9. Chargements#
Les différents types de chargement développés pour les éléments de poutre « MECA_POU_D_E », « MECA_POU_D_T », en élasticité linéaire sont:
Types ou options |
MECA_POU_D_E |
MECA_POU_D_T |
CHAR_MECA_EPSI_R: chargement par imposition d’une déformation (de type stratification thermique) |
développé |
développé |
CHAR_MECA_PESA_R: chargement dû à la pesanteur |
développé |
développé |
CHAR_MECA_FR1D1D: chargement réparti par valeurs réelles |
développé |
développé |
CHAR_MECA_FF1D1D: chargement réparti par fonction |
développé |
développé |
CHAR_MECA_TEMP_R: chargement “thermique” |
développé |
développé |
CHAR_MECA_FRELEC: chargement “force électrique” créé par un conducteur secondaire droit |
développé |
développé |
CHAR_MECA_FRLAPL: chargement “force électrique” créé par un conducteur secondaire quelconque |
développé |
développé |
9.1. Chargement par déformation#
OPTION: « CHAR_MECA_EPSI_R »
On calcule le chargement à partir d’un état de déformation (cette option a été développée pour prendre en compte la stratification thermique dans les tuyauteries). La déformation est donnée par l’utilisateur à l’aide du mot-clé PRE_EPSI dans AFFE_CHAR_MECA.
Le modèle ne prend en compte qu’un travail en traction-compression et en flexion pure (pas d’effort tranchant, pas de moment de torsion).
On utilise les relations de comportement suivantes:
\(N=\mathrm{ES}\frac{\partial u}{\partial x},{M}_{y}=E{I}_{y}\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x},{M}_{z}=E{I}_{z}\frac{\partial {\theta}_{z}}{\partial x}\)
Ainsi, on obtient le second membre élémentaire associé à ce chargement:
au point 1: \({F}_{{x}_{1}}=E{S}_{1}\frac{\partial u}{\partial x},{M}_{{y}_{1}}=E{I}_{{y}_{1}}\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x},{M}_{{z}_{1}}=E{I}_{{z}_{1}}\frac{\partial {\theta}_{z}}{\partial x}\)
au point 2: \({F}_{{x}_{2}}=E{S}_{2}\frac{\partial u}{\partial x},{M}_{{y}_{2}}=E{I}_{{y}_{2}}\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x},{M}_{{z}_{2}}=E{I}_{{z}_{2}}\frac{\partial {\theta}_{z}}{\partial x}\)
En se donnant \(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x}\) et \(\frac{\partial {\theta}_{z}}{\partial x}\) pour une poutre, on peut lui affecter un chargement.
9.2. Chargement dû à la pesanteur#
OPTION: « CHAR_MECA_PESA_R »
La force de pesanteur est donnée par le module de l’accélération \(g\) et un vecteur normé indiquant la direction \(n\) .
Le principe pour répartir le chargement sur les deux nœuds de la poutre est de tenir compte des fonctions de forme \(\xi (x)\) associées à chaque degré de liberté de l’élément [§ 4 ]. Nous avons donc pour un chargement en pesanteur une force nodale équivalente \(\overrightarrow{Q}\) :
\(\overrightarrow{Q}={\int}_{0}^{L}\xi (x)\rho Sg\overrightarrow{n}\text{dx}\)
Remarques:
Les fonctions de forme utilisées sont (hypothèse simplificatrice) celles du modèle Euler‑Bernoulli.
Il faut, bien sûr, se placer dans le repère local de la poutre pour faire ce calcul.
Effort axial (en \(x\) ) :
\(\begin{array}{}{F}_{{x}_{i}}={\int}_{0}^{L}{\xi}_{i}\rho S\text{}g\cdot x\text{dx}\\ ({\xi}_{1}=1-\frac{x}{L},{\xi}_{2}=\frac{x}{L})\end{array}\)
d’où: \({F}_{{x}_{1}}=\rho g\cdot xL(\frac{{S}_{1}}{3}+\frac{{S}_{2}}{6})\) au point 1,
\({F}_{{x}_{2}}=\rho g\cdot xL(\frac{{S}_{1}}{6}+\frac{{S}_{2}}{3})\) au point 2,
pour une section variant linéairement \((S={S}_{1}+({S}_{2}-{S}_{1})\frac{x}{L})\)
et \(\begin{array}{}{F}_{{x}_{1}}=\rho g\cdot xL(\frac{3{S}_{1}+2\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+{S}_{2}}{12}),\\ {F}_{{x}_{2}}=\rho g\cdot xL(\frac{{S}_{2}+2\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+3{S}_{2}}{12})\end{array}\)
pour une section variant homothétiquement \((S{\left[\sqrt{{S}_{1}}+(\sqrt{{S}_{2}-\sqrt{{S}_{1}}})\frac{x}{L}\right]}^{2})\)
Moment de torsion:
Sans prise en compte du gauchissement, il est inexistant.
