4. Élément de poutre droite#
On décrit dans ce chapitre l’obtention des matrices élémentaires de rigidité et de masse pour l’élément de poutre droite, selon le modèle d’Euler (POU_D_E) ou de Timoshenko (POU_D_T). Les matrices de rigidité sont calculées avec l’option RIGI_MECA, et les matrices de masse avec l’option MASS_MECA pour la matrice cohérente, et l’option MASS_MECA_DIAG pour la matrice de masse diagonalisée.
4.1. Mouvement longitudinal de traction - compression#
Une difficulté pour écrire la formulation variationnelle vient du fait qu’il peut y avoir dans les structures composées de poutres des charges concentrées (assimilables à des Dirac). L’équation d’équilibre (3.1) doit être remplacée par:
On a omis par simplicité les forces d’inertie qui subiraient le même traitement que les forces extérieures \({f}_{\text{ext}}^{(x)}\) .
\({\delta}_{i}\) représente la fonction de Dirac localisée au point \(i\) , les \({f}_{i}^{c}\) sont les \(n_c\) forces concentrées appliquées à la poutre.
Pour l’application de la méthode des éléments finis, l’équation d’équilibre doit être écrite sous la forme du principe des travaux virtuels qui est dans ce cas:
Toute confusion étant exclue, \({\delta}_{i}\) désigne la mesure de Dirac associée au point \(i\) et \(v\) est un champ de déplacement longitudinal cinématiquement admissible quelconque.
En pratique, on suppose qu’il n’y a pas de force concentrée à l’intérieur des éléments de poutre, mais seulement aux nœuds extrémités.
4.1.1. Détermination de la matrice de rigidité#
Elle correspond à l’expression du travail virtuel des forces intérieures en fonction d’un déplacement donné. C’est-à-dire:
pour un élément de longueur \(\beamLength\).
On introduit la relation de comportement élastique:
En choisissant pour fonctions-test:
correspondant respectivement aux degrés de libertés \({u}_{1}\) et \({u}_{2}\) des deux nœuds de l’élément, on obtient directement:
et
La matrice de rigidité de l’élément est donc:
- Remarque
Dans l’expression du travail virtuel des efforts intérieurs, \(u\) n’intervient que pour \(u(0)\) et \(u(\beamLength)\). Le déplacement \(u\) n’a pas été discrétisé à l’intérieur de l’élément. C’est pourquoi l’élément est qualifié d” exact: on obtient la solution exacte aux nœuds, mais seulement aux nœuds.
4.1.2. Détermination du second membre#
Le second membre est l’expression du travail virtuel des efforts appliqués. Le second membre associé au chargement réparti et aux fonctions tests précédemment introduites est:
- Remarque
Dans [AFFE_CHAR_MECA], on peut introduire \({f}_{\text{ext}}\) comme une fonction quelconque de \(x\). Au niveau du calcul de \({f}_{1}\) et \({f}_{2}\) , par contre, l’intégration est faite en supposant que \({f}_{\text{ext}}\) varie linéairement entre les valeurs prises aux nœuds extrémités. Si on doit modéliser une variation de charge répartie non linéaire, il faut alors discrétiser plus finement. Mais insistons sur le fait que quelle que soit la forme de \({f}_{\text{ext}}(x)\) (polynomiale ou autre), si l’on sait calculer exactement les intégrales \({f}_{1}\) et \({f}_{2}\) , la solution du problème statique sera exacte aux nœuds du problème.
Le travail virtuel des forces concentrées (données par hypothèse aux nœuds des éléments) n’intervient pas directement au niveau de l’élément.
On introduit ces forces concentrées sous forme de forces nodales, directement dans le vecteur assemblé du second membre.
4.1.3. Calcul des efforts aux nœuds de la poutre#
Le Principe des Travaux Virtuels complet s’écrit en effet sur le système assemblé. D’autre part, en écrivant la formule d’intégration par partie sur toute la structure (poutre \(\left[{x}_{0},{x}_{1}\right]\) ):
\({\Gamma}_{j}\) représentant tous les intervalles sans discontinuité d’effort normal, donc sans force concentrée, et \({\vert N \vert}_{i}\) les sauts de \(N\) entre ces intervalles.
En effet, en rapprochant cette expression du Principe des Travaux Virtuels, on trouve, pour chaque charge concentrée (en choisissant les fonctions tests \(v\) appropriées):
Chaque élément fini de poutre est par hypothèse un intervalle sans discontinuité. Il peut donc y avoir discontinuité des efforts internes \(N\) d’un élément à l’autre s’il existe une force concentrée sur le nœud reliant les deux éléments.
