3. Les équations du mouvement#
Dans ce chapitre on présente les équations du mouvement des poutres en traction‑compression, en torsion et en flexion dans le domaine élastique. Dans chacun des cas, ces équations sont déduites par application des équations de Lagrange, issues du principe de Hamilton, ou bien en écrivant l’équilibre local d’un segment de poutre. Nous avons choisi de rappeler les deux méthodes, le lecteur pourra se référer à celle qui lui est la plus familière. On se limite ici aux cas où les seuls chargements sont des chargements répartis (pas de forces concentrées).
3.1. La traction-compression#
La traction‑compression est le mouvement de translation sur l’axe longitudinal de la poutre.
3.1.1. Équation d’équilibre local#
On considère un segment de longueur \(\mathrm{dx}\) soumis à un effort axial \(N\) [Figure 3.1.1-a] interne et une force extérieure \({f}_{\text{ext}}\) par unité de longueur.
Figure 3.1.1-a : Segment de poutre chargé axialement.
La poutre a une section \(S(x)\) et est constituée d’un matériau de masse volumique \(\rho (x)\) et de module d’Young \(E(x)\) . Le principe fondamental de la mécanique permet d’écrire:
où u est le déplacement sur l’axe \(x\) du segment
Donc:
En passant à la limite quand \(dx \to 0\) , on obtient:
On ne conserve que les termes du premier ordre et on remplace dans (3.1), puis on utilise la loi de Hooke et l’hypothèse que la poutre est constituée de fibres longitudinales travaillant uniquement en traction-compression pour exprimer l’effort axial par:
On obtient ainsi après simplification par \(dx\) :
qui représente l’équilibre local au premier ordre d’une poutre, pour un mouvement de traction‑compression.
3.1.2. Méthode du Lagrangien#
Reprenant le segment de poutre de la figure l’énergie cinétique totale de la poutre de longueur \(l\) s’écrit:
On notera pour la suite \({E}_{{c}_{e}}=\frac{1}{2}\rho S{\left(\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial t}\right)}^{2}\) l’énergie cinétique élémentaire.
L’énergie interne de déformation, grâce à la loi de Hooke s’écrit:
On notera de même \({E}_{{p}_{{int}_{e}}}=\frac{1}{2}\text{ES}{\left(\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial x}\right)}^{2}\) .
On a également le travail de la force externe donné par:
et au niveau élémentaire \({E}_{{p}_{{\text{ext}}_{e}}}={f}_{\text{ext}}.u\)
Le lagrangien est donné par:
et la densité lagrangienne:
Pour le système continu monodimensionnel, l’équation de Lagrange s’écrit dans ce cas:
où \({u}^{'}\) et \(\dot{u}\) désignent respectivement la dérivée par rapport à \(x\) et par rapport au temps. Son application nous ramène évidemment à l’équation du mouvement d’une poutre en traction‑compression (3.3).
3.2. La torsion pure (torsion de Saint-Venant)#
La torsion est le mouvement de rotation autour de l’axe longitudinal de la poutre. On suppose ici que le centre de gravité est confondu avec le centre de rotation (de torsion) [R3.03.03], et on néglige le gauchissement de la section. Le cas de l’excentrement du centre de torsion par rapport au centre de gravité est traité au [§ 5.1 ].
3.2.1. Équation d’équilibre local#
On considère un segment de longueur \(dx\) mis en rotation sous l’action d’un moment \({M}_{x}\) [Figure 3.2.1-a] interne et d’un couple extérieur \({\Gamma}_{x}\) par unité de longueur.
Figure 3.2.1-a : Segment de poutre en rotation autour de \((\mathrm{Ox})\)
Le segment est tourné d’un angle \({\theta}_{x}\) par rapport à la position non déformée. Nous avons ainsi:
3.2.1.1. Poutre de section circulaire#
avec \({I}_{{q}_{x}}={\int}_{s}\rho {r}^{2}\text{ds}\) est le moment d’inertie plane de la section \(S\) autour de l’axe de rotation \((0,x)\) .
