15. Annexe#
15.1. Chargement de rotation uniforme autour de \(\mathrm{OZ}\)#
15.1.1. Modèle 2D axisymétrique#
La densité de force centrifuge est: \(\rho {\Omega}^{2}r{e}_{r}\) .
On envisage les conditions aux limites suivantes:
\({u}_{z}(r,z)=0\) en \(z=0\) et \(z=L\)
On postule le déplacement sous la forme:
\({u}_{r}=u(r)\)
\({u}_{z}={u}_{\theta}=0\)
Ainsi:
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}=u'\) ; \({\varepsilon}_{\theta \theta }=\frac{u}{r}\) ; \({\varepsilon}_{zz}={\varepsilon}_{\mathrm{rz}}={\varepsilon}_{\theta z}={\varepsilon}_{r\theta }=0\)
Géométrie du cylindre creux :
\(R=20\mathrm{mm}\)
\(h=1\mathrm{mm}\)
Les contraintes élastiques s’expriment:
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu )u'+\nu \frac{u}{r}]\)
\({\sigma}_{\theta \theta }=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu )\frac{u}{r}+\nu u']\)
\({\sigma}_{zz}=\frac{\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[\frac{u}{r}+u']\)
L’équation d’équilibre radial s’écrit:
\({(r{\sigma}_{\mathrm{rr}})}_{,r}-{\sigma}_{\theta \theta }=-\rho {\Omega}^{2}{r}^{2}\)
Ainsi:
\((\frac{(\mathrm{ru})'}{r})'=\frac{-(1+\nu )(1-2\nu )}{(1-\nu )E}\rho {\Omega}^{2}r\) \(\mathrm{éq}1.1-1\)
Note :
\(\frac{u}{r}+u'=\frac{(\mathrm{ru})'}{r}\)
D’où la solution générale:
\(u(r)=\frac{-(1+\nu )(1-2\nu )}{(1-\nu )E}\rho {\Omega}^{2}\frac{{r}^{3}}{8}+\mathrm{Ar}+\frac{B}{r}\) \(\mathrm{éq}1.1-2\)
Les contraintes sont alors:
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}(r)=\frac{-3-2\nu }{1-\nu }\rho {\Omega}^{2}\frac{{r}^{2}}{8}+\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}(A-(1-2\nu )\frac{B}{{r}^{2}})\)
\({\sigma}_{\theta \theta }(r)=\frac{-1+2\nu }{1-\nu }\rho {\Omega}^{2}\frac{{r}^{2}}{8}+\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}(A-(1-2\nu )\frac{B}{{r}^{2}})\) \(\mathrm{éq}1.1-3\)
\({\sigma}_{zz}(r)=\frac{-\nu }{1-\nu }\rho {\Omega}^{2}\frac{{r}^{2}}{2}+\frac{2\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}A\)
Les conditions aux limites en contraintes sont:
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}=0\) en \(r=R\pm \frac{h}{2}\)
On note:
\(x=\frac{h}{\mathrm{2R}}\)
On obtient grâce à \([\mathrm{éq}1.1-3]\) :
\(B=\frac{(3-2\nu )(1+\nu )}{8(1-\nu )E}\rho {\Omega}^{2}{R}^{4}{(1-{x}^{2})}^{2}\)
puis:
\(A=\frac{(3-2\nu )(1+\nu )(1-2\nu )}{4(1-\nu )E}\rho {\Omega}^{2}{R}^{2}(1-{x}^{2})\)
Application numérique:
\(\rho =8.10–\mathrm{6 }\mathrm{kg}/{\mathrm{mm}}^{3}\)
\(\Omega =\mathrm{1 }{s}^{-1}\)
\(E=2.105N/{\mathrm{mm}}^{2}\)
\(\nu =0.3\)
D’où: \(A={\mathrm{7.13588.10}}^{-9}{\mathrm{mm}}^{2}\)
\(B={\mathrm{3.561258.10}}^{-\mathrm{6 }}{\mathrm{mm}}^{2}\)
Note :
\(\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{(1-\nu )E}\rho \frac{{\Omega}^{2}}{8}=3.714286E-12{\mathrm{mm}}^{2}\)
\(\frac{\nu}{1-\nu }\rho \frac{{\Omega}^{2}}{2}=1.714286E-6{\mathrm{MPa.mm}}^{2}\)
Ainsi:
en peau interne : \(\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}=2.9424{E}^{-7}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=0.99488{E}^{-3}\mathrm{Mpa}\end{array}\)
en peau externe : \(\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}=2.8801{E}^{-7}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=0.92631{E}^{-3}\mathrm{Mpa}\end{array}\)
15.1.2. Modèle coque axisymétrique#
La force centrifuge équivaut à une pression répartie :
\(p=\rho {\Omega}^{2}\mathrm{hR}(1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})\)
La solution est membranaire, l’équilibre normal s’écrit:
\({N}_{\theta \theta }=\mathrm{pR}\)
La déformation membranaire est: \({E}_{\theta \theta }=\frac{w}{R}\) , alors que \({E}_{\theta \theta }=0={K}_{\theta \theta }={K}_{zz}\) .