Les efforts internes pour un élément se déterminent de la façon suivante. L’équation d’équilibre à l’intérieur d’un élément est:
La formule d’intégration par parties (4.2) sur l’élément donne:
En considérant \(N(\beamLength)\) et \(N(0)\) comme des données, on aurait pu obtenir cette formule directement du Principe des Travaux Virtuels (4.1).
En prenant encore les fonctions test:
On obtient:
Soit
C’est-à-dire que les efforts internes s’obtiennent en retranchant au produit \(\discMatr{K} \discVect{U}\) les forces nodales équivalentes aux charges réparties \({f}_{\text{ext}}\) .
On observe aussi qu’ils sont de signe opposé. Pour que le signe soit le même d’un élément à l’autre, il faut donc changer le signe de \(N(0)\) calculé par cette méthode. C’est ce qui est fait par le calcul de l’option EFGE_ELNO.
4.1.4. Détermination de la matrice de masse#
La matrice de masse pour être cohérente avec la matrice de rigidité est déterminée à partir des mêmes fonctions test. Cependant, il n’est plus possible de calculer exactement les forces nodales associées sans faire d’hypothèse sur la forme de la solution. Le calcul de la matrice de masse va entraîner une erreur de discrétisation.
Un calcul dynamique nécessitera donc une discrétisation de la structure de poutre en petits éléments, ce qui n’est pas le cas pour un calcul statique. Il va sans dire que dans le cas d’un calcul dynamique, le calcul des efforts que l’on conduira comme au [§ Détermination du second membre ] en retranchant les forces nodales d’inertie est également approché. La solution \(u\) est choisie dans l’espace engendré par les fonctions tests (c’est-à-dire les polynômes de degré au plus égal à 1):
La matrice de masse \(\discMatr{M}\) apparaît dans l’expression du travail virtuel dû aux forces d’inertie:
Le travail s’écrit également:
avec \({\rho}_{m}={\int}_{s} {\rho \, dS}\). Dans le cas d’un matériau homogène, avec \({\rho}_{m}=\rho \beamArea\);
En prenant \(u(x,t)={\xi}_{1}(x){u}_{1}(t)+{\xi}_{2}(x){u}_{2}(t)\) , on a:
La matrice de masse s’écrit donc:
et calculs faits:
correspondant respectivement aux degrés de libertés \({u}_{1}\) et \({u}_{2}\) des deux nœuds de l’élément.
4.2. Mouvement de torsion libre autour de l’axe longitudinal#
Le problème est analogue à celui de la traction compression. Pour une poutre \(\Gamma\), chargée par des moments de torsion répartie \({\Gamma}_{x}(x)\) et \(n_c\) moments concentrés \({\Gamma}_{i}^{c}\) , le principe des travaux virtuels s’écrit:
La loi de comportement est:
Aux variables près, cette équation a la même forme que celle du mouvement de traction‑compression. En utilisant le même raisonnement, on obtient les mêmes expressions pour les matrices de masse et de raideur élémentaires soit:
correspondant respectivement aux degrés de libertés \({\theta}_{{x}_{1}}\) et \({\theta}_{{x}_{2}}\) des deux nœuds de l’élément.
Le calcul de la matrice de masse ayant comme précédemment nécessité de discrétiser le champ solution.
Le second membre, dû au couple \({\Gamma}_{x}\) réparti, s’obtient de la même façon que pour le mouvement de traction‑compression:
4.3. Mouvement de flexion#
Nous nous plaçons ici dans le cadre d’une poutre droite à section constante de type Timoshenko. Nous tenons compte des effets de cisaillement transverse. La poutre d’Euler‑Bernoulli sera ensuite traitée par simplification des équations de Timoshenko.
La description de la flexion est plus complexe que les mouvements précédents, mais un choix judicieux de fonctions tests va nous permettre d’obtenir des résultats de même forme.
4.3.1. Flexion dans le plan (xOz)#
Avec des notations évidentes et en ne s’intéressant pas dans un premier temps, comme dans les cas précédents, aux efforts d’inertie, le principe des travaux virtuels s’écrit pour le mouvement de flexion dans le plan \((x0z)\) :
pour tout \((\Psi ,\omega )\) cinématiquement admissible.
La matrice de rigidité se déduit de l’expression du travail virtuel des forces intérieures que l’on va expliciter en utilisant la relation de comportement puis en intégrant par parties:
Les fonctions tests que l’on va choisir vont “vérifier les équations d’équilibre sans second membre”, c’est-à-dire (3.8) et (3.9):
Dans ces conditions, les forces nodales, expression du travail des forces intérieures dans ces déplacements virtuels donnés s’expriment exactement, sans hypothèse sur la forme de la solution, en fonction des déplacements en bout de poutre comme dans les cas précédents:
- Remarque
Il est clair que la condition (4.3) conduit à des fonctions tests dépendant explicitement des caractéristiques géométriques et matérielles de la poutre, mais cela n’a rien de gênant.
Les couples de fonctions tests choisis sont: \((\Psi ,\omega )=({\xi}_{i},{\xi}_{i+4})\) avec \(i=\left[1,4\right]\).
En ayant noté \({\varphi}_{y}=\frac{12 \youngModulus {I}_{y}}{{k}_{z}{ \beamArea \, G \, \beamLength^{2} }}\), les fonctions \({\xi}_{i}\) sont définies pour les déplacements (pour \(i=1,2,3,4\)) par:
et pour les rotations (pour \(i=5,6,7,8\)) par:
correspondant chacune respectivement aux degrés de libertés \({w}_{1}\), \({\theta}_{{y}_{1}}\), \({w}_{2}\) et \({\theta}_{{y}_{2}}\) des deux nœuds de l’élément,
On vérifie sans difficulté que les couples \(({\xi}_{i},{\xi}_{i+4})\) vérifient bien (4.3). De plus:
La matrice de rigidité se déduit aisément de (4.4) (en ordonnant les colonnes suivant \((w(0),{\theta}_{y}(0),w(\beamLength),{\theta}_{y}(\beamLength))\) .
Il est clair que le calcul des efforts se conduit de la même façon qu’au [§ Calcul des efforts aux nœuds de la poutre ].
4.3.2. Flexion dans le plan (xOy)#
La matrice de rigidité pour un mouvement de flexion dans le plan \(({xOy})\) s’obtient de la même façon que dans le cas précédent. Les fonctions tests qui conduisent à une expression exacte des forces nodales doivent cette fois vérifier (équation analogue à (4.3)):
Les couples de fonctions tests choisis sont:
correspondant chacune respectivement aux degrés de libertés \({v}_{1}\), \({\theta}_{{z}_{1}}\), \({v}_{2}\) et \({\theta}_{{z}_{2}}\) des deux nœuds de l’élément,
Les \({\xi}_{i}\) sont donnés par (4.5) et (4.6) en ayant remplacé \({\varphi}_{y}\) par \({\varphi}_{z}=\frac{12 \youngModulus {I}_{z}}{{k}_{y}{\beamArea \, G \, \beamLength^{2}}}\). La matrice de rigidité obtenue est:
4.3.3. Modélisations des coudes#
La modélisation des coudes de tuyauterie sont modélisés par les éléments de poutre droite POU_D_T en discrétisant la géométrie du coude avec 20 à 40 mailles pour un coude de 90°.
Dans le cas de la modélisation des coudes de tuyauteries (section circulaire creuse), il est possible de prendre en compte l’effet de l’ovalisation sur la rigidité en pondérant les inerties \({I}_{y}\) et \({I}_{z}\) (cf. § 10 ) par des coefficients de flexibilité donnés par l’utilisateur. Ce coefficient est à renseigner via le mot-clé POUTRE/SECTION=’COUDE’ de la commande AFFE_CARA_ELEM.
4.3.4. Détermination de la matrice de masse cohérente avec la matrice de rigidité#
Option ’MASS_MECA’ de l’opérateur CALC_MATR_ELEM.
