5. Poutres droites particulières#
Il s’agit dans ce chapitre de prendre en compte des poutres droites dont la section a des propriétés qui ont été ignorées jusqu’à présent, en particulier les poutres ayant un centre de torsion excentré par rapport à l’axe neutre (la section ne possède pas 2 axes de symétrie), et celles dont la section évolue continûment sur leur axe.
5.1. Excentrement de l’axe de torsion par rapport à l’axe neutre#
Le centre de torsion est le point qui reste fixe lorsque la section est soumise au seul moment de torsion. Il est aussi appelé centre de cisaillement car un effort appliqué en ce point ne produit pas de rotation \({\theta}_{x}\)
Figure 5.1-a: Section avec centre de torsion.
Au point \(C\) , les effets de flexion et de torsion sont découplés, on peut donc utiliser les résultats établis au chapitre précédent. On retrouve les composantes du déplacement au point \(O\) en considérant la relation de corps rigide:
\(\overrightarrow{u}(O)=\overrightarrow{u}(C)+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\wedge \overrightarrow{\Omega}\)
avec \(\Omega =(\begin{array}{c}{\theta}_{x}\\ 0\\ 0\end{array})\) vecteur rotation et \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(\begin{array}{c}0\\ {e}_{y}\\ {e}_{z}\end{array})\) la position du centre de torsion dans le repère local de la poutre. De fait, on obtient:
\(\lbrace \begin{array}{c}{u}_{x}={u}_{{x}_{c}}\\ {u}_{y}={u}_{{y}_{c}}+{e}_{z}{\theta}_{x}\\ {u}_{z}={u}_{{z}_{c}}-{e}_{y}{\theta}_{x}\end{array}\) [5.1-1]
Le changement de variables donné par [éq] s’écrit matriciellement:
\((\begin{array}{c}{u}_{{x}_{{c}_{1}}}\\ {u}_{{y}_{{c}_{1}}}\\ {u}_{{z}_{{c}_{1}}}\\ {\theta}_{{x}_{{c}_{1}}}\\ {\theta}_{{y}_{{c}_{1}}}\\ {\theta}_{{z}_{{c}_{1}}}\\ {u}_{{x}_{{c}_{2}}}\\ {u}_{{y}_{{c}_{2}}}\\ {u}_{{z}_{{c}_{2}}}\\ {\theta}_{{x}_{{c}_{2}}}\\ {\theta}_{{y}_{{c}_{2}}}\\ {\theta}_{{z}_{{c}_{2}}}\end{array})=(\begin{array}{cccccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& & & & & & \\ 0& 1& 0& -{e}_{z}& 0& 0& & & & & & \\ 0& 0& 1& {e}_{y}& 0& 0& & & & 0& & \\ 1& 0& 0& 1& 0& 0& & & & & & \\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& & & & & & \\ 1& 0& 0& 0& 0& 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ & & & & & & 0& 1& 0& -{e}_{z}& 0& 0\\ & & 0& & & & 0& 0& 1& {e}_{y}& 0& 0\\ & & & & & & 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ & & & & & & 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ & & & & & & 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array})\begin{array}{c}(\begin{array}{c}{u}_{{x}_{{}_{1}}}\\ {u}_{{y}_{{}_{{}_{1}}}}\\ {u}_{{z}_{{}_{1}}}\\ {\theta}_{{x}_{{}_{1}}}\\ {\theta}_{{y}_{{}_{1}}}\\ {\theta}_{{z}_{{}_{1}}}\\ {u}_{{x}_{{}_{2}}}\\ {u}_{{y}_{{}_{2}}}\\ {u}_{{z}_{{}_{2}}}\\ {\theta}_{{x}_{{}_{2}}}\\ {\theta}_{{y}_{{}_{2}}}\\ {\theta}_{{z}_{{}_{2}}}\end{array})\end{array}\)
Il suffit donc de déterminer les matrices élémentaires de masse \(({M}_{c})\) et de raideur \(({K}_{c})\) dans le repère \((C,x,y,z)\) où les mouvements de flexion et de torsion sont découplés puis de se transporter dans le repère lié à l’axe neutre \((O,x,y,z)\) par les transformations suivantes:
\(\begin{array}{}K={P}^{\text{T}}{K}_{c}P\\ \text{et}M={P}^{\text{T}}{M}_{c}P\end{array}\)
Les valeurs de \({e}_{y}\) et \({e}_{z}\) sont à fournir à Code_Aster par l’intermédiaire de l’opérande SECTION:’GENERALE’ de l’opérateur AFFE_CARA_ELEM, les valeurs par défaut étant évidemment des valeurs nulles.
