressibilité» en utilisant une formulation valable aussi bien dans le cas compressible que dans le cas quasi-incompressible. Pour cela, on utilise une formulation variationnelle à 3 champs où les inconnues sont le déplacement, la déformation volumique et le multiplicateur de Lagrange associé (qui correspondrait à la pression dans le cas incompressible). On propose deux versions de cette formulation: l’une pour les petites déformations, l’autre valable en présence de grandes déformations. Dans la situation d’une relation biunivoque entre la pression et le gonflement, cas de la plasticité de Von Mises, il est possible de venir éliminer l’inconnue de gonflement. On a alors une formulation à deux champs déplacement/pression.
Après quelques rappels sur les difficultés que posent la résolution des problèmes incompressibles, on décrit
les éléments finis mixtes implantés (en 3D et en 2D, plan et axisymétrique en petites et en grandes déformations),
et on présente également les grandes lignes de l’intégration dans code_aster (modélisations INCO_UP, INCO_UPG, INCO_UPO).
Cette modélisation est nécessaire pour pratiquer les analyses limites et pour modéliser des comportements élastiques pour des coefficients de Poisson proche de \(0.5\) . Elle peut aussi être utile dans le cas de modélisations engendrant de fortes déformations plastiques et pour lesquelles les modélisations traditionnelles peuvent être insuffisantes et engendrer des oscillations de contraintes.