En élasticité:
\({N}_{\theta \theta }=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}{E}_{\theta \theta }\) ; \({N}_{zz}=\nu {N}_{\theta \theta }\) ; \({M}_{\alpha \beta }=0\)
D’où la solution (flèche et effort normal circonférentiel):
\(p=\rho {\Omega}^{2}\mathrm{hR}(1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})\) ; \({N}_{\theta \theta }=\rho {\Omega}^{2}{R}^{2}h(1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})\)
La contrainte axiale vaut:
\({\sigma}_{zz}=\nu \rho {\Omega}^{2}{R}^{2}(1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})\) (constante dans l’épaisseur)
Si on ne tient pas compte de la correction de métrique, il faut ôter le terme \((1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})\) dans les expressions précédentes.
Application numérique (sans correction de métrique) :
\(p=1,600000.10–4\mathrm{MPa}\)
\(w=2,912000.10–7\mathrm{mm}\)
\({N}_{zz}=0,96000.10–3N/\mathrm{mm}\)
\({\sigma}_{zz}=0,96000.10–3\mathrm{MPa}\)
15.2. Chargement de pesanteur#
15.2.1. Modèle 2D axisymétrique#
La densité de force est: \(-\rho g{e}_{z}\) (pesanteur verticale).
On envisage les conditions aux limites suivantes:
\({U}_{z}(r,z)=0\) en \(r=R\) et \(z=0\) (cercle d’appui)
avec la traction uniforme: \({\sigma}_{zz}(r,z)=\rho gL\) en \(z=L\) , équilibrant le poids.
On postule la solution élastique du type:
\(\sigma =(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {\sigma}_{zz}\end{array})\)
de sorte que:
\({\sigma}_{zz}(r,z)=\rho gL\) ; \({\varepsilon}_{\mathrm{rz}}=0={\varepsilon}_{r\theta }={\varepsilon}_{\theta z}\)
On observe ainsi:
\({u}_{r,r}=\frac{{u}_{r}}{r}\iff {u}_{r}(r,z)=-\nu A'(z)r\)
Puis:
\(\begin{array}{}-\nu A'(z)={\varepsilon}_{\mathrm{rr}}=-\nu {\varepsilon}_{zz}\iff {u}_{z,z}(r,z)=A'(z)\\ \iff {u}_{r}(r,z)=A(z)+B\end{array}\)
De \({\varepsilon}_{\mathrm{rz}}=0\) , on tire:
\(B'(r)-\nu \mathrm{rA}''(z)=0\)
soit:
\(A''(z)=\mathrm{cste}=\alpha\) ; \(B'(r)=\alpha \nu r\)
Des conditions aux limites en effort, on obtient:
\(A(z)=\frac{\rho g{z}^{2}}{2E}+\beta\) ; \(B(r)=\nu \frac{\rho g{r}^{2}}{2E}\)
Enfin, \(\beta\) vérifie: \(\beta =-\nu \rho g\frac{{R}^{2}}{2E}\)
Ainsi:
\(\begin{array}{}{u}_{r}(r,z)=\frac{-\nu \rho gzr}{E};{u}_{z}(r,z)=\frac{\rho g}{2E}({z}^{2}+\nu ({r}^{2}–{R}^{2}))\\ {\sigma}_{zz}(r,z)=\rho gz\end{array}\) \(\mathrm{éq}2.1-1\)
Application numérique
\(g=\mathrm{10 }N/\mathrm{kg}\)
\(\rho ={8.10}^{-\mathrm{6 }}\mathrm{kg}/{\mathrm{mm}}^{3}\)
\(R=\mathrm{20 }\mathrm{mm}\)
\(L=\mathrm{10 }\mathrm{mm}\)
\(E={2.10}^{\mathrm{5 }}N/{\mathrm{mm}}^{2}\)
\(\nu =0.3\)
\(h=\mathrm{1 }\mathrm{mm}\)
en peau interne : \(\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}(L)=-2.34000{E}^{-8}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}(L)=8.0000{E}^{-4}\mathrm{Mpa}\\ {u}_{z}(O)=-1.185000{E}^{-9}\mathrm{mm}\end{array}\)