5.2. Sections variables#
Il est possible de prendre en compte des sections évolutives de manière continue pour les poutres droites de Timoshenko et d’Euler (POU_D_E et POU_D_T seulement). On distingue deux types de variation de section:
linéaire ou affine,
quadratique ou homothétique.
La distinction entre les deux types se conçoit aisément en prenant l’exemple d’une poutre rectangulaire:
si une seule des dimensions latérales varie, on suppose de façon linéaire, alors l’aire de la section droite varie linéairement, et est donnée par:
\(S(x)={S}_{1}\left[1+(\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}-1)\frac{x}{L}\right]\)
lorsque les deux dimensions latérales varient (de manière linéaire), l’aire de section va évoluer de façon quadratique.
\(S(x)={S}_{1}{\left[1+(\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}-1)\frac{x}{L}\right]}^{2}\)
Code_Aster permet de traiter des sections ’CERCLE’, ’RECTANGLE’ et ’GENERALE’, mais pour des raisons évidentes de géométrie, tous ces types de section ne peuvent admettre les deux types de variation. Le tableau suivant résume les possibilités existantes.
Section |
Constante |
Linéaire ou Affine |
Quadratique ou Homothétique |
cercle |
oui |
non |
oui |
rectangle |
oui |
oui - selon y |
oui |
générale |
oui |
non |
oui |
Pour la section ’RECTANGLE’, c’est l’utilisateur qui choisit le type de variation, en précisant ’AFFINE’ ou ’HOMOTHÉTIQUE’ dans AFFE_CARA_ELEM. Il faut bien noter que dans le cas ’AFFINE’, les dimensions ne peuvent varier que suivant y.
Dans le cas des sections creuses circulaires, pour que la section soit considérée comme homothétique, il faut que \(\mathit{EP1}/\mathit{R1}=\mathit{EP2}/\mathit{R2}\) . Dans le cas de non respect de l’homothétie la solution donnée par Code_Aster est approchée.
Nous considérons d’une façon générale que la section varie selon la formule [éq]:
\(S(x)={S}_{1}{(1\text{+c}\frac{x}{L})}^{m}\) [5.2-1]
\({S}_{1}\) est la section initiale en \(x=0\)
\(c\) est fixé par la connaissance de la section finale \({S}_{2}\) en \(x=L\) .
\(m\) donne le degré de variation: \(m=1\) variation linéaire, \(m=2\) variation quadratique.
La section variant, il en va de même des inerties \({I}_{y}(x)\) , \({I}_{z}(x)\) et \({I}_{p}(x)\) .
Nous aurons donc:
\({I}_{y}(x)={I}_{{y}_{1}}{(1\text{+c}\frac{x}{L})}^{\text{m+}2}\) [5.2-2]
\({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1\text{+c}\frac{x}{L})}^{\text{m+}2}\) [5.2-3]
\({I}_{p}(x)={I}_{{p}_{1}}{(1\text{+c}\frac{x}{L})}^{\text{m+}2}\) [5.2-4]
\(c\) est déterminé pour chaque formule à partir de la valeur pour \({\text{x = L : I}}_{{y}_{2}}{\text{, I}}_{{z}_{2}}{\text{, I}}_{{p}_{2}}\) .
Les modules d’Young \((E)\) et de Coulomb \((G)\) sont supposés constants.
Le principe adopté par Code_Aster consiste à calculer des caractéristiques de section équivalentes, constantes sur la poutre, à partir des caractéristiques réelles données aux deux extrémités. Ces caractéristiques équivalentes dépendent donc du phénomène auquel elles contribuent, en particulier, sont distinctes pour les effets de rigidité ou d’inertie.