Dans le plan \((xoz)\) :
\(\begin{array}{}{F}_{{z}_{1}}=\rho g\cdot z{\int}_{0}^{L}{\xi}_{1}S\text{dx}\\ {M}_{{y}_{1}}=\rho g\cdot z{\int}_{0}^{L}{\xi}_{2}S\text{dx}\\ {F}_{{z}_{2}}=\rho g\cdot z{\int}_{0}^{L}{\xi}_{3}S\text{dx}\\ {M}_{{y}_{2}}=\rho g\cdot z{\int}_{0}^{L}{\xi}_{4}S\text{dx}\end{array}\)
\(\begin{array}{}{\xi}_{1}=2{(\frac{x}{L})}^{3}-3{(\frac{x}{L})}^{2}+1,{\xi}_{2}=L\left[-{(\frac{x}{L})}^{3}+2{(\frac{x}{L})}^{2}-\frac{x}{L}\right],\\ {\xi}_{3}=-2{(\frac{x}{L})}^{3}+3{(\frac{x}{L})}^{2},{\xi}_{4}=L\left[-{(\frac{x}{L})}^{3}+{(\frac{x}{L})}^{2}\right]\end{array}\)
d’où, pour une section variant linéairement:
\(\begin{array}{}{F}_{{y}_{1}}=\rho g\cdot yL(\frac{7{S}_{1}}{20}+\frac{3{S}_{2}}{20}),{M}_{{z}_{1}}=\rho g\cdot y{L}^{2}(\frac{{S}_{1}}{20}+\frac{{S}_{2}}{30})\\ {F}_{{y}_{2}}=\rho g\cdot yL(\frac{3{S}_{1}}{20}+\frac{7{S}_{2}}{20}),{M}_{{z}_{2}}=-\rho g\cdot y{L}^{2}(\frac{{S}_{1}}{30}+\frac{{S}_{2}}{20})\end{array}\)
et, pour une section variant homothétiquement:
\(\begin{array}{}{F}_{{z}_{1}}=\rho g\cdot zL(\frac{8{S}_{1}+5\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+2{S}_{2}}{30}),{M}_{{y}_{1}}=\rho g\cdot z{L}^{2}(\frac{-2{S}_{1}-2\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}-{S}_{2}}{60})\\ {F}_{{z}_{2}}=\rho g\cdot zL(\frac{2{S}_{1}+5\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+8{S}_{2}}{30}),{M}_{{y}_{2}}=\rho g\cdot z{L}^{2}(\frac{{S}_{1}+2\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+{\mathrm{2S}}_{2}}{60})\end{array}\)
Dans le plan \((xoy)\) :
\(\begin{array}{}{F}_{{y}_{1}}=\rho g\cdot y{\int}_{o}^{L}{\xi}_{1}S\mathrm{dx},{M}_{{z}_{1}}=\rho g\cdot y{\int}_{o}^{L}-{\xi}_{2}S\mathrm{dx}\\ {F}_{{y}_{2}}=\rho g\cdot y{\int}_{o}^{L}{\xi}_{3}S\mathrm{dx},{M}_{{z}_{2}}=\rho g\cdot y{\int}_{o}^{L}-{\xi}_{4}S\mathrm{dx}\end{array}\)
d’où, pour une section variant linéairement:
\(\begin{array}{}{F}_{{y}_{1}}=\rho g\cdot yL(\frac{7{S}_{1}}{20}+\frac{3{S}_{2}}{20}),{M}_{{z}_{1}}=\rho g\cdot y{L}^{2}(\frac{{S}_{1}}{20}+\frac{{S}_{2}}{30})\\ {F}_{{y}_{2}}=\rho g\cdot yL(\frac{3{S}_{1}}{20}+\frac{7{S}_{2}}{20}),{M}_{{z}_{2}}=-\rho g\cdot y{L}^{2}(\frac{{S}_{1}}{30}+\frac{{S}_{2}}{20})\end{array}\)
et, pour une section variant homothétiquement:
\(\begin{array}{}{F}_{{y}_{1}}=\rho g\cdot yL(\frac{8{S}_{1}+5\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+2{S}_{2}}{30}),{M}_{{z}_{1}}=\rho g\cdot y{L}^{2}(\frac{2{S}_{1}+2\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+{S}_{2}}{60})\\ {F}_{{y}_{2}}=\rho g\cdot yL(\frac{2{S}_{1}+5\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+8{S}_{2}}{30}),{M}_{{z}_{2}}=\rho g\cdot y{L}^{2}(\frac{-{S}_{1}-2\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}-2{S}_{2}}{60})\end{array}\)
9.3. Chargements répartis#
OPTIONS: « CHAR_MECA_FR1D1D », « CHAR_MECA_FF1D1D »,
Les chargements sont donnés sous le mot-clé FORCE_POUTRE, soit par des valeurs réelles dans AFFE_CHAR_MECA (option CHAR_MECA_FR1D1D), soit par fonctions dans AFFE_CHAR_MECA (option CHAR_MECA_FF1D1D).