4.3.4.1. Flexion dans le plan (xOz)#
Considérons le mouvement de flexion dans le plan \((xOz)\) , le travail des forces d’inertie s’écrit:
Dans le cas d’un matériau homogène, nous avons: \({\rho}_{m}=\rho S\) et \({\rho}_{{I}_{y}}=\rho {I}_{y}\)
\(w(x,t)\) et \({\theta}_{y}(x,t)\) sont discrétisés sur la base des fonctions tests introduites pour le calcul de la matrice de rigidité, soit:
autrement dit: \(w={w}^{t}{\xi}_{w}\) avec \(\underset{\text{~}}{\mathrm{w}}=\left(\begin{array}{c}{w}_{1}\\ {\theta}_{{y}_{1}}\\ {w}_{2}\\ {\theta}_{{y}_{2}}\end{array}\right)\) et \({\xi}_{\mathrm{w}}=\left(\begin{array}{c}{\xi}_{1}\\ {\xi}_{2}\\ {\xi}_{3}\\ {\xi}_{4}\end{array}\right)\), \({\theta}_{y}={\underset{\text{~}}{w}}^{t}{\xi}_{{\theta}_{y}}\) avec \({\xi}_{{\theta}_{y}}=\left(\begin{array}{c}{\xi}_{5}\\ {\xi}_{6}\\ {\xi}_{7}\\ {\xi}_{8}\end{array}\right)\)
En intégrant ces notations dans l’expression du travail des forces d’inertie, on a:
On en déduit l’expression de la matrice de masse:
pour \(i\) de 1 à 4 et \(j\) de 1 à 4. Soit:
\(\begin{array}{cc}\mathrm{M}& =\frac{\rho S}{{\left(1+{\varphi}_{y}\right)}^{2}}\left(\begin{array}{cccc}\frac{13L}{35}+\frac{7L{\varphi}_{y}}{10}+\frac{\beamLength{\varphi}_{y}^{2}}{3}& \frac{-11{\beamLength}^{2}}{210}-\frac{11{\beamLength}^{2}{\varphi}_{y}}{120}-\frac{{\beamLength}^{2}{\varphi}_{y}^{2}}{24}& \frac{9L}{70}+\frac{3L{\varphi}_{y}}{10}+\frac{\beamLength{\varphi}_{y}^{2}}{6}& \frac{13{\beamLength}^{2}}{420}+\frac{3{\beamLength}^{2}{\varphi}_{y}}{40}+\frac{{\beamLength}^{2}{\varphi}_{y}^{2}}{24}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \frac{{\beamLength}^{3}}{105}+\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{y}}{60}+\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{y}^{2}}{120}& \frac{-13{\beamLength}^{2}}{420}-\frac{3{\beamLength}^{2}{\varphi}_{y}}{40}-\frac{{\beamLength}^{2}{\varphi}_{y}^{2}}{24}& \frac{-{\beamLength}^{3}}{140}-\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{y}}{60}-\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{y}^{2}}{120}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \frac{13L}{35}+\frac{7L{\varphi}_{y}}{10}+\frac{\beamLength{\varphi}_{y}^{2}}{3}& \frac{11{\beamLength}^{2}}{210}+\frac{11{\beamLength}^{2}{\varphi}_{y}}{120}+\frac{{\beamLength}^{2}{\varphi}_{y}^{2}}{24}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \frac{{\beamLength}^{3}}{105}+\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{y}}{60}+\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{y}^{2}}{120}\end{array}\right)\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& +\frac{\rho {I}_{y}}{{\left(1+{\varphi}_{y}\right)}^{2}}\left(\begin{array}{cccc}\frac{6}{5L}& \frac{-1}{10}+\frac{{\varphi}_{y}}{2}& \frac{-6}{5L}& \frac{-1}{10}+\frac{{\varphi}_{y}}{2}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \frac{2L}{15}+\frac{\beamLength{\varphi}_{y}}{6}+\frac{\beamLength{\varphi}_{y}^{2}}{3}& \frac{1}{10}-\frac{{\varphi}_{y}}{2}& \frac{-\beamLength}{30}-\frac{\beamLength{\varphi}_{y}}{6}+\frac{\beamLength{\varphi}_{y}^{2}}{6}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \frac{6}{5L}& \frac{1}{10}-\frac{{\varphi}_{y}}{2}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \frac{2L}{15}+\frac{\beamLength{\varphi}_{y}}{6}+\frac{\beamLength{\varphi}_{y}^{2}}{3}\end{array}\right)\end{array}\)
Il faut bien noter, comme en [§ Détermination de la matrice de masse ], que dans le cas dynamique, on n’est pas assuré d’avoir une solution exacte aux nœuds, comme c’est le cas en statique.
4.3.4.2. Flexion dans le plan (xOy)#
De même, pour le mouvement de flexion autour de l’axe \((Oz)\) , dans le plan \((xOy)\) , le travail des forces d’inertie s’écrit:
Cette fois \(v(x,t)\) et \({\theta}_{z}(x,t)\) sont discrétisés conformément au [§ Flexion dans le plan (xOy) ] par:
Nous obtenons alors la matrice de masse suivante:
\(\begin{array}{cc}\mathrm{M}& =\frac{\rho S}{{\left(1+{\varphi}_{z}\right)}^{2}}\left(\begin{array}{cccc}\frac{13L}{35}+\frac{7L{\varphi}_{z}}{10}+\frac{\beamLength{\varphi}_{z}^{2}}{3}& \frac{11{\beamLength}^{2}}{210}+\frac{11{\beamLength}^{2}{\varphi}_{z}}{120}+\frac{{\beamLength}^{2}{\varphi}_{z}^{2}}{24}& \frac{9L}{70}+\frac{3L{\varphi}_{z}}{10}+\frac{\beamLength{\varphi}_{z}^{2}}{6}& \frac{-13{\beamLength}^{2}}{420}-\frac{3{\beamLength}^{2}{\varphi}_{z}}{40}-\frac{{\beamLength}^{2}{\varphi}_{z}^{2}}{24}\\ & \frac{{\beamLength}^{3}}{105}+\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{z}}{60}+\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{z}^{2}}{120}& \frac{13{\beamLength}^{2}}{420}+\frac{3{\beamLength}^{2}{\varphi}_{z}}{40}+\frac{{\beamLength}^{2}{\varphi}_{z}^{2}}{24}& \frac{-{\beamLength}^{3}}{140}-\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{z}}{60}-\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{z}^{2}}{120}\\ & & \frac{13L}{35}+\frac{7L{\varphi}_{z}}{10}+\frac{\beamLength{\varphi}_{z}^{2}}{3}& \frac{-11{\beamLength}^{2}}{210}-\frac{11{\beamLength}^{2}{\varphi}_{z}}{120}-\frac{{\beamLength}^{2}{\varphi}_{z}^{2}}{24}\\ & & & \frac{{\beamLength}^{3}}{105}+\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{z}}{60}+\frac{{\beamLength}^{3}{\varphi}_{z}^{2}}{120}\end{array}\right)\\ & +\frac{\rho {I}_{z}}{{\left(1+{\varphi}_{z}\right)}^{2}}\left(\begin{array}{cccc}\frac{6}{5L}& \frac{1}{10}-\frac{{\varphi}_{z}}{2}& \frac{-6}{5L}& \frac{1}{10}-\frac{{\varphi}_{z}}{2}\\ & \frac{2L}{15}+\frac{\beamLength{\varphi}_{z}}{6}+\frac{\beamLength{\varphi}_{z}^{2}}{3}& \frac{-1}{10}+\frac{{\varphi}_{z}}{2}& \frac{-\beamLength}{30}-\frac{\beamLength{\varphi}_{z}}{6}+\frac{\beamLength{\varphi}_{z}^{2}}{6}\\ & & \frac{6}{5L}& \frac{-1}{10}+\frac{{\varphi}_{z}}{2}\\ & & & \frac{2L}{15}+\frac{\beamLength{\varphi}_{z}}{6}+\frac{\beamLength{\varphi}_{z}^{2}}{3}\end{array}\right)\end{array}\)
Dans le modèle de poutre d’Euler-Bernoulli , les effets de cisaillement transverse sont négligés. Il suffit donc, pour obtenir les matrices de masse et de rigidité associées à ce modèle, d’annuler les variables \({\varphi}_{y}\) et \({\varphi}_{z}\) contenues dans les matrices de masse et de rigidité du modèle de Timoshenko. (\({\varphi}_{y}\) et \({\varphi}_{z}\) font intervenir les coefficients de forme \({k}_{y}\) et \({k}_{z}\) , inverses des coefficients de cisaillement \({A}_{Y}\) et \({A}_{Z}\) ).
On notera que dans le modèle Euler-Bernoulli programmé dans Aster, l’inertie de rotation est également négligée. Il faut donc, pour ce modèle, annuler les termes en \(\rho {I}_{z}\) et \(\rho {I}_{y}\) dans la matrice de masse du modèle de Timoshenko.
4.4. Matrice de masse réduite par la technique des masses concentrées#
La matrice de masse est ainsi réduite à une matrice diagonale et s’obtient par l’option ’MASS_MEGA_DIAG’ de l’opérateur CALC_MATR_ELEM.
L’élément poutre est considéré à section constante \(S\) et à masse volumique constante \(\rho\).
La technique dite de “Lumping” consiste à sommer sur la diagonale tous les termes de la ligne de la matrice cohérente et d’annuler tous les termes extra-diagonaux.