5.2.1. Calcul de la matrice de rigidité#
5.2.1.1. Détermination de la section équivalente (\({S}_{\mathrm{eq}}\))#
La détermination de la section équivalente n’utilise ni la méthode prise au [§ Détermination de la matrice de rigidité] pour obtenir la matrice de rigidité exacte ni une approximation de la solution par une fonction polynomiale comme décrit au [§ Détermination de la matrice de masse ]. En fait, la méthode employée s’écarte de la méthode des éléments finis et même de la méthode de Galerkin, elle consiste à effectuer une résolution du problème de la poutre à section variable sans efforts répartis imposés, ce qui permet d’expliciter les efforts aux extrémités en fonction des déplacements. Cette méthode est “cohérente” avec celle du [§ Détermination de la matrice de rigidité] car les fonctions tests définies en [§ Détermination de la matrice de rigidité] valent 1 ou 0 sur les extrémités de la poutre, donc [éq] les forces nodales peuvent être “assimilées” à des efforts.
Par ailleurs, cette méthode permet d’obtenir des résultats exacts pour le problème statique sans force répartie et conduit comme nous le verrons à une valeur \({S}_{\mathrm{eq}}\) comprise entre \({S}_{1}\) et \({S}_{2}\) qui, dans le cas général, garantit la convergence de la solution approximée vers la solution exacte (sans toutefois connaître l’ordre de convergence).
La section de la poutre étant variable, l’équation de traction-compression en statique sans effort réparti imposé s’écrit:
\(\frac{\partial}{\partial x}\left[ES(x)\frac{\partial u}{\partial x}\right]=0\) [5.2.1.1-1]
avec \(N(x)=ES(x)\frac{\partial u}{\partial x}\)
Nous déterminons la matrice de rigidité dans le cas général [éq], nous en déduisons par la suite les valeurs des sections équivalentes pour les cas \(m=1\) (progression linéaire) et \(m=2\) (progression quadratique).
En intégrant [éq], nous avons:
\(\text{E S}(x)\frac{\partial u}{\partial x}={C}_{1}\)
ou, en tenant compte de l’expression de \(S(x)\) :
\(E{S}_{1}{(1\text{+c}\frac{x}{L})}^{m}\frac{\partial u}{\partial x}={C}_{1}\)
La constante d’intégration est déterminée à partir des valeurs de forces axiales aux nœuds.
Nous intégrons une nouvelle fois de façon à obtenir les efforts aux nœuds en fonction des déplacements \(u(0)={u}_{1}\) et \(u(L)={u}_{2}\) :
\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{{C}_{1}}{E{S}_{1}}{(1\text{+c}\frac{x}{L})}^{-m}\)
d’où \(\text{u}(x)=\frac{{C}_{1}}{E{S}_{1}}\frac{L}{c}\ln(1\text{+c}\frac{x}{L}){\text{+C}}_{2}\text{}\) si \(m=1\)
et \(u(x)=\frac{{C}_{1}}{E{S}_{1}}\frac{L}{c}\frac{1}{(l-m){(1+c\frac{x}{L})}^{m-1}}+{C}_{2}\) si \(m\ge 2\)
On constate que l’expression de \(u(x)\) est loin d’être polynomiale.
En tenant compte du fait que:
\({C}_{1}=-{N}_{1}\) pour \(x=0\)
\({C}_{1}=+{N}_{2}\) pour \(x=L\)
et que:
\({C}_{2}=\frac{{(1\text{+c})}^{-m+1}\text{u}(0)-u(L)}{{(1\text{+c})}^{-m+1}-1}\)
Nous obtenons:
pour \(m=1\) , \(\lbrace \begin{array}{c}{N}_{1}=\frac{E{S}_{1}\text{c}}{\text{L}\ln(1+c)}({u}_{1}-{u}_{2})\\ {N}_{2}=\frac{E{S}_{1}\text{c}}{\text{L}\ln(1+c)}({u}_{2}-{u}_{1})\end{array}\)
