Solution de référence
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Méthode de calcul
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Il s'agit d'une solution analytique. Compte tenu des conditions aux limites, les déplacements peuvent être obtenus à partir de la résolution analytique de l'équation de conservation de la quantité de mouvement.

En négligeant la pesanteur, l'équation s'écrit (en contraintes totales):

:math:`\text{Div}(\sigma )+{r}_{0}g=0`

Dans le cas d'une modélisation couplée, le tenseur des contraintes totales s'écrit:

:math:`\sigma =\sigma '-{p}_{1}1`

:math:`\sigma '` est le tenseur des contraintes dans le squelette et :math:`{p}_{1}` et la pression de pore dans le massif. Le module de Poisson :math:`\nu` étant nul , et étant dans le cas élastique, on a :math:`\sigma '=Eϵ`  .

Or :math:`\forall y{p}_{1}=0` donc finalement :math:`E\ast \text{Div}({\varepsilon})+{r}_{0}g=0`

Dans le cas 2D, :math:`\nu` étant nul, les conditions aux limites et le chargement rendent le problème unidimensionnel selon :math:`y` . Seul :math:`{ϵ}_{yy}` est non nul et:

:math:`E\ast \frac{\partial {{\varepsilon}}_{yy}}{\partial y}-{r}_{0}g=0` soit :math:`\frac{{\partial}^{2}{u}_{y}}{\partial {y}^{2}}=\frac{{r}_{0}}{E}g` et donc finalement :math:`{u}_{y}(y)=\frac{{r}_{0}g}{2E}{y}^{2}+\mathit{Ay}+B`

avec :math:`A` et :math:`B` des constantes d'intégration à déterminer. On résout le problème séparément dans chacun des deux sous-blocs. Afin de déterminer les constantes d'intégration, on utilise la condition aux limites sur les déplacements :math:`{u}_{y}=0` aux extrémités inférieures et supérieures de la colonne et la condition de Neumann :math:`{\sigma}_{yy}=-p` au niveau de l'interface.

Finalement, on obtient le déplacement selon la direction :math:`y` de part et d'autre de l'interface:


*   les déplacements au dessus de l'interface en :math:`y=\frac{{\mathit{LY}}^{+}}{2}` s'écrivent :math:`{u}_{y}\left(\frac{{\mathit{LY}}^{+}}{2}\right)=\frac{p}{E}\left(\frac{\mathit{LY}}{2}\right)-\frac{{r}_{0}g}{2E}{\left(\frac{\mathit{LY}}{2}\right)}^{2}`


*   les déplacements en dessous de l'interface en :math:`y=\frac{{\mathit{LY}}^{-}}{2}` s'écrivent :math:`{u}_{y}\left(\frac{{\mathit{LY}}^{-}}{2}\right)=-\frac{p}{E}\left(\frac{\mathit{LY}}{2}\right)-\frac{{r}_{0}g}{2E}{\left(\frac{\mathit{LY}}{2}\right)}^{2}`

Dans le cas 3D, la solution de référence est rigoureusement la même:


*   les déplacements au dessus de l'interface en :math:`z=\frac{{\mathit{LZ}}^{+}}{2}` s'écrivent :math:`{u}_{z}\left(\frac{{\mathit{LZ}}^{+}}{2}\right)=\frac{p}{E}\left(\frac{\mathit{LZ}}{2}\right)-\frac{{r}_{0}g}{2E}{\left(\frac{\mathit{LZ}}{2}\right)}^{2}`


*   les déplacements en dessous de l'interface en :math:`z=\frac{{\mathit{LZ}}^{-}}{2}` s'écrivent :math:`{u}_{z}\left(\frac{{\mathit{LZ}}^{-}}{2}\right)=-\frac{p}{E}\left(\frac{\mathit{LZ}}{2}\right)-\frac{{r}_{0}g}{2E}{\left(\frac{\mathit{LZ}}{2}\right)}^{2}`


*   les déplacements suivant :math:`x` et :math:`y` sont nuls.


Grandeurs et résultats de référence
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On teste la valeur des déplacements sur les lèvres inférieure et supérieure de l'interface:


.. csv-table::

    "", "Déplacements verticaux", "Déplacements horizontaux"
    "Lèvre inférieure", "-4.323558729E-03", "0"
    "Lèvre supérieure", "4.297130927-03", "0"



Incertitudes sur la solution
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Aucune la solution est analytique.


Références bibliographiques
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1.  Documentation de référence R7.02.12 (eXtended Finite Element Method).