Annexe ====== Chargement de rotation uniforme autour de :math:`\mathrm{OZ}` ------------------------------------------------------------- Modèle 2D axisymétrique ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La densité de force centrifuge est: :math:`\rho {\Omega}^{2}r{e}_{r}` . On envisage les conditions aux limites suivantes: :math:`{u}_{z}(r,z)=0` en :math:`z=0` et :math:`z=L` On postule le déplacement sous la forme: :math:`{u}_{r}=u(r)` :math:`{u}_{z}={u}_{\theta}=0` Ainsi: :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}=u'` ; :math:`{\varepsilon}_{\theta \theta }=\frac{u}{r}` ; :math:`{\varepsilon}_{zz}={\varepsilon}_{\mathrm{rz}}={\varepsilon}_{\theta z}={\varepsilon}_{r\theta }=0` .. image:: images/100010AE000010F300001ADFB4542473AA5068E3.svg :width: 218 :height: 346 .. _RefImage_100010AE000010F300001ADFB4542473AA5068E3.svg: Géométrie du cylindre creux : :math:`R=20\mathrm{mm}` :math:`h=1\mathrm{mm}` Les contraintes élastiques s'expriment: :math:`{\sigma}_{\mathrm{rr}}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu )u'+\nu \frac{u}{r}]` :math:`{\sigma}_{\theta \theta }=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu )\frac{u}{r}+\nu u']` :math:`{\sigma}_{zz}=\frac{\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[\frac{u}{r}+u']` L'équation d'équilibre radial s'écrit: :math:`{(r{\sigma}_{\mathrm{rr}})}_{,r}-{\sigma}_{\theta \theta }=-\rho {\Omega}^{2}{r}^{2}` Ainsi: :math:`(\frac{(\mathrm{ru})'}{r})'=\frac{-(1+\nu )(1-2\nu )}{(1-\nu )E}\rho {\Omega}^{2}r` :math:`\mathrm{éq}1.1-1` **Note :** :math:`\frac{u}{r}+u'=\frac{(\mathrm{ru})'}{r}` D'où la solution générale: :math:`u(r)=\frac{-(1+\nu )(1-2\nu )}{(1-\nu )E}\rho {\Omega}^{2}\frac{{r}^{3}}{8}+\mathrm{Ar}+\frac{B}{r}` :math:`\mathrm{éq}1.1-2` Les contraintes sont alors: :math:`{\sigma}_{\mathrm{rr}}(r)=\frac{-3-2\nu }{1-\nu }\rho {\Omega}^{2}\frac{{r}^{2}}{8}+\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}(A-(1-2\nu )\frac{B}{{r}^{2}})` :math:`{\sigma}_{\theta \theta }(r)=\frac{-1+2\nu }{1-\nu }\rho {\Omega}^{2}\frac{{r}^{2}}{8}+\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}(A-(1-2\nu )\frac{B}{{r}^{2}})` :math:`\mathrm{éq}1.1-3` :math:`{\sigma}_{zz}(r)=\frac{-\nu }{1-\nu }\rho {\Omega}^{2}\frac{{r}^{2}}{2}+\frac{2\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}A` Les conditions aux limites en contraintes sont: :math:`{\sigma}_{\mathrm{rr}}=0` en :math:`r=R\pm \frac{h}{2}` On note: :math:`x=\frac{h}{\mathrm{2R}}` On obtient grâce à :math:`[\mathrm{éq}1.1-3]` : :math:`B=\frac{(3-2\nu )(1+\nu )}{8(1-\nu )E}\rho {\Omega}^{2}{R}^{4}{(1-{x}^{2})}^{2}` puis: :math:`A=\frac{(3-2\nu )(1+\nu )(1-2\nu )}{4(1-\nu )E}\rho {\Omega}^{2}{R}^{2}(1-{x}^{2})` **Application numérique:** :math:`\rho =8.10–\mathrm{6 }\mathrm{kg}/{\mathrm{mm}}^{3}` :math:`\Omega =\mathrm{1 }{s}^{-1}` :math:`E=2.105N/{\mathrm{mm}}^{2}` :math:`\nu =0.3` D'où: :math:`A={\mathrm{7.13588.10}}^{-9}{\mathrm{mm}}^{2}` :math:`B={\mathrm{3.561258.10}}^{-\mathrm{6 }}{\mathrm{mm}}^{2}` **Note :** :math:`\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{(1-\nu )E}\rho \frac{{\Omega}^{2}}{8}=3.714286E-12{\mathrm{mm}}^{2}` :math:`\frac{\nu}{1-\nu }\rho \frac{{\Omega}^{2}}{2}=1.714286E-6{\mathrm{MPa.mm}}^{2}` Ainsi: * en peau interne : :math:`\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}=2.9424{E}^{-7}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=0.99488{E}^{-3}\mathrm{Mpa}\end{array}` * en peau externe : :math:`\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}=2.8801{E}^{-7}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=0.92631{E}^{-3}\mathrm{Mpa}\end{array}` Modèle coque axisymétrique ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La force centrifuge équivaut à une **pression répartie** : :math:`p=\rho {\Omega}^{2}\mathrm{hR}(1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})` La solution est membranaire, l'équilibre normal s'écrit: :math:`{N}_{\theta \theta }=\mathrm{pR}` La déformation membranaire est: :math:`{E}_{\theta \theta }=\frac{w}{R}` , alors que :math:`{E}_{\theta \theta }=0={K}_{\theta \theta }={K}_{zz}` . En élasticité: :math:`{N}_{\theta \theta }=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}{E}_{\theta \theta }` ; :math:`{N}_{zz}=\nu {N}_{\theta \theta }` ; :math:`{M}_{\alpha \beta }=0` D'où la solution (flèche et effort normal circonférentiel): :math:`p=\rho {\Omega}^{2}\mathrm{hR}(1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})` ; :math:`{N}_{\theta \theta }=\rho {\Omega}^{2}{R}^{2}h(1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})` La contrainte axiale vaut: :math:`{\sigma}_{zz}=\nu \rho {\Omega}^{2}{R}^{2}(1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})` (constante dans l'épaisseur) Si on ne tient pas compte de la correction de métrique, il faut ôter le terme :math:`(1+\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})` dans les expressions précédentes. **Application numérique** (sans correction de métrique) **:** :math:`p=1,600000.10–4\mathrm{MPa}` :math:`w=2,912000.10–7\mathrm{mm}` :math:`{N}_{zz}=0,96000.10–3N/\mathrm{mm}` :math:`{\sigma}_{zz}=0,96000.10–3\mathrm{MPa}` Chargement de pesanteur ----------------------- Modèle 2D axisymétrique ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La densité de force est: :math:`-\rho g{e}_{z}` (pesanteur verticale). On envisage les conditions aux limites suivantes: :math:`{U}_{z}(r,z)=0` en :math:`r=R` et :math:`z=0` (cercle d'appui) avec la traction uniforme: :math:`{\sigma}_{zz}(r,z)=\rho gL` en :math:`z=L` , équilibrant le poids. On postule la solution élastique du type: :math:`\sigma =(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {\sigma}_{zz}\end{array})` de sorte que: :math:`{\sigma}_{zz}(r,z)=\rho gL` ; :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rz}}=0={\varepsilon}_{r\theta }={\varepsilon}_{\theta z}` On observe ainsi: :math:`{u}_{r,r}=\frac{{u}_{r}}{r}\iff {u}_{r}(r,z)=-\nu A'(z)r` Puis: :math:`\begin{array}{}-\nu A'(z)={\varepsilon}_{\mathrm{rr}}=-\nu {\varepsilon}_{zz}\iff {u}_{z,z}(r,z)=A'(z)\\ \iff {u}_{r}(r,z)=A(z)+B\end{array}` De :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rz}}=0` , on tire: :math:`B'(r)-\nu \mathrm{rA}''(z)=0` soit: :math:`A''(z)=\mathrm{cste}=\alpha` ; :math:`B'(r)=\alpha \nu r` Des conditions aux limites en effort, on obtient: :math:`A(z)=\frac{\rho g{z}^{2}}{2E}+\beta` ; :math:`B(r)=\nu \frac{\rho g{r}^{2}}{2E}` Enfin, :math:`\beta` vérifie: :math:`\beta =-\nu \rho g\frac{{R}^{2}}{2E}` Ainsi: :math:`\begin{array}{}{u}_{r}(r,z)=\frac{-\nu \rho gzr}{E};{u}_{z}(r,z)=\frac{\rho g}{2E}({z}^{2}+\nu ({r}^{2}–{R}^{2}))\\ {\sigma}_{zz}(r,z)=\rho gz\end{array}` :math:`\mathrm{éq}2.1-1` **Application numérique** :math:`g=\mathrm{10 }N/\mathrm{kg}` :math:`\rho ={8.10}^{-\mathrm{6 }}\mathrm{kg}/{\mathrm{mm}}^{3}` :math:`R=\mathrm{20 }\mathrm{mm}` :math:`L=\mathrm{10 }\mathrm{mm}` :math:`E={2.10}^{\mathrm{5 }}N/{\mathrm{mm}}^{2}` :math:`\nu =0.3` :math:`h=\mathrm{1 }\mathrm{mm}` * en peau interne : :math:`\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}(L)=-2.34000{E}^{-8}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}(L)=8.0000{E}^{-4}\mathrm{Mpa}\\ {u}_{z}(O)=-1.185000{E}^{-9}\mathrm{mm}\end{array}` * en peau externe : :math:`\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}(L)=-2.46000{E}^{-8}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}(L)=8.0000{E}^{-4}\mathrm{Mpa}\\ {u}_{z}(O)=1.215000{E}^{-9}\mathrm{mm}\end{array}` Modèle coque axisymétrique ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Une traction verticale est exercée en :math:`z=L` : :math:`F=\rho ghL` La pesanteur conduit à une force verticale: :math:`f=-\rho gh{e}_{z}` La condition aux limites sur le cercle d'appui est: :math:`{u}_{z}(z)=0` en :math:`z=0` La solution est membranaire, l'équilibre vertical s'écrit: :math:`{N}_{zz,z}=\rho gh` De plus: :math:`{N}_{\theta \theta }=0` . En élasticité, on déduit alors: :math:`{E}_{\theta \theta }=\frac{w}{R}=\frac{-\nu {N}_{zz}}{\mathrm{Eh}}=\frac{-\nu \rho gz}{E}` :math:`{E}_{zz}={u}_{z,z}=\frac{{N}_{zz}}{\mathrm{Eh}}\Rightarrow {u}_{z}(z)=\frac{\rho g}{2E}{z}^{2}` La contrainte axiale est: :math:`{\sigma}_{zz}=\rho gz` (constante dans l'épaisseur) **Application numérique:** :math:`F={8.10}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}` :math:`w(L)=-{\mathrm{2.4000.10}}^{-8}\mathrm{mm}` :math:`{N}_{zz}(L)={\mathrm{8.0000.10}}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}` :math:`{\sigma}_{zz}(L)={\mathrm{8.0000.10}}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}` Chargement thermomécanique -------------------------- Modèle 2D axisymétrique ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ :math:`T(r)–{T}_{\mathrm{réf}}(r)=\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{({T}_{s}–{T}_{i})}{h}(r-R)` :math:`\mathrm{éq}\mathrm{3.1.}-1` .. image:: images/10000A4600001F1C0000170C534B0B7595A77027.svg :width: 218 :height: 346 .. _RefImage_10000A4600001F1C0000170C534B0B7595A77027.svg: On postule le déplacement sous la forme: :math:`{u}_{r}=u(r)` ; :math:`{u}_{z}={u}_{\theta}=0` avec les conditions aux limites idoines. Ainsi, les contraintes élastiques s'expriment: :math:`{\sigma}_{\mathrm{rr}}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu )u'+\nu \frac{u}{r}]-\frac{\alpha E}{1-2\nu }(T-{T}_{\mathrm{réf}})` :math:`{\sigma}_{\theta \theta }=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu )\frac{u}{r}+\nu u']-\frac{\alpha E}{1-2\nu }(T-{T}_{\mathrm{réf}})` :math:`\mathrm{éq}1.1-3` :math:`{\sigma}_{zz}=\frac{\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[\frac{u}{r}+u']-\frac{\alpha E}{1-2\nu }(T-{T}_{\mathrm{réf}})` L'équation d'équilibre radial :math:`{(r,{\sigma}_{\mathrm{rr}})}_{,r}-{\sigma}_{\theta \theta }=0` donne: :math:`(\frac{(\mathrm{ru})'}{r})'=\frac{\alpha (1+\nu ')}{(1-\nu )}(T-{T}_{\mathrm{réf}})'` :math:`\mathrm{éq}3.1-2` D'où la solution générale: :math:`u(r)=\frac{\alpha (1+\nu )}{(1-\nu )}\frac{({T}_{s}-{T}_{i})}{h}\frac{{r}^{2}}{3}+\mathrm{Ar}+\frac{B}{r}` :math:`\mathrm{éq}3.1-3` Les contraintes sont alors: :math:`{\sigma}_{\mathrm{rr}}(r)=\frac{\alpha E({T}_{s}-{T}_{i})}{h}(\frac{R}{1-2\nu }-\frac{r}{3(1-\nu )})-\frac{\alpha E}{1-2\nu }({T}_{s}-{T}_{i})+\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}(A-(1-2\nu )\frac{B}{{r}^{2}})` :math:`{\sigma}_{\theta \theta }(r)=\frac{\alpha E({T}_{s}-{T}_{i})}{h}(\frac{R}{1-2\nu }-\frac{\mathrm{2r}}{3(1-\nu )})-\frac{\alpha E}{1-2\nu }({T}_{s}-{T}_{i})+\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}(A-(1-2\nu )\frac{B}{{r}^{2}})` :math:`{\sigma}_{zz}(r)=\frac{\alpha E({T}_{s}-{T}_{i})}{h}(\frac{R}{1-2\nu }-\frac{r}{3(1-\nu )})-\frac{\alpha E}{1-2\nu }({T}_{s}-{T}_{i})+\frac{2\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}A` :math:`\mathrm{éq}3.1-4` Les conditions aux limites en efforts sont: en :math:`r=R\pm \frac{h}{2},{\sigma}_{\mathrm{rr}}=0` . On note: :math:`x=\frac{h}{\mathrm{2R}}` . On obtient grâce à :math:`[\mathrm{éq}3.1-4]` : :math:`B=\frac{\alpha ({T}_{s}-{T}_{i})}{\mathrm{6h}(1-\nu )}(1+\nu ){R}^{3}{(1-{x}^{2})}^{2}` puis: :math:`A=\alpha (1+\nu )[\frac{-({T}_{s}-{T}_{i})R}{\mathrm{6h}(1-\nu )}(3-(1-2\nu ){x}^{2})+\frac{({T}_{s}+{T}_{i})}{2}]` **Application numérique:** :math:`F={8.10}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}` :math:`w(L)=-{\mathrm{2.4000.10}}^{-8}\mathrm{mm}` :math:`{N}_{zz}(L)={\mathrm{8.0000.10}}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}` :math:`{\sigma}_{zz}(L)={\mathrm{8.0000.10}}^{-4}{\mathrm{N.mm}}^{-1}` D'où: :math:`A=-{\mathrm{0.18569881.10}}^{-3}{\mathrm{mm}}^{2}` :math:`B=0.02473096{\mathrm{mm}}^{2}` **Note :** :math:`\frac{\alpha (1+\nu )}{1-\nu }\frac{{T}_{s}–{T}_{i}}{\mathrm{3h}}=0.61904762E-5` * en peau interne : :math:`\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}=1.056145{E}^{-6}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=1.4321427\mathrm{Mpa}\end{array}` * en peau externe : :math:`\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}=1.110317{E}^{-6}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=-1.4250001\mathrm{Mpa}\end{array}` :math:`\begin{array}{}{\sigma}_{zz}=1.449319\mathrm{Mpa}\\ \mathrm{ou}\\ {\sigma}_{zz}=1.428671\mathrm{Mpa}\text{( sans correction métrique )}\end{array}` Dans le cas où l'on prend :math:`{T}_{s}={T}_{i}=0.1°C` : :math:`A=0,00130000{.10}^{-3}` :math:`B=\mathrm{0,0 }{\mathrm{mm}}^{2}` Ainsi: * en peau interne : :math:`\begin{array}{}{u}_{r}=25.350000{E}^{-6}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=-0.200000\mathrm{Mpa}\end{array}` * en peau externe : :math:`\begin{array}{}{u}_{r}=26.650000{E}^{-6}\mathrm{mm}\\ {\sigma}_{zz}=-0.200000\mathrm{Mpa}\end{array}` Modèle coque axisymétrique ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Pour le champ de température dans l'épaisseur donné par :math:`[\mathrm{éq}3.1-1]` , on obtient l'expression suivante de la loi de comportement: :math:`\begin{array}{}{N}_{\theta \theta }=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}({E}_{\theta \theta }+\nu {E}_{zz})-\frac{\alpha Eh}{1-\nu }[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}-{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]\\ {N}_{zz}=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}(\nu {E}_{\theta \theta }+{E}_{zz})-\frac{\alpha Eh}{1-\nu }[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}-{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]\end{array}` :math:`\mathrm{éq}3.2-1` et: :math:`\begin{array}{}{N}_{\theta \theta }=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}({E}_{\theta \theta }+\nu {E}_{zz})-\frac{\alpha Eh}{1-\nu }[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}-{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]\\ {N}_{zz}=\frac{\mathrm{Eh}}{1-{\nu}^{2}}(\nu {E}_{\theta \theta }+{E}_{zz})-\frac{\alpha Eh}{1-\nu }[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}-{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]\end{array}` :math:`\mathrm{éq}3.2-2` D'après ces expressions, les termes thermiques en .. image:: images/Object_1196.svg :width: 218 :height: 346 .. _RefImage_Object_1196.svg: sont à négliger si l'on ne considère pas la correction de métrique dans l'épaisseur, c'est-à-dire dans le cas des modèles habituels. Dans notre situation: :math:`{E}_{\theta \theta }=\frac{w}{R}` :math:`{E}_{zz}=0` :math:`{K}_{\theta \theta }={K}_{zz}=0` L'équilibre normal à la coque s'écrit: :math:`{N}_{\theta \theta }=0` d'où la flèche: :math:`w=\alpha (1+\nu )[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]R` et: :math:`{N}_{zz}=\alpha \mathrm{Eh}[\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}+\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{12}\frac{h}{R}]` :math:`{M}_{zz}=\frac{-\alpha {\mathrm{Eh}}^{2}}{12(1-\nu )}[({T}_{s}-{T}_{i})+\frac{{T}_{s}+{T}_{i}}{2}\frac{h}{R}]` Comme le second membre de dilatation ne tient pas compte de la correction de métrique, les termes en .. image:: images/Object_1201.svg :width: 218 :height: 346 .. _RefImage_Object_1201.svg: ci-dessus sont négligés. **Application numérique** :math:`R=\mathrm{20 }\mathrm{mm}` :math:`h=\mathrm{1 }\mathrm{mm}` :math:`\alpha ={10}^{-5}°{C}^{-1}` :math:`{T}_{s}={T}_{i}=0.5°C` :math:`\nu =0.3` :math:`E={2.10}^{5}N/{\mathrm{mm}}^{2}` D'où: :math:`{M}_{zz}=-0.2380952N` * en peau interne : :math:`\begin{array}{}{\sigma}_{zz}=1.449319\mathrm{Mpa}\\ \mathrm{ou}\\ {\sigma}_{zz}=1.428671\mathrm{Mpa}\text{( sans correction métrique )}\end{array}` Dans le cas où l'on prend :math:`{T}_{s}={T}_{i}=0,1°C` : :math:`w={\mathrm{26.00000.10}}^{-6}\mathrm{mm}` :math:`{N}_{zz}=–0.2{\mathrm{N.mm}}^{-1}` :math:`{M}_{zz}=–0.001190476N` * en peau interne : :math:`\begin{array}{}{\sigma}_{zz}=-0.2122466\mathrm{Mpa}\\ \mathrm{ou}\\ {\sigma}_{zz}=-0.200000\mathrm{Mpa}\text{( sans correction métrique )}\end{array}` **Les contraintes dans l'épaisseur avec correction de métrique sont données par:* :math:`{\sigma}_{zz}({x}_{3})=\frac{{N}_{zz}–\frac{{M}_{zz}}{R}}{h(1-\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})}+({M}_{zz}-{N}_{zz}\frac{{h}^{2}}{\mathrm{12R}})\frac{{\mathrm{12x}}_{3}}{{h}^{3}(1-\frac{{h}^{2}}{{\mathrm{12R}}^{2}})}`