en peau externe : \(\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}(L)=-2.46000{E}^{-8}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}(L)=8.0000{E}^{-4}\mathrm{Mpa}\\ {u}_{z}(O)=1.215000{E}^{-9}\mathrm{mm}\end{array}\)
15.2.2. Modèle coque axisymétrique#
Une traction verticale est exercée en \(z=L\) :
\(F=\rho ghL\)
La pesanteur conduit à une force verticale:
\(f=-\rho gh{e}_{z}\)
La condition aux limites sur le cercle d’appui est: \({u}_{z}(z)=0\) en \(z=0\)
La solution est membranaire, l’équilibre vertical s’écrit:
\({N}_{zz,z}=\rho gh\)
De plus: \({N}_{\theta \theta }=0\) . En élasticité, on déduit alors:
\({E}_{\theta \theta }=\frac{w}{R}=\frac{-\nu {N}_{zz}}{\mathrm{Eh}}=\frac{-\nu \rho gz}{E}\)
\({E}_{zz}={u}_{z,z}=\frac{{N}_{zz}}{\mathrm{Eh}}\Rightarrow {u}_{z}(z)=\frac{\rho g}{2E}{z}^{2}\)
La contrainte axiale est:
\({\sigma}_{zz}=\rho gz\) (constante dans l’épaisseur)
Application numérique:
\(F={8.10}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}\)
\(w(L)=-{\mathrm{2.4000.10}}^{-8}\mathrm{mm}\)
\({N}_{zz}(L)={\mathrm{8.0000.10}}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}\)
\({\sigma}_{zz}(L)={\mathrm{8.0000.10}}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}\)
15.3. Chargement thermomécanique#
15.3.1. Modèle 2D axisymétrique#
\(T(r)–{T}_{\mathrm{réf}}(r)=\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{({T}_{s}–{T}_{i})}{h}(r-R)\) \(\mathrm{éq}\mathrm{3.1.}-1\)
On postule le déplacement sous la forme:
\({u}_{r}=u(r)\) ; \({u}_{z}={u}_{\theta}=0\)
avec les conditions aux limites idoines. Ainsi, les contraintes élastiques s’expriment:
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu )u'+\nu \frac{u}{r}]-\frac{\alpha E}{1-2\nu }(T-{T}_{\mathrm{réf}})\)
\({\sigma}_{\theta \theta }=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu )\frac{u}{r}+\nu u']-\frac{\alpha E}{1-2\nu }(T-{T}_{\mathrm{réf}})\) \(\mathrm{éq}1.1-3\)
\({\sigma}_{zz}=\frac{\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[\frac{u}{r}+u']-\frac{\alpha E}{1-2\nu }(T-{T}_{\mathrm{réf}})\)
L’équation d’équilibre radial \({(r,{\sigma}_{\mathrm{rr}})}_{,r}-{\sigma}_{\theta \theta }=0\) donne:
\((\frac{(\mathrm{ru})'}{r})'=\frac{\alpha (1+\nu ')}{(1-\nu )}(T-{T}_{\mathrm{réf}})'\) \(\mathrm{éq}3.1-2\)
D’où la solution générale:
\(u(r)=\frac{\alpha (1+\nu )}{(1-\nu )}\frac{({T}_{s}-{T}_{i})}{h}\frac{{r}^{2}}{3}+\mathrm{Ar}+\frac{B}{r}\) \(\mathrm{éq}3.1-3\)
Les contraintes sont alors:
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}(r)=\frac{\alpha E({T}_{s}-{T}_{i})}{h}(\frac{R}{1-2\nu }-\frac{r}{3(1-\nu )})-\frac{\alpha E}{1-2\nu }({T}_{s}-{T}_{i})+\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}(A-(1-2\nu )\frac{B}{{r}^{2}})\)