et pour \(m=2\) , \(\lbrace \begin{array}{c}{N}_{1}=\frac{E{S}_{1}\text{c}\left(1-m\right)}{L}\text{}\left[-{u}_{1}\left(\frac{{\left(1+c\right)}^{m-1}}{1-{\left(1+c\right)}^{m-1}}\right)+{u}_{2}\left(\frac{{\left(1+c\right)}^{m-1}}{1-{\left(1+c\right)}^{m-1}}\right)\right]\text{}\\ {N}_{2}=\frac{E{S}_{1}\text{c}\left(1-m\right)}{L}\text{}\left[{u}_{1}\left(\frac{{\left(1+c\right)}^{m-1}}{1-{\left(1+c\right)}^{m-1}}\right)-{u}_{2}\left(\frac{{\left(1+c\right)}^{m-1}}{1-{\left(1+c\right)}^{m-1}}\right)\right]\end{array}\)
En remplaçant \(c\) par sa valeur, soit:
si \(m=1\) ,
\(\begin{array}{c}c=\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}-1,\\ \text{}{N}_{1}=\frac{E}{L}\frac{\left({S}_{2}-{S}_{1}\right)}{\ln{\text{S}}_{2}-\ln{\text{S}}_{1}}\left({u}_{1}-{u}_{2}\right)\\ \text{}{N}_{2}=\frac{E}{L}\frac{\left({S}_{2}-{S}_{1}\right)}{\ln{\text{S}}_{2}-\ln{\text{S}}_{1}}\left({u}_{2}-{u}_{1}\right)\end{array}\)
si \(m=2\) ,
\(\begin{array}{c}\text{}\text{c}=\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}-1\\ {\text{N}}_{1}=\frac{E}{L}\sqrt{{S}_{1}{\text{S}}_{2}}\left({u}_{1}-{u}_{2}\right)\\ {\text{N}}_{2}=\frac{E}{L}\sqrt{{S}_{1}{\text{S}}_{2}}\left({u}_{2}-{u}_{1}\right)\end{array}\)
Nous constatons que les matrices de rigidité, dans les deux cas traités, auront la même forme que pour une section constante si on prend comme section équivalente:
\({S}_{\text{eq}}=\frac{({S}_{2}-{S}_{1})}{\ln{S}_{2}-\ln{\text{S}}_{1}}\) pour une section variant linéairement
\({S}_{\text{eq}}=\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}\) pour une section variant de façon quadratique
5.2.1.2. Détermination d’une constante de torsion équivalente (Ceq)#
L’équation de torsion pure d’une poutre avec section variable, s’écrit:
\(\frac{\partial}{\partial x}(\text{G C}(x)\frac{\partial {q}_{x}}{\partial x})=0\) [5.2.1.2-1]
avec \(C(x)={C}_{1}{(1+\text{c}\frac{x}{L})}^{m+2}\) (\(m=1\) ou \(2\) )
La méthode est la même que pour le calcul de la section équivalente: il s’agit d’intégrer l’équation précédente de façon à obtenir les efforts (couples de torsion \({\Gamma}_{{x}_{1}},{\Gamma}_{{x}_{2}}\) ) en fonction des déplacements aux nœuds \(({\theta}_{{x}_{1}},{\theta}_{{x}_{2}})\) et d’en déduire, par comparaison avec les formules à section constante, l’expression d’un moment géométrique polaire équivalent.
Par intégration de [éq], nous avons:
\({\text{G C}}_{1}{(1+c\frac{x}{L})}^{m+2}\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}={D}_{1}\) ,
\({D}_{1}\) la constante d’intégration est déterminée par les couples de torsion appliqués aux nœuds.
De: |
\(\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}=\frac{{D}_{1}}{{\text{G C}}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{-(m+2)},\) |
Nous déduisons: |
\({\theta}_{x}(x)=\frac{{D}_{1}}{{\text{G C}}_{1}}\frac{-L}{\text{c}(\text{m+}1)}{(1+c\frac{x}{L})}^{-(m+1)}+{D}_{2}\) |
Nous déterminons \({D}_{2}\) à partir du système:
\(\lbrace \begin{array}{c}{\theta}_{{x}_{1}}=\frac{-{D}_{1}L}{{\mathrm{GC}}_{1}c(m+1)}+{D}_{2}\\ {\theta}_{{x}_{2}}=\frac{-{D}_{1}L}{{\mathrm{GC}}_{1}c(m+1)}{(1+c)}^{-(m+1)}+{D}_{2}\end{array}\)
soit: \({D}_{2}=\frac{{\theta}_{{x}_{1}}{(1+c)}^{-(m+1)}+c{\theta}_{{x}_{2}}}{{(1+c)}^{-(m+1)}-1}\)
En tenant compte du fait que:
\({D}_{1}=-{\Gamma}_{1}\) pour \(x=0\)
\({D}_{1}={\Gamma}_{2}\) pour \(x=L\)
nous avons finalement:
pour \(m=1\) ,
\(\begin{array}{}\lbrace \begin{array}{c}{\Gamma}_{1}=\frac{G}{L}\frac{2({C}_{2}{C}_{1}^{\frac{2}{3}}-{C}_{1}{C}_{2}^{\frac{2}{3}})}{({C}_{2}^{\frac{2}{3}}-{C}_{1}^{\frac{2}{3}})}({\theta}_{{x}_{1}}-{\theta}_{{x}_{2}})\\ {\Gamma}_{2}=\frac{G}{L}\frac{2({C}_{2}{C}_{1}^{\frac{2}{3}}-{C}_{1}{C}_{2}^{\frac{2}{3}})}{({C}_{2}^{\frac{2}{3}}-{C}_{1}^{\frac{2}{3}})}({\theta}_{{x}_{2}}-{\theta}_{{x}_{1}})\end{array}\end{array}\)
Nous prenons donc dans le cas d’une section variant linéairement, un moment géométrique polaire équivalent \({C}_{\mathrm{eq}}\) de la forme suivante:
\({C}_{\text{eq}}=\frac{2({C}_{2}{C}_{1}^{\frac{2}{3}}-{C}_{1}{C}_{2}^{\frac{2}{3}})}{({C}_{2}^{\frac{2}{3}}-{C}_{1}^{\frac{2}{3}})}\) variation linéaire
pour \(m=2\) ,
\(\lbrace \begin{array}{}{\Gamma}_{1}=\frac{G}{L}\frac{3({C}_{2}{C}_{1}^{\frac{3}{4}}-{C}_{1}{C}_{2}^{\frac{3}{4}})}{({C}_{2}^{\frac{3}{4}}-{C}_{1}^{\frac{3}{4}})}({\theta}_{{x}_{1}}-{\theta}_{{x}_{2}})\\ {\Gamma}_{2}=\frac{G}{L}\frac{3({C}_{2}{C}_{1}^{\frac{3}{4}}-{C}_{1}{C}_{2}^{\frac{3}{4}})}{({C}_{2}^{\frac{3}{4}}-{C}_{1}^{\frac{3}{4}})}({\theta}_{{x}_{2}}-{\theta}_{{x}_{1}})\end{array}\)
Dans le cas d’une section variant de façon quadratique, le moment géométrique polaire s’écrit:
\({C}_{\text{eq}}=\frac{3({C}_{2}{C}_{1}^{\frac{3}{4}}-{C}_{1}{C}_{2}^{\frac{3}{4}})}{({C}_{2}^{\frac{3}{4}}-{C}_{1}^{\frac{3}{4}})}\) variation quadratique
5.2.1.3. Détermination des moments géométriques équivalents#
En fait, il ne semble pas possible de trouver, comme nous l’avons fait pour la section ou le moment géométrique polaire, de moments géométriques équivalents \(({I}_{{y}_{\text{eq}}}\text{et}{I}_{{z}_{\text{eq}}})\) qui viendraient se substituer aux moments géométriques \(({I}_{y}\text{et}{I}_{z})\) dans l’expression des termes de la matrice de rigidité.
Nous exposons ici la méthode proposée par J.R.BANERJEE et F.W.WILLIAMS [bib 3] qui explicitent la matrice de rigidité dans le cas d’un mouvement de flexion d’une poutre Euler‑Bernoulli à section variable (linéaire ou quadratique).
Les résultats correspondent à ceux programmés dans Code_Aster pour une poutre de type Euler‑Bernoulli à section variable (linéaire ou quadratique). Par extension, la même démarche y est appliquée pour les poutres de type Timoshenko. Les résultats ne sont pas détaillés ici.
Considérons la flexion dans le plan \((xoy)\) .
Partant de l’équation statique du mouvement de flexion d’une poutre de type Euler‑Bernoulli:
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[{\text{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=0\text{}\) , et \({\theta}_{z}=\frac{\partial v}{\partial x}\)
\(v(x)\) est exprimé en fonction de quatre constantes d’intégration \(({C}_{1},{C}_{2},{C}_{3},{C}_{4})\) . Ces constantes sont déterminées par les valeurs des déplacements aux nœuds:
\(\begin{array}{}v(o)={v}_{1}\text{}\text{}\text{v}(L)={v}_{2}\\ {\theta}_{z}(o)={\theta}_{{z}_{1}}{\theta}_{z}(L)={\theta}_{{z}_{2}}\end{array}\)
soit: \((\begin{array}{c}{v}_{1}\\ {\theta}_{{z}_{1}}\\ {v}_{2}\\ {\theta}_{{z}_{2}}\end{array})=\text{B}(\begin{array}{c}{C}_{1}\\ {C}_{2}\\ {C}_{3}\\ {C}_{4}\end{array})\) , \(B\) matrice \((4\times 4)\) .
