2. Introduction#
Une poutre est un solide engendré par une surface d’aire \(S\) dont le centre d’inertie géométrique \(G\) décrit une courbe \(C\) appelée la fibre moyenne ou fibre neutre. L’aire \(S\) est la section droite (section transversale) ou profil, et l’on suppose que si elle est évolutive, ses évolutions (taille, forme) sont continues et progressives lorsque \(G\) décrit la ligne moyenne.
Pour l’étude des poutres en général, on fait les hypothèses suivantes:
la section droite de la poutre est indéformable,
le déplacement transversal est uniforme sur la section droite.
Ces hypothèses permettent d’exprimer les déplacements d’un point quelconque de la section, en fonction des déplacements du point correspondant situé sur la ligne moyenne, et en fonction d’un accroissement de déplacement dû à la rotation de la section autour des axes transversaux. Cette dernière peut être négligée (POU_D_E) ou faire l’objet d’une modélisation (POU_D_T).
La discrétisation en éléments “exacts” de poutre s’effectue sur un élément linéique à deux nœuds et six degrés de liberté par nœuds. Ces degrés de liberté sont les trois translations \(u,v,w\) et les trois rotations \({\theta}_{x},{\theta}_{y},{\theta}_{z}\) .
Figure 2-a: élément de poutre et degrés de libertés.
Attendu que les déformations sont locales, il est construit en chaque sommet du maillage une base locale dépendant de l’élément sur lequel on travaille. La continuité des champs de déplacements est assurée par un changement de base, ramenant les données dans la base globale.
Dans le cas des poutres droites, on place traditionnellement la ligne moyenne sur l’axe \(x\) de la base locale, les déplacements transversaux s’effectuant ainsi dans le plan \((y,z)\) .
Enfin lorsque nous rangeons des grandeurs liées aux degrés de liberté d’un élément dans un vecteur ou une matrice élémentaire (donc de dimension \(12\) ou \({12}^{2}\) ), on range d’abord les variables pour le sommet 1 puis celles du sommet 2. Pour chaque nœud, on stocke d’abord les grandeurs liées aux trois translations, puis celles liées aux trois rotations. Par exemple, un vecteur déplacement sera structuré de la manière suivante: