8. Poutre courbe

Remarque: L’élément de poutre courbe n’existe plus dans Code_Aster.Pour modéliser une poutre courbe, il faut mailler la partie courbe avec suffisamment d’éléments droits: 20 à 40 éléments droits pour un coude de 90° donnent des résultats tout à fait satisfaisant.

Ce chapitre est conservé, car dans la base des cas tests de Code_Aster les structures qui présentent des coudes sont validées et comparées aux solutions théoriques obtenues avec des éléments de poutre courbe issus de la théorie présentée ci-dessous.

Pour calculer la matrice de rigidité pour un élément de poutre courbe, nous faisons le calcul en passant par différentes étapes.

Nous partons des équations d’équilibre qui intégrées vont nous donner une matrice (notée \({J}_{\theta}\) ) permettant de déterminer les efforts en un point de la poutre connaissant les efforts en un autre point. Cette matrice prendra en compte le changement de base local.

Ensuite en écrivant l’énergie potentielle de l’élément et en remarquant le découplage de la flexion dans le plan de l’élément de la flexion hors de ce plan, on détermine les deux matrices de flexibilité.

Enfin les matrices de flexibilité étant calculées, on obtient la matrice de rigidité locale en utilisant le principe de Castigliano, qui doit être recalculée dans la base globale pour être assemblée.

Figure 8-a : Repère local de la poutre courbe.

Pour rattacher les efforts appliqués en un point \(P\) de la structure aux efforts obtenus en un autre point \(Q\) de la structure, on intègre les équations d’équilibre statique d’une poutre courbe (sans effort réparti).

Nous allons ici nous borner à étudier la poutre courbe à section constante (avec prise en compte du cisaillement transverse) et à rayon de courbure constant.

Figure 8-b : Repère moyen (repère local)

Les équations d’équilibre statique sont:

\(\begin{array}{cc}\lbrace \begin{array}{c}{N}_{,s}-{V}_{1}=0\\ {V}_{1,s}+\frac{N}{R}=0\\ {V}_{2,s}=0\end{array}\text{}& \lbrace \begin{array}{c}{M}_{T,s}-\frac{{M}_{1}}{R}=0\\ {M}_{1,s}+\frac{{M}_{T}}{R}-{V}_{2}=0\\ {M}_{2,s}+{V}_{1}=0\end{array}\end{array}\)

ceci pour:

Figure 8-c : Repère curviligne.

Pour intégrer, on utilise les conditions en \(P\) :

\(\begin{array}{cc}\lbrace \begin{array}{c}N={F}_{y}\\ {V}_{1}=-{\text{F}}_{x}\\ {V}_{2}={F}_{z}\end{array}\text{}& \lbrace \begin{array}{c}{M}_{T}={M}_{y}\\ {M}_{1}=-{\text{M}}_{x}\\ {M}_{2}={M}_{z}\end{array}\end{array}\)

En intégrant et en passant dans le système d’axe suivant:

Figure 8-d : Système d’axe choisi par l’intégration.

On obtient:

\(\left[\begin{array}{c}N\\ {V}_{1}\\ {V}_{2}\\ {M}_{T}\\ {M}_{1}\\ {M}_{2}\end{array}\right]=\underset{{J}_{\theta}}{\underset{\underbrace{}}{(\begin{array}{cccccc}\cos\theta & -\sin\theta & 0& 0& 0& 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& R(\cos\theta -1)& \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ 0& 0& R\sin\theta & \sin\theta & \cos\theta & 0\\ R(\cos\theta -1)& -R\sin\theta & 0& 0& 0& 1\end{array})}}\left[\begin{array}{c}{F}_{x}\\ {F}_{y}\\ {F}_{z}\\ {M}_{x}\\ {M}_{y}\\ {M}_{z}\end{array}\right]\)

Nous allons maintenant prendre en compte les caractéristiques mécaniques en utilisant l’énergie potentielle:

\({E}_{p}=\frac{1}{2}\underset{{s}_{1}}{\overset{{s}_{2}}{\int}}(\frac{{\tilde{N}}^{2}}{ES}+\frac{{\tilde{V}}_{1}^{2}}{{k}_{1}SG}+\frac{{\tilde{V}}_{2}^{2}}{{k}_{2}SG}+\frac{{\tilde{M}}_{T}^{2}}{EI}+\frac{{\tilde{M}}_{1}^{2}}{E{I}_{1}}+\frac{{\tilde{M}}_{2}^{2}}{E{I}_{2}})\mathrm{ds}\)

(le signe «  \(~\) «  signifie que nous utilisons les efforts internes) (remarque: \(\tilde{f}=-f\) par le principe d’action-réaction).

Rappel des relations de comportement dans le cadre du modèle de Timoshenko:

\(\lbrace \begin{array}{c}N=\mathrm{ES}\frac{\partial u}{\partial s}\\ {\tilde{V}}_{1}={k}_{1}\mathrm{SG}(\frac{\partial {w}_{1}}{\partial s}-{\theta}_{2})\\ {\tilde{V}}_{2}={k}_{2}\mathrm{SG}(\frac{\partial {w}_{2}}{\partial s}+{\theta}_{1})\end{array}\lbrace \begin{array}{c}{\tilde{M}}_{T}=\mathrm{EI}\frac{\partial \theta }{\partial s}\\ {\tilde{M}}_{1}=-{\mathrm{EI}}_{1}\frac{\partial {\theta}_{1}}{\partial s}\\ {\tilde{M}}_{2}=-{\mathrm{EI}}_{2}\frac{\partial {\theta}_{2}}{\partial s}\end{array}\)

Torseur des efforts intérieurs:	Torseur cinématique:
\(\left\lbrace T\right\rbrace \text{}\mid \begin{array}{c}\tilde{N}s+\tilde{T}\\ {\tilde{M}}_{T}s+\tilde{M}\end{array}\)	\(\left\lbrace C\right\rbrace \text{}\mid \begin{array}{c}\theta s+{\theta}_{1}{n}_{1}+{\theta}_{2}{n}_{2}\\ us+{w}_{1}{n}_{1}+{w}_{2}{n}_{2}\end{array}\)

D’où:

\(\begin{array}{}{E}_{p}=\frac{1}{2}{\int}_{{s}_{1}}^{{s}_{2}}(N,{V}_{1,}{V}_{2})\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\mathrm{ES}}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{{k}_{1}\mathrm{SG}}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{k}_{2}\mathrm{SG}}\end{array}\right](\begin{array}{}N\\ {V}_{1}\\ {V}_{2}\end{array})\mathrm{ds}\\ +\frac{1}{2}{\int}_{{s}_{1}}^{{s}_{2}}({M}_{T},{M}_{1,}{M}_{2})\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\mathrm{EI}}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{{\mathrm{EI}}_{1}}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{\mathrm{EI}}_{2}}\end{array}\right](\begin{array}{}{M}_{T}\\ {M}_{1}\\ {M}_{2}\end{array})\mathrm{ds}\end{array}\)

ou encore:

\(\begin{array}{}{E}_{p}=\frac{1}{2}{\int}_{0}^{\beta}{\left[\begin{array}{c}{F}_{x}\\ {F}_{y}\\ {F}_{z}\\ {M}_{x}\\ {M}_{y}\\ {M}_{z}\end{array}\right]}_{P}^{T}{J}_{\theta}^{T}\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{\text{ES}}& & & & & \\ & \frac{1}{{k}_{1}\text{SG}}& & & & \\ & & \frac{1}{{k}_{2}\text{SG}}& & 0& \\ & & & \frac{1}{\text{GC}}& & \\ & 0& & & \frac{1}{{\mathrm{EI}}_{1}}& \\ & & & & & \frac{1}{{\mathrm{EI}}_{2}}\end{array}\right]{J}_{\theta}{\left[\begin{array}{c}{F}_{x}\\ {F}_{y}\\ {F}_{z}\\ {M}_{x}\\ {M}_{y}\\ {M}_{z}\end{array}\right]}_{P}\text{Rd}\theta \end{array}\)

\({J}_{q}\) étant la matrice obtenue précédemment.

On peut ainsi calculer la matrice de flexibilité \([C]\) :

\([C]={\int}_{0}^{\beta}{J}_{\theta}^{T}\text{}\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{\text{ES}}& & & & & \\ & \frac{1}{{k}_{1}\text{SG}}& & & & \\ & & \frac{1}{{k}_{2}\text{SG}}& & 0& \\ & & & \frac{1}{\text{GC}}& & \\ & 0& & & \frac{1}{{\mathrm{EI}}_{1}}& \\ & & & & & \frac{1}{{\mathrm{EI}}_{2}}\end{array}\right]{J}_{\theta}\text{Rd}\theta\)

Nous pouvons remarquer que la matrice \({J}_{\theta}\) peut se décomposer en deux sous matrices indépendantes, une partie concernant la flexion dans le plan de l’élément, l’autre concernant la flexion hors du plan de l’élément.

Remarque :

Cette décomposition va permettre d’inverser plus facilement les matrices que nous allons obtenir un peu plus loin.

\({J}_{\theta}\to {J}_{1\theta },{J}_{2\theta }\)

Flexion dans le plan de l’élément:

\(\left[\begin{array}{c}N\\ {V}_{1}\\ {M}_{2}\end{array}\right]=\underset{{J}_{1\theta }}{\underset{\underbrace{}}{(\begin{array}{ccc}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ R(\cos\theta -1)& -R\sin\theta & 1\end{array})}}\left[\begin{array}{c}{F}_{x}\\ {F}_{y}\\ {M}_{z}\end{array}\right]\)

Flexion hors du plan de l’élément:

\(\left[\begin{array}{c}{M}_{T}\\ {M}_{1}\\ {V}_{2}\end{array}\right]=\underset{{J}_{2\theta }}{\underset{\underbrace{}}{(\begin{array}{ccc}\cos\theta & -\sin\theta & R(\cos\theta -1)\\ \sin\theta & \cos\theta & R\sin\theta \\ 0& 0& 1\end{array})}}\left[\begin{array}{c}{M}_{x}\\ {M}_{y}\\ {F}_{z}\end{array}\right]\)