Les efforts: \({V}_{y}(x)=\frac{\partial}{\partial x}\left[{\text{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]\)
et les moments: \({M}_{z}(x)={\text{EI}}_{z}(x)\text{}\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\) ,
s’expriment également en fonction de ces constantes d’intégration, et on peut écrire:
\((\begin{array}{c}{T}_{{y}_{1}}\\ {M}_{{z}_{1}}\\ {T}_{{y}_{2}}\\ {M}_{{z}_{2}}\end{array})=D(\begin{array}{c}{C}_{1}\\ {C}_{2}\\ {C}_{3}\\ {C}_{4}\end{array})\) , \(D\) matrice \((4\times 4)\) .
La matrice de rigidité correspond au produit \({\mathrm{DB}}^{-1}\) . Les termes de cette matrice sont explicités dans les tableaux suivants.
Rappelons que \({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+\text{c}\frac{x}{L})}^{m+2}\) , \(m=1\) ou \(2\) ,
Posons \({\text{W}}_{1}={\text{EI}}_{{z}_{1}}\frac{c}{L}{\text{, W}}_{2}={\text{EI}}_{{z}_{1}}{(\frac{c}{L})}^{2}{\text{, W}}_{3}={\text{EI}}_{{z}_{1}}{(\frac{c}{L})}^{3}.\)
Variation afiine |
Variation quadratique |
|
\(m=1\) |
\(m=2\) |
|
\(c={(\frac{{I}_{2}}{{I}_{1}})}^{\frac{1}{3}}-1\) |
\(c={(\frac{{I}_{2}}{{I}_{1}})}^{\frac{1}{4}}-1\) |
|
\({\Phi}_{1}\) |
\(c+2\) |
\(4(\mathrm{c²}+3c+3)\) |
\({\Phi}_{2}\) |
\(c\) |
\(2c(c+3)\) |
\({\Phi}_{3}\) |
\(c(c+1)\) |
\(2c(c+1)(2c+3)\) |
\({\Phi}_{4}\) |
\(2c(c+1)(2c+3)\) |
\(4\mathrm{c²}\) |
\({\Phi}_{5}=c{\Phi}_{2}-{\Phi}_{4}\) |
\(2\mathrm{c²}(c+1)\) |
|
\({\Phi}_{6}=c{\Phi}_{3}-{\Phi}_{5}\) |
\(4\mathrm{c²}(c+1)\) |
|
\(\Delta\) |
\((c+2)\ln(c+1)-2c\) |
\(\frac{{c}^{3}}{(c+1)}\) |
La matrice \(K\) s’écrit alors:
\(\mathrm{K}=\frac{1}{\Delta}\text{}\left(\begin{array}{cccc}{W}_{3}{\Phi}_{1}& {W}_{2}{\Phi}_{2}& -{W}_{3}{\Phi}_{1}& {W}_{2}{\Phi}_{3}\\ & {W}_{1}{\Phi}_{4}& -{W}_{2}{\Phi}_{2}& +{W}_{1}{\Phi}_{5}\\ \text{Sym}& & {W}_{3}{\Phi}_{1}& -{W}_{2}{\Phi}_{3}\\ & & & {W}_{1}{\Phi}_{6}\end{array}\right)\)
Considérons maintenant la flexion dans le plan \((xOz)\) .
Pour les sections à variation quadratique, la démarche est identique. Mais elle diffère pour les sections à variation linéaire (suivant \(y\) uniquement).
On calcule les termes de la matrice de rigidité correspondant à la flexion dans le plan \((\mathrm{0, }x,z)\) par les valeurs données dans le tableau suivant.