Les différentes possibilités sont:
chargement constant |
chargement variant linéairement |
|
poutre droite à section constante |
développé |
développé |
poutre droite à section variant linéairement |
développé |
non |
poutre droite à section variant homothétiquement |
développé |
non |
Pour les poutres droites à section constante, le chargement réparti est composé de forces et de moments constants ou variant linéairement le long de l’axe de la poutre. Dans tous les autres cas la charge répartie est uniquement composée de force constante.
La méthode utilisée pour calculer le chargement à imposer aux nœuds est celle présentée au [§ Détermination du second membre ].
9.3.1. Poutre droite à section constante#
Pour un chargement constant ou variant linéairement, on obtient:
\({F}_{{x}_{1}}=L(\frac{{n}_{1}}{3}+\frac{{n}_{2}}{6}),{F}_{{x}_{2}}=L(\frac{{n}_{1}}{6}+\frac{{n}_{2}}{3}),{M}_{{x}_{1}}=L(\frac{{m}_{{t}_{1}}}{3}+\frac{{m}_{{t}_{2}}}{6}),{M}_{{x}_{2}}=L(\frac{{m}_{{t}_{1}}}{6}+\frac{{m}_{{t}_{2}}}{3})\)
\({n}_{1}\) et \({n}_{2}\) sont les composantes du chargement axial aux points 1 et 2, \({m}_{{t}_{1}}\) et \({m}_{{t}_{2}}\) sont les composantes du moment de torsion aux points 1 et 2, provenant des données de l’utilisateur replacées dans le repère local.
\({t}_{{y}_{1}}\) , \({t}_{{y}_{2}}\) , \({t}_{{z}_{1}}\) et \({t}_{{z}_{2}}\) sont les composantes de l’effort tranchant, \({m}_{{y}_{1}}\) , \({m}_{{y}_{2}}\) , \({m}_{{z}_{1}}\) et \({m}_{{z}_{2}}\) sont les composantes des moments de fléchissant, aux points 1 et 2, provenant des données de l’utilisateur replacées dans le repère local.
\(\begin{array}{cc}{F}_{{y}_{1}}=L(\frac{7{t}_{{y}_{1}}}{20}+\frac{3{t}_{{y}_{2}}}{20})-\frac{({m}_{{z}_{1}}+{m}_{{z}_{2}})}{2}& {M}_{{y}_{1}}=-{L}^{2}(\frac{{t}_{{z}_{1}}}{20}+\frac{{t}_{{z}_{2}}}{30})-\frac{({m}_{{y}_{2}}-{m}_{{y}_{1}})L}{12}\\ {F}_{{y}_{2}}=L(\frac{3{t}_{{y}_{1}}}{20}+\frac{7{t}_{{y}_{2}}}{20})+\frac{({m}_{{z}_{1}}+{m}_{{z}_{2}})}{2}& {M}_{{y}_{2}}={L}^{2}(\frac{{t}_{{z}_{1}}}{30}+\frac{{t}_{{z}_{2}}}{20})+\frac{({m}_{{y}_{2}}-{m}_{{y}_{1}})L}{12}\\ {F}_{{z}_{1}}=L(\frac{7{t}_{{z}_{1}}}{20}+\frac{3{t}_{{z}_{2}}}{20})+\frac{({m}_{{y}_{1}}+{m}_{{y}_{2}})}{2}& {M}_{{z}_{1}}={L}^{2}(\frac{{t}_{{y}_{1}}}{20}+\frac{{t}_{{y}_{2}}}{30})-\frac{({m}_{{z}_{2}}-{m}_{{z}_{1}})L}{12}\\ {F}_{{z}_{2}}=L(\frac{3{t}_{{z}_{1}}}{20}+\frac{7{t}_{{z}_{2}}}{20})-\frac{({m}_{{y}_{1}}+{m}_{{y}_{2}})}{2}& {M}_{{z}_{2}}=-{L}^{2}(\frac{{t}_{{y}_{1}}}{30}+\frac{{t}_{{y}_{2}}}{20})+\frac{({m}_{{z}_{2}}-{m}_{{z}_{1}})L}{12}\end{array}\)
9.3.2. Poutres droites à section variable#
Le chargement fourni doit être constant. On utilise une méthode similaire à celle utilisée par le poids propre [§ 55 ].