Comme pour la traction, on obtient après division par \(\text{dx}\) et passage à la limite:
On introduit la loi de comportement:
où \(G\) est le module de Coulomb (ou module de cisaillement) et \({I}_{p}\) le moment géométrique polaire par rapport au centre de gravité de la section. (On a d’ailleurs: \({I}_{{\theta}_{x}}=\rho {I}_{p}\) pour un matériau de masse volumique homogène).
Nous obtenons alors l’expression:
qui représente l’équilibre local au premier ordre d’un segment de poutre pour un mouvement de torsion.
3.2.1.2. Poutre de section quelconque#
Pour tenir compte du gauchissement tout en restant dans l’hypothèse de torsion libre, dans le cas des sections non circulaires on est conduit à remplacer le moment \({I}_{p}\) par une constante de torsion \(C\) (inférieure à \({I}_{p}\) ) dans l’équation de torsion ([R3.03.03] pour le calcul de \(C\) ).
Par définition, \({M}_{x}=GC\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}\) . On obtient alors:
Lorsque le centre de gravité de la section n’est pas le centre de rotation, cette expression n’est pas valable et les mouvements de torsion et de flexion sont couplés.
3.2.2. Méthode du Lagrangien#
Nous avons de la même manière qu’au [§ 3.1.2 l’énergie cinétique (par exemple pour une poutre de section circulaire):
l’énergie potentielle interne
et le travail du couple extérieur
En appliquant l’équation de Lagrange (3.4) à la variable \({\theta}_{x}\) , on aboutit naturellement à (3.5) donnant le mouvement d’une poutre en torsion pure.
3.3. La flexion simple#
La flexion est le mouvement de translation et de rotation autour d’un axe perpendiculaire à l’axe longitudinal de la poutre. On parle ici de flexion simple (autour de \(\mathrm{Oy}\) ou \(\mathrm{Oz}\) ). On se limite au cas des poutres droites. Les poutres courbes sont traitées au [§ 8 ].
On décrit l’équation de flexion dans le plan \((O,x,z)\) , l’extension au plan \((O,x,y)\) est immédiate [Figure 3.3-a].
Figure 3.3-a : Flexion d’une poutre dans le plan \((O,x,z)\) .
La translation suivant l’axe \((O,z)\) est notée \(w\) et la rotation autour de \((O,y)\) est notée \({\theta}_{y}\) .
3.3.1. Équation d’équilibre local#
On considère un segment de longueur \(\mathrm{dx}\) soumis à l’effort tranchant \({V}_{z}\) , le moment de flexion \({M}_{y}\) , un effort externe \({t}_{{z}_{\text{ext}}}\) réparti uniformément par unité de longueur, et un couple externe \({m}_{{y}_{\text{ext}}}\) réparti uniformément par unité de longueur [Figure 3.3.1-a].
Figure 3.3.1-a : Segment de poutre en flexion dans le plan \((O,x,z)\)
L’équilibre local des forces et des moments (sur la section d’abscisse \(x+\mathrm{dx}\) ) donne pour les forces:
et pour les moments
On néglige les termes en \(\mathrm{dx²}\) . En passant à la limite quand \(\mathrm{dx}\) tend vers 0, on obtient:
On note que l’effort uniformément réparti \({t}_{{z}_{\text{ext}}}\) produit un terme qui est du second ordre dans l’équilibre des moments et est ainsi négligé. On introduit ensuite les relations de comportement de la résistance des matériaux.
L’expression (3.7) de \({V}_{z}\) est due à Timoshenko [bib 4] où \({k}_{z}\) est le coefficient de cisaillement dans la direction \(z\) . Elle caractérise le modèle de poutre de Timoshenko; on verra par la suite que le modèle de poutre d’Euler correspond à une simplification du modèle de Timoshenko. \({I}_{z}\) est le moment géométrique de la section par rapport à l’axe \((O,y)\) .
En conséquence, on aboutit aux deux équations couplées en \(w\) et \({\theta}_{y}\) pour la flexion dans le plan \((O,x,z)\) .
Lorsque la poutre est uniforme, c’est-à-dire que la section et le matériau sont constants sur l’axe longitudinal, les équations (3.8) et (3.9) se réduisent à une seule équation en \(w\) . Pour cela, on dérive une seule fois par rapport à l’abscisse x l’équation d’équilibre des moments (3.9).