Variation affine: flexion dans le plan \((0,x,z)\) |
|
\(c=(\frac{{I}_{2}}{{I}_{1}})-1\) |
|
\({\Phi}_{1}\) |
\(2\frac{\ln(c+1)}{c}\) |
\({\Phi}_{2}\) |
\(2-{\Phi}_{1}\) |
\({\Phi}_{3}\) |
\((c+1){\Phi}_{1}-2\) |
\({\Phi}_{4}\) |
\({\Phi}_{1}+c-2\) |
\({\Phi}_{6}=c{\Phi}_{3}-{\Phi}_{5}\) |
|
\(\Delta\) |
\((c+2)\ln(c+1)-2c\) |
Dans le cas des poutres de Timoshenko, pour les coefficients de cisaillement, on applique à la section réduite \(k\cdot S\) les relations utilisées pour la section, à savoir:
\(\begin{array}{c}{({k}_{y}S)}_{\mathrm{eq}}=\frac{({k}_{{y}_{2}}{S}_{2}-{k}_{{y}_{1}}{S}_{1})}{\ln({k}_{{y}_{2}}{S}_{2})-\ln({k}_{{y}_{1}}{S}_{1})}\\ {({k}_{z}S)}_{\mathrm{eq}}=\frac{({k}_{{z}_{2}}{S}_{2}-{k}_{{z}_{1}}{S}_{1})}{\ln({k}_{{z}_{2}}{S}_{2})-\ln({k}_{{z}_{1}}{S}_{1})}\end{array}\rbrace\) si la variation est affine,
\(\begin{array}{}\begin{array}{c}{({k}_{y}\text{S})}_{\text{eq}}=\sqrt{{S}_{1}{\text{S}}_{2}{k}_{{y}_{1}}{k}_{{y}_{2}}}\\ {({k}_{z}\text{S})}_{\text{eq}}=\sqrt{{S}_{1}{\text{S}}_{2}{k}_{{z}_{1}}{k}_{{z}_{2}}}\end{array}\rbrace \end{array}\) si la variation est quadratique,
et on introduit les termes supplémentaires dans \(K\) de la même façon que pour une section constante. Les calculs ne sont pas détaillés ici. On obtient une matrice \(K\) de même forme que précédemment avec pour principale modification la valeur de \(\Delta\) :
variation affine:
\(\Delta =(c+2)\ln(c+1)-\mathrm{2c}+\frac{{\Phi}^{2}}{12}{c}^{3}(c+2)\)
variation quadratique:
\(\Delta =\frac{{c}^{3}}{c+1}+\frac{{\Phi}^{2}}{3}{c}^{3}({c}^{2}+\mathrm{3c}+3)\)
5.2.2. Calcul de la matrice de masse#
5.2.2.1. Par la méthode des masses équivalentes#
Des valeurs « moyennes » sont calculées pour la section, la section réduite, et les moments, à savoir:
\(S=\frac{{S}_{1}{\text{+S}}_{2}}{2}\text{}\) |
si la variation est affine |
\(S=\frac{1}{L}{\int}_{0}^{L}S(x)\text{dx}=\frac{{S}_{1}{\text{+S}}_{2}+\sqrt{{S}_{1}{\text{S}}_{2}}}{3}\) |
si la variation est quadratique |
\(\begin{array}{c}{I}_{y}=\frac{{I}_{{y}_{1}}+{I}_{{y}_{2}}}{2}\\ {I}_{z}=\frac{{I}_{{z}_{1}}+{I}_{{z}_{2}}}{2}\\ {I}_{{\theta}_{x}}=\rho \frac{{I}_{{y}_{1}}+{I}_{{y}_{2}}+{I}_{{z}_{1}}+{I}_{{z}_{2}}}{2}\end{array}\rbrace\) |
quelle que soit la variation |
La matrice de masse est ensuite calculée comme celle d’une poutre ayant ces caractéristiques.