Le chargement fourni doit être constant le long de l’élément. Le chargement réduit aux nœuds est équivalent à celui que l’on peut obtenir en reprenant les résultats du [§ 9.3.1 ]. Avec une charge constante, cela devient:
\(\begin{array}{cccc}{F}_{{x}_{1}}=L\frac{n}{2}& {F}_{{x}_{2}}=L\frac{n}{2}& {F}_{{y}_{1}}=L\frac{{t}_{y}}{2}& {F}_{{y}_{2}}=L\frac{{t}_{y}}{2}\\ {M}_{{z}_{1}}={L}^{2}\frac{{t}_{y}}{12}& {M}_{{z}_{2}}=-{L}^{2}\frac{{t}_{y}}{12}& {F}_{{z}_{1}}=L\frac{{t}_{z}}{2}& {F}_{{z}_{2}}=L\frac{{t}_{z}}{2}\\ {M}_{{y}_{1}}=-{L}^{2}\frac{{t}_{z}}{12}& {M}_{{y}_{2}}={L}^{2}\frac{{t}_{z}}{12}& & \end{array}\)
9.4. Chargement thermique#
OPTION: « CHAR_MECA_TEMP_R »
Pour obtenir ce chargement, il faut calculer la déformation induite par la différence de température \(T-{T}_{\text{référence}}\) :
\(\begin{array}{}{u}_{1}=-L\alpha (T-{T}_{\text{référence}})\\ {u}_{2}=L\alpha (T-{T}_{\text{référence}})\end{array}\) (\(\alpha\) : coefficient de dilatation thermique)
Ensuite, on calcule les forces induites: \(F=Ku\) . Comme \(K\) est la matrice de rigidité locale à l’élément, on doit ensuite effectuer un changement de base pour obtenir les valeurs des composantes du chargement dans le repère global.
9.5. Chargement électrique#
OPTIONS: « FORCE_ELEC », « INTE_ELEC ».
Ce type de chargement permet de prendre en compte la force de Laplace agissant sur un conducteur principal, due à la présence d’un conducteur secondaire.
Le conducteur secondaire \(«\mathrm{2 }»\) est droit et il ne s’appuie pas sur une partie du maillage Aster si on utilise l’option « FORCE_ELEC ».
Le conducteur secondaire n’est pas nécessairement droit et il peut s’appuyer sur une partie du maillage Aster si on utilise l’option « INTE_ELEC ».
La densité linéique de la force de Laplace exercée en un point \(M\) du conducteur principal par le conducteur secondaire s’écrit:
\(f(M)=\frac{1}{2}{e}_{1}\wedge {\int}_{2}\frac{{e}_{2}\wedge r}{{\parallel r\parallel }^{3}}\mathrm{ds}\) avec \({\parallel {e}_{1}\parallel }^{2}={\parallel {e}_{2}\parallel }^{2}=1\)
Remarque:
Pour obtenir la force de Laplace, le vecteur retourné à la suite du calcul effectué par l’une de ces deux options doit être multiplié par la fonction temporelle d’intensité spécifiée par l’opérateur « DEFI_FONC_ELEC » .[U4.MK.10]
9.5.1. Conducteur secondaire droit fini ou infini#
OPTION: « FORCE_ELEC » [U4.44.01]
Pour un conducteur secondaire fini, nous avons:
\(\overrightarrow{f}(M)=\frac{{e}_{1}}{2}\wedge \frac{n}{d}(\sin{\alpha}_{1}-\sin{\alpha}_{2})\)
avec \(\begin{array}{}n=\frac{{e}_{2}\wedge d}{d}\\ d=∥d∥\end{array}\)
Pour un conducteur secondaire infini, nous avons:
\(f(M)={e}_{1}\wedge \frac{n}{d}\)
Trois types de chargement sont possibles:
conducteur droit parallèle infini,
conducteurs droits parallèles infinis multiples,
conducteur droit en position quelconque fini ou infini.