\(EI_{y}\frac{{\partial}^{3}{\theta}_{y}}{\partial {x}^{3}}-{k}_{z}\text{SG}\left(\frac{{\partial}^{2}w}{\partial {x}^{2}}+\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x}\right)=\rho {I}_{y}\frac{{\partial}^{3}{\theta}_{y}}{\partial x\partial {t}^{2}}\)
On constatera que cette manipulation élimine la présence du terme issu d’un couple extérieur uniformément réparti. Ensuite, l’équation (3.8) peut se mettre sous la forme:
Il reste utile pour ce type d’équation de rappeler la signification physique des différents termes, afin lors des simplifications d’avoir conscience des effets négligés.
\(EI_{y}\frac{{\partial}^{4}w}{\partial {x}^{4}}\) équilibre la densité de chargement dans la direction de la translation due au moment de flexion.
\(\rho S\frac{{\partial}^{2}w}{\partial {t}^{2}}\) est le terme d’inertie de translation.
\(\rho {I}_{y}\frac{{\partial}^{4}w}{\partial {x}^{2}\partial {t}^{2}}\) représente l’inertie de rotation de flexion.
\(\rho {I}_{y}\frac{E}{{k}_{z}G}\frac{{\partial}^{4}w}{\partial {x}^{2}\partial {t}^{2}}\) est un terme supplémentaire de l’inertie de rotation due à la prise en compte du cisaillement transverse (hypothèse de Timoshenko).
\(\frac{{\rho}^{2}{I}_{y}}{{k}_{z}G}\frac{{\partial}^{4}w}{\partial {t}^{4}}\) résulte du couplage entre l’inertie de rotation et l’inertie de translation provenant de l’effort tranchant.
Le modèle de poutre de Timoshenko (POU_D_T), prend en compte l’ensemble de ces termes, en particulier ceux qui sont relatifs à l’effort tranchant. On peut donc modéliser des poutres d’élancement faible.
Le modèle de poutre d’Euler (POU_D_E) est une simplification puisque les déformations en effort tranchant sont négligées ainsi que l’inertie de rotation (elle intervient dans les études dynamiques que pour les modes élevés). Ces hypothèses sont justifiées dans le cas d’une poutre d’élancement suffisamment grand. De ce fait, pour le modèle d’Euler, l’équation du mouvement de flexion, dans le cas général des poutres à section variable s’écrit:
Par ailleurs, c’est effectivement l’effort tranchant qui provoque la rotation des sections droites par rapport à l’axe neutre. Négliger cet effet revient ainsi à écrire que \({V}_{z}=0\) ce qui amène à (3.7).
qui est la traduction de l’hypothèse d’Euler.
Pour ce qui concerne la flexion dans le plan \((O,x,y)\) , la même démarche conduit à [éq] pour la poutre de Timoshenko à:
et lorsque la section est constante:
L’utilisation de l’hypothèse d’Euler dans le plan \((O,x,y)\) \({\theta}_{z}=\frac{\partial v}{\partial x}\) permet d’aboutir à l’équation du mouvement de flexion pour une poutre d’Euler selon (3.15):
3.3.2. Méthode du Lagrangien#
L’énergie cinétique s’exprime par:
en fonction des déplacements en rotation et en translation.
L’énergie potentielle interne vaut:
où \({\sigma}_{{c}_{T}}\) est la contrainte en cisaillement transverse et le terme \(\frac{\partial w}{\partial x}+{\theta}_{y}\) la déformation de cisaillement. Le modèle de poutre d’Euler néglige ce terme tandis que le modèle de Timoshenko émet une hypothèse sur la répartition des contraintes \({\sigma}_{{c}_{T}}\) dans la section, compatible avec l’expression (3.7). Dans le cas général du modèle de Timoshenko, l’énergie potentielle interne s’écrit:
Le potentiel des charges externes s’exprime quant à lui par:
L’utilisation de l’équation de Lagrange [éq] appliquée une fois à la variable \(w\) puis à la variable \({\theta}_{y}\) nous ramène aux deux équations (3.8) et (3.9) décrivant le mouvement en flexion d’un segment de poutre.