2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul#

Il s’agit d’une solution analytique. Compte tenu des conditions aux limites, les déplacements peuvent être obtenus à partir de la résolution analytique de l’équation de conservation de la quantité de mouvement.

En négligeant la pesanteur, l’équation s’écrit (en contraintes totales):

\(\text{Div}(\sigma )+{r}_{0}g=0\)

Dans le cas d’une modélisation couplée, le tenseur des contraintes totales s’écrit:

\(\sigma =\sigma '-{p}_{1}1\)

\(\sigma '\) est le tenseur des contraintes dans le squelette et \({p}_{1}\) et la pression de pore dans le massif. Le module de Poisson \(\nu\) étant nul , et étant dans le cas élastique, on a \(\sigma '=Eϵ\) .

Or \(\forall y{p}_{1}=0\) donc finalement \(E\ast \text{Div}({\varepsilon})+{r}_{0}g=0\)

Dans le cas 2D, \(\nu\) étant nul, les conditions aux limites et le chargement rendent le problème unidimensionnel selon \(y\) . Seul \({ϵ}_{yy}\) est non nul et:

\(E\ast \frac{\partial {{\varepsilon}}_{yy}}{\partial y}-{r}_{0}g=0\) soit \(\frac{{\partial}^{2}{u}_{y}}{\partial {y}^{2}}=\frac{{r}_{0}}{E}g\) et donc finalement \({u}_{y}(y)=\frac{{r}_{0}g}{2E}{y}^{2}+\mathit{Ay}+B\)

avec \(A\) et \(B\) des constantes d’intégration à déterminer. On résout le problème séparément dans chacun des deux sous-blocs. Afin de déterminer les constantes d’intégration, on utilise la condition aux limites sur les déplacements \({u}_{y}=0\) aux extrémités inférieures et supérieures de la colonne et la condition de Neumann \({\sigma}_{yy}=-p\) au niveau de l’interface.

Finalement, on obtient le déplacement selon la direction \(y\) de part et d’autre de l’interface:

  • les déplacements au dessus de l’interface en \(y=\frac{{\mathit{LY}}^{+}}{2}\) s’écrivent \({u}_{y}\left(\frac{{\mathit{LY}}^{+}}{2}\right)=\frac{p}{E}\left(\frac{\mathit{LY}}{2}\right)-\frac{{r}_{0}g}{2E}{\left(\frac{\mathit{LY}}{2}\right)}^{2}\)

  • les déplacements en dessous de l’interface en \(y=\frac{{\mathit{LY}}^{-}}{2}\) s’écrivent \({u}_{y}\left(\frac{{\mathit{LY}}^{-}}{2}\right)=-\frac{p}{E}\left(\frac{\mathit{LY}}{2}\right)-\frac{{r}_{0}g}{2E}{\left(\frac{\mathit{LY}}{2}\right)}^{2}\)

Dans le cas 3D, la solution de référence est rigoureusement la même:

  • les déplacements au dessus de l’interface en \(z=\frac{{\mathit{LZ}}^{+}}{2}\) s’écrivent \({u}_{z}\left(\frac{{\mathit{LZ}}^{+}}{2}\right)=\frac{p}{E}\left(\frac{\mathit{LZ}}{2}\right)-\frac{{r}_{0}g}{2E}{\left(\frac{\mathit{LZ}}{2}\right)}^{2}\)

  • les déplacements en dessous de l’interface en \(z=\frac{{\mathit{LZ}}^{-}}{2}\) s’écrivent \({u}_{z}\left(\frac{{\mathit{LZ}}^{-}}{2}\right)=-\frac{p}{E}\left(\frac{\mathit{LZ}}{2}\right)-\frac{{r}_{0}g}{2E}{\left(\frac{\mathit{LZ}}{2}\right)}^{2}\)

  • les déplacements suivant \(x\) et \(y\) sont nuls.

2.2. Grandeurs et résultats de référence#

On teste la valeur des déplacements sur les lèvres inférieure et supérieure de l’interface:

Déplacements verticaux

Déplacements horizontaux

Lèvre inférieure

-4.323558729E-03

0

Lèvre supérieure

4.297130927-03

0

2.3. Incertitudes sur la solution#

Aucune la solution est analytique.

2.4. Références bibliographiques#

  1. Documentation de référence R7.02.12 (eXtended Finite Element Method).