Pour le cas d’un conducteur droit parallèle infini, sa position peut être donnée de deux manières:
soit par un vecteur translation du conducteur principal au conducteur secondaire,
soit par la distance entre les deux conducteurs et par un point du conducteur secondaire.
On obtient donc un chargement constant sur tout l’élément principal. On peut ainsi utiliser la technique présentée au [§ 9.3 ] [§ 9.4 ] pour calculer le chargement aux nœuds.
\(\begin{array}{c}{\mathrm{F}}_{1}=\mathrm{f}(M)\frac{L}{2},{\mathrm{F}}_{2}=\mathrm{f}(M)\frac{L}{2},{\mathrm{M}}_{1}={\mathrm{e}}_{1}\wedge \mathrm{f}(M)\frac{{L}^{2}}{12},{\mathrm{M}}_{2}=-{\mathrm{e}}_{1}\wedge \mathrm{f}(M)\frac{{L}^{2}}{12}\\ \mathrm{f}(M)=\mathit{cste}\forall M\end{array}\)
Pour le cas des conducteurs droits parallèles infinies multiples , on doit donner directement le vecteur « force de Laplace » normé. Celui-ci étant habituellement donné dans le repère global, il faut déterminer le vecteur « force de Laplace » dans le repère local de l’élément principal. Ainsi de la même manière que précédemment, on calcule le chargement aux nœuds.
Pour le cas d’un conducteur droit en position quelconque fini ou infini , sa position est donnée par deux points \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) tel que le courant circule de \({P}_{1}\) vers \({P}_{2}\) . Le chargement n’est pas obligatoirement constant le long de l’élément principal.
La méthode choisie pour calculer le chargement réduit aux nœuds est évidemment la même qu’auparavant. Mais ici, l’intégration se fait numériquement en discrétisant l’élément en un certain nombre (en pratique: 100 points entre \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) ).
On intègre ainsi:
\(\begin{array}{}{F}_{1}={\int}_{0}^{L}f(M)\text{}\left[2{(\frac{x}{L})}^{3}-3{(\frac{x}{L})}^{2}+1\right]\text{dx}\\ {F}_{2}={\int}_{0}^{L}f(M)\text{}\left[-2{(\frac{x}{L})}^{3}+3{(\frac{x}{L})}^{2}\right]\text{dx}\end{array}\)
\(\begin{array}{}{\overrightarrow{M}}_{1}={\int}_{0}^{L}-{\overrightarrow{e}}_{1}\wedge \overrightarrow{f}(M)\left[L(-{(\frac{x}{L})}^{3}+2{(\frac{x}{L})}^{2}-\frac{x}{L})\right]\text{dx}\\ {\overrightarrow{M}}_{2}={\int}_{0}^{L}-{\overrightarrow{e}}_{1}\wedge \overrightarrow{f}(M)\left[L(-{(\frac{x}{L})}^{3}+{(\frac{x}{L})}^{2})\right]\text{dx}\end{array}\)
Remarque :
Comme \(f(M)\cdot x=0\) et \(({e}_{1}\wedge f(M))\cdot x=0,(x={e}_{1})\)
on utilise uniquement les fonctions de forme associées au problème de flexion.
9.5.2. Conducteur secondaire décrit par une partie de maillage ASTER#
OPTION: « INTE_ELEC », [U4.44.01]
Le conducteur secondaire dans son ensemble n’est pas nécessairement droit. Mais il est décrit uniquement par des éléments droits. Sa longueur est obligatoirement finie.
Sa position peut être complétée par l’utilisation d’un vecteur translation ou d’une symétrie plane (par un point et un vecteur normal normé du plan de symétrie) par rapport au conducteur principal.
Hormis le fait qu’il faut sommer l’interaction des différents éléments du conducteur secondaire sur le conducteur principal, la méthode est la même que précédemment (cas \((\mathrm{iii})\) ).
Remarque: Pour l’intégration numérique, on n’utilise 5 points compris entre \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) .