5.2.2.2. Par la méthode des masses concentrés (matrice diagonale)#
Si la section varie de façon affine, les matrices programmées correspondent, en ce qui concerne les mouvements de traction-compression et de torsion, à celles des poutres à section constante, en utilisant des sections et inerties de torsion équivalentes:
◦ pour la traction compression:
\(\rho L\left(\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{3S}}_{1}+{S}_{2}}{8}& 0\\ 0& \frac{{\mathrm{3S}}_{2}+{S}_{1}}{8}\end{array}\right)\)
◦ pour la torsion:
\(\rho \frac{L\left({I}_{{y}_{1}}+{I}_{{z}_{1}}+{I}_{{y}_{2}}+{I}_{{z}_{2}}\right)}{4}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\theta}_{{x}_{1}}\\ {\theta}_{{x}_{2}}\end{array}\right)\)
◦ pour les mouvements de flexion:
\(\left(\begin{array}{cccc}\frac{\rho {S}_{1}L}{2}& & & \\ & {M}_{5,5}\left({M}_{6,6}\right)& & 0\\ & & \frac{\rho {S}_{2}L}{2}& \\ & 0& & \\ & & & {M}_{11,11}\left({M}_{12,12}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}{v}_{1}\left({w}_{1}\right)\\ \end{array}\\ \begin{array}{c}{\theta}_{{z}_{1}}\left({\theta}_{{y}_{1}}\right)\\ \end{array}\\ \begin{array}{c}{v}_{2}\left({w}_{2}\right)\\ \end{array}\\ \begin{array}{c}{\theta}_{{z}_{2}}\left({\theta}_{{y}_{2}}\right)\\ \end{array}\end{array}\right)\)
avec \({M}_{5,5}={M}_{11.11}=\min\left(\frac{\rho {S}_{\mathit{eq}}{L}^{3}}{105},\frac{\rho {S}_{\mathit{eq}}{L}^{2}}{48}\right)+\frac{\rho L}{15}\left({I}_{{y}_{1}}+{I}_{{y}_{1}}\right)\)
\({M}_{6,6}={M}_{12,12}=\min\left(\frac{\rho {S}_{\mathit{eq}}{L}^{3}}{105},\frac{\rho {S}_{\mathit{eq}}{L}^{2}}{48}\right)+\frac{\rho L}{15}\left({I}_{{z}_{1}}+{I}_{{z}_{1}}\right)\) avec \({S}_{\mathit{eq}}=\left(\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{2}\right)\)
Si la section varie de façon homothétique, les matrices sont programmées, pour les différents mouvements, de la façon suivante:
◦ pour la traction-compression:
\((\begin{array}{cc}\rho \frac{(5{S}_{1}+{S}_{2})}{12}L& 0\\ 0& \rho \frac{({S}_{1}+5{S}_{2})}{12}L\end{array})(\begin{array}{c}\begin{array}{}{u}_{1}\\ \end{array}\\ \begin{array}{}{u}_{2}\\ \end{array}\end{array})\)
◦ pour la torsion:
\(\rho L\frac{({I}_{{y}_{1}}+{I}_{{y}_{2}}+{I}_{{z}_{1}}+{I}_{{z}_{2}})}{4}(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array})(\begin{array}{c}{\theta}_{{x}_{1}}\\ {\theta}_{{x}_{2}}\end{array})\)
◦ pour la flexion dans chacun des deux plans:
\(\left(\begin{array}{cccc}\rho \frac{\left(5{S}_{1}+{S}_{2}\right)}{12}L& & & \\ & {M}_{5,5}\left({M}_{6,6}\right)& & 0\\ & & \rho \frac{\left({S}_{1}+5{S}_{2}\right)}{12}L& \\ & & & {M}_{11,11}\left({M}_{12,12}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}{v}_{1}\left({w}_{1}\right)\\ \end{array}\\ \begin{array}{c}{\theta}_{{z}_{1}}\left({\theta}_{{y}_{1}}\right)\\ \end{array}\\ \begin{array}{c}{v}_{2}\left({w}_{2}\right)\\ \end{array}\\ \begin{array}{c}{\theta}_{{z}_{2}}\left({\theta}_{{y}_{2}}\right)\\ \end{array}\end{array}\right)\)
avec \({M}_{5,5}={M}_{11,11}=\min\left[\frac{\rho \left({S}_{1}+{S}_{2}\right)}{2}\frac{{L}^{3}}{105},\frac{\rho \left({S}_{1}+{S}_{2}\right)}{2}\frac{{L}^{3}}{48}\right]+\rho \left({I}_{{y}_{1}}+{I}_{{y}_{2}}\right)\frac{L}{15}\)
et \({M}_{6,6}={M}_{12,12}=\min\left[\frac{\rho \left({S}_{1}+{S}_{2}\right)}{2}\frac{{L}^{3}}{105},\frac{\rho \left({S}_{1}+{S}_{2}\right)}{2}\frac{{L}^{3}}{48}\right]+\rho \left({I}_{{z}_{1}}+{I}_{{z}_{2}}\right)\frac{L}{15}\)