En ce qui concerne la composante diagonale liée au mouvement de traction‑compression \(({M}_{11})\) et celle liée au mouvement de torsion \(({M}_{44})\) , nous avons:
avec \({I}_{y},{I}_{z}\) : moments géométriques
On peut considérer que ces composantes ont été obtenues en partageant l’élément de poutre en deux parts égales de longueur \(\frac{\beamLength}{2}\) puis en associant la masse et l’inertie obtenues au nœud du demi‑élément. Pour , \({M}_{44}\) l’expression précédente correspond à un choix: on aurait également pu écrire: \({M}_{44}=\rho C\frac{\beamLength}{2}\) .
Note
Comparaison avec les méthodes d’intégration numérique
On peut noter que si l’on effectue une intégration approchée de la manière suivante:
\({\int}_{e}f=\sum_{\text{i=1,n}}\frac{\text{mes}(e)}{n}\text{f}({a}_{i}^{e})\)
(\({a}_{i}^{e}\) : nœuds \(i\) de l’élément \(e\) , \(n\) : nombre de nœuds de l’élément)
on obtient un résultat identique (pour une poutre:* \(\mathrm{mes}(e)=\beamLength\) et \(n=2\)).
Les composantes diagonales liées aux mouvements de flexion qui sont programmées sont:
On retrouve bien les composantes \({M}_{22}\) et \({M}_{33}\) liées aux translations des mouvements de flexion par la technique des masses concentrées aux nœuds.
4.5. Matrice de raideur centrifuge#
La matrice de raideur centrifuge résulte d’un chargement rotation caractérisé par le vecteur vitesse \(\omega ={}^{t}(\begin{array}{ccc}{\omega}_{x}& {\omega}_{y}& {\omega}_{z}\end{array})\) . On pose \(u={}^{t}(\begin{array}{ccc}{u}_{x}& {u}_{y}& {u}_{z}\end{array})\) le vecteur déplacement.
Son expression est \({K}_{\omega}(u)=-(\frac{1}{2}){\int}_{V}\rho ((\omega \wedge u)\cdot (\omega \wedge u))\mathrm{dV}\)
On peut écrire: \({K}_{\omega}(u)=-(\frac{1}{2}){\int}_{V}\rho (({u}^{t}{\Omega}^{t})\cdot (\Omega u))\mathrm{dV}\) avec \(\Omega =\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega}_{z}& {\omega}_{y}\\ {\omega}_{z}& 0& -{\omega}_{x}\\ -{\omega}_{y}& {\omega}_{x}& 0\end{array}\right)\)
En décomposant les déplacements suivant les fonctions de forme \(({N}_{i},i=1,2),({\xi}_{i}^{y},{\xi}_{i}^{z},i=1,4)\) définies précédemment, il vient: \(u=\mathrm{Nq}\) où \(q\) désigne l’ensemble des degrés de libertés des 2 nœuds de la poutre. Sur un élément \({V}_{e}\) la matrice élémentaire \({K}_{e}\) s’écrit:
Pour avoir une matrice de raideur centrifuge cohérente avec la matrice de rigidité et la matrice de masse cohérente, u est discrétisé sur la base des fonctions tests introduites pour le calcul de la matrice de rigidité, soit:
On en déduit aisément la matrice \(N\) :
Les matrices étant creuses, on peut expliciter facilement le produit \(({N}^{t}{\Omega}^{t})\cdot (\Omega N)\)
C’est une matrice \((12,12)\) symétrique constituée des blocs suivants:
Il reste à intégrer cette matrice sur un élément poutre de longueur beamLength.
Les coefficients \({\varphi}_{y}\) et \({\varphi}_{z}\) étant définis en 4.3.1 et 4.3.2, pour \(k=y,z\) , on a:
On remarque que les intégrales \({\int}_{0}^{\beamLength}{({\xi}_{i}^{k})}^{2}\mathit{dx},k=y,z\) se déduisent des intégrales \({\int}_{0}^{\beamLength}{\xi}_{i}^{y}{\xi}_{i}^{z}\mathit{dx}\) en faisant \(y=z\) .
Il reste donc à calculer les 16 intégrales \({\int}_{0}^{\beamLength}{\xi}_{i}^{y}{\xi}_{j}^{z}\mathrm{dx}\) , qui ne sont pas a priori symétriques en y et z (en fait, certaines le sont).