\({\sigma}_{\theta \theta }(r)=\frac{\alpha E({T}_{s}-{T}_{i})}{h}(\frac{R}{1-2\nu }-\frac{\mathrm{2r}}{3(1-\nu )})-\frac{\alpha E}{1-2\nu }({T}_{s}-{T}_{i})+\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}(A-(1-2\nu )\frac{B}{{r}^{2}})\)
\({\sigma}_{zz}(r)=\frac{\alpha E({T}_{s}-{T}_{i})}{h}(\frac{R}{1-2\nu }-\frac{r}{3(1-\nu )})-\frac{\alpha E}{1-2\nu }({T}_{s}-{T}_{i})+\frac{2\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}A\) \(\mathrm{éq}3.1-4\)
Les conditions aux limites en efforts sont: en \(r=R\pm \frac{h}{2},{\sigma}_{\mathrm{rr}}=0\) . On note: \(x=\frac{h}{\mathrm{2R}}\) . On obtient grâce à \([\mathrm{éq}3.1-4]\) :
\(B=\frac{\alpha ({T}_{s}-{T}_{i})}{\mathrm{6h}(1-\nu )}(1+\nu ){R}^{3}{(1-{x}^{2})}^{2}\)
puis:
\(A=\alpha (1+\nu )[\frac{-({T}_{s}-{T}_{i})R}{\mathrm{6h}(1-\nu )}(3-(1-2\nu ){x}^{2})+\frac{({T}_{s}+{T}_{i})}{2}]\)
Application numérique:
\(F={8.10}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}\)
\(w(L)=-{\mathrm{2.4000.10}}^{-8}\mathrm{mm}\)
\({N}_{zz}(L)={\mathrm{8.0000.10}}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}\)
\({\sigma}_{zz}(L)={\mathrm{8.0000.10}}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}\)
D’où: \(A=-{\mathrm{0.18569881.10}}^{-3}{\mathrm{mm}}^{2}\)
\(B=0.02473096{\mathrm{mm}}^{2}\)
Note :
\(\frac{\alpha (1+\nu )}{1-\nu }\frac{{T}_{s}–{T}_{i}}{\mathrm{3h}}=0.61904762E-5\)
en peau interne : \(\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}=1.056145{E}^{-6}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=1.4321427\mathrm{Mpa}\end{array}\)
en peau externe : \(\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}=1.110317{E}^{-6}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=-1.4250001\mathrm{Mpa}\end{array}\)
\(\begin{array}{}{\sigma}_{zz}=1.449319\mathrm{Mpa}\\ \mathrm{ou}\\ {\sigma}_{zz}=1.428671\mathrm{Mpa}\text{( sans correction métrique )}\end{array}\)
Dans le cas où l’on prend \({T}_{s}={T}_{i}=0.1°C\) :
\(A=0,00130000{.10}^{-3}\)
\(B=\mathrm{0,0 }{\mathrm{mm}}^{2}\)
Ainsi:
en peau interne : \(\begin{array}{}{u}_{r}=25.350000{E}^{-6}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=-0.200000\mathrm{Mpa}\end{array}\)
en peau externe : \(\begin{array}{}{u}_{r}=26.650000{E}^{-6}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=-0.200000\mathrm{Mpa}\end{array}\)
15.3.2. Modèle coque axisymétrique#
Pour le champ de température dans l’épaisseur donné par \([\mathrm{éq}3.1-1]\) , on obtient l’expression suivante de la loi de comportement:
\(\begin{array}{}{N}_{\theta \theta }=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}({E}_{\theta \theta }+\nu {E}_{zz})-\frac{\alpha Eh}{1-\nu }[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}-{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]\\ {N}_{zz}=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}(\nu {E}_{\theta \theta }+{E}_{zz})-\frac{\alpha Eh}{1-\nu }[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}-{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]\end{array}\) \(\mathrm{éq}3.2-1\)
et:
\(\begin{array}{}{N}_{\theta \theta }=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}({E}_{\theta \theta }+\nu {E}_{zz})-\frac{\alpha Eh}{1-\nu }[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}-{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]\\ {N}_{zz}=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}(\nu {E}_{\theta \theta }+{E}_{zz})-\frac{\alpha Eh}{1-\nu }[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}-{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]\end{array}\) \(\mathrm{éq}3.2-2\)
D’après ces expressions, les termes thermiques en
sont à négliger si l’on ne considère pas la correction de métrique dans l’épaisseur, c’est-à-dire dans le cas des modèles habituels.
Dans notre situation:
\({E}_{\theta \theta }=\frac{w}{R}\)
\({E}_{zz}=0\)
\({K}_{\theta \theta }={K}_{zz}=0\)
L’équilibre normal à la coque s’écrit:
\({N}_{\theta \theta }=0\)
d’où la flèche:
\(w=\alpha (1+\nu )[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]R\)
et:
\({N}_{zz}=\alpha \mathrm{Eh}[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]\)
\({M}_{zz}=\frac{-\alpha {\mathrm{Eh}}^{2}}{12(1-\nu )}[({T}_{s}-{T}_{i})+\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}\frac{h}{R}]\)
Comme le second membre de dilatation ne tient pas compte de la correction de métrique, les termes en
ci-dessus sont négligés.
Application numérique
\(R=\mathrm{20 }\mathrm{mm}\)
\(h=\mathrm{1 }\mathrm{mm}\)
\(\alpha ={10}^{-5}°{C}^{-1}\)
\({T}_{s}={T}_{i}=0.5°C\)
\(\nu =0.3\)
\(E={2.10}^{5}N/{\mathrm{mm}}^{2}\)
D’où:
\({M}_{zz}=-0.2380952N\)
en peau interne : \(\begin{array}{}{\sigma}_{zz}=1.449319\mathrm{Mpa}\\ \mathrm{ou}\\ {\sigma}_{zz}=1.428671\mathrm{Mpa}\text{( sans correction métrique )}\end{array}\)
Dans le cas où l’on prend \({T}_{s}={T}_{i}=0,1°C\) :
\(w={\mathrm{26.00000.10}}^{-6}\mathrm{mm}\)
\({N}_{zz}=–0.2{\mathrm{N.mm}}^{-1}\)
\({M}_{zz}=–0.001190476N\)
en peau interne : \(\begin{array}{}{\sigma}_{zz}=-0.2122466\mathrm{Mpa}\\ \mathrm{ou}\\ {\sigma}_{zz}=-0.200000\mathrm{Mpa}\text{( sans correction métrique )}\end{array}\)
**Les contraintes dans l’épaisseur avec correction de métrique sont données par:*
\({\sigma}_{zz}({x}_{3})=\frac{{N}_{zz}–\frac{{M}_{zz}}{R}}{h(1-\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})}+({M}_{zz}-{N}_{zz}\frac{{h}^{2}}{\mathrm{12R}})\frac{{\mathrm{12x}}_{3}}{{h}^{3}(1-\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})}\)