8.1. Matrice de flexibilité pour la flexion dans le plan de la poutre [C1]

\(\begin{array}{}\left[{C}^{1}\right]={\int}_{0}^{\beta}\left[\begin{array}{ccc}\cos\theta & \sin\theta & R(\cos\theta -1)\\ -\sin\theta & \cos\theta & -R\sin\theta \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\mathrm{ES}}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{{k}_{1}\mathrm{SG}}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{\mathrm{EI}}_{2}}\end{array}\right]{J}_{1\theta }Rd\theta \\ ={\int}_{0}^{\beta}\left[\begin{array}{ccc}{x}_{11}& {x}_{12}& \frac{R(\cos\theta -1)}{{\mathrm{EI}}_{2}}\\ & {x}_{22}& -\frac{R\sin\theta }{{\mathrm{EI}}_{2}}\\ \text{sym.}& & \frac{1}{{\mathrm{EI}}_{2}}\end{array}\right]Rd\theta \end{array}\)

avec: \(\begin{array}{}{x}_{11}=\frac{{\cos}^{2}\theta }{\mathrm{ES}}+\frac{{\sin}^{2}\theta }{{k}_{1}\mathrm{SG}}+\frac{{R}^{2}{(\cos\theta -1)}^{2}}{{\mathrm{EI}}_{2}}\\ {x}_{12}=-\frac{\cos\theta \sin\theta }{\mathrm{ES}}+\frac{\cos\theta \sin\theta }{{k}_{1}\mathrm{SG}}-\frac{{R}^{2}(\cos\theta -1)\sin\theta }{{\mathrm{EI}}_{2}}\\ {x}_{22}=\frac{{\sin}^{2}\theta }{\mathrm{ES}}+\frac{{\cos}^{2}\theta }{{k}_{1}\mathrm{SG}}+\frac{{R}^{2}{\sin}^{2}\theta }{{\mathrm{EI}}_{2}}\end{array}\)

Annexe:

\(\begin{array}{}{\int}_{o}^{\beta}{\cos}^{2}\theta d\theta +{\int}_{o}^{\beta}{\sin}^{2}\theta d\theta =\beta \\ {\int}_{o}^{\beta}{\cos}^{2}\theta d\theta =\frac{1}{2}(\beta +\sin\beta \cos\beta )=\frac{1}{4}(2\beta -\sin(2\beta ))\\ {\int}_{o}^{\beta}{\sin}^{2}\theta d\theta =\frac{1}{2}(\beta +\sin\beta \cos\beta )=\frac{1}{4}(2\beta -\sin(2\beta ))\\ {\int}_{o}^{\beta}\sin\theta \cos\theta d\theta =\frac{{\sin}^{2}\beta }{2}\end{array}\)

d’où:

\(\begin{array}{}{C}_{11}^{1}=\frac{R}{4\text{ES}}(2\beta +\sin(2\beta ))+\frac{R}{4{k}_{1}\text{SG}}(2\beta -\sin(2\beta ))+\frac{{R}^{3}}{4{\text{EI}}_{2}}(6\beta -8\sin\beta +\sin(2\beta )),\\ {C}_{22}^{1}=\frac{R}{4\text{ES}}(2\beta +\sin(2\beta ))+\frac{R}{4{k}_{1}\text{SG}}(2\beta -\sin(2\beta ))+\frac{{R}^{3}}{4{\text{EI}}_{2}}(2\beta -\sin(2\beta )),\end{array}\)

\(\begin{array}{}{C}_{33}^{1}=\frac{R\beta }{E{I}_{2}}\\ {C}_{12}^{1}=-\frac{R}{2ES}{\sin}^{2}\beta +\frac{{R}^{3}}{2{k}_{1}SG}{\sin}^{2}\beta -\frac{{R}^{3}}{2E{I}_{2}}{\sin}^{2}\beta -\frac{{R}^{3}}{2E{I}_{2}}\left[2\cos\beta -2\right]\\ {C}_{13}^{1}=\frac{{R}^{2}}{E{I}_{2}}(\sin\beta -\beta )\\ {C}_{23}^{1}=\frac{{R}^{2}}{E{I}_{2}}(\cos\beta -1)\end{array}\)

8.2. Matrice de flexibilité pour la flexion hors du plan de la poutre [C2]

\(\begin{array}{c}\left[{\mathrm{C}}^{2}\right]=\underset{0}{\overset{\beta}{\int}}\left[\begin{array}{ccc}\cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ R\left(\cos\theta -1\right)& R\sin\theta & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\text{EI}}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{{\mathit{EI}}_{1}}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{k}_{2}\text{SG}}\end{array}\right]{J}_{2\theta }Rd\theta \\ ={\int}_{0}^{\beta}\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\cos}^{2}\theta }{\text{EI}}+\frac{{\sin}^{2}\theta }{{\mathit{EI}}_{1}}& -\frac{\cos\theta \sin\theta }{\text{EI}}+\frac{\cos\theta \sin\theta }{{\mathit{EI}}_{1}}& \frac{R\left(\cos\theta -1\right)\cos\theta }{\text{EI}}+\frac{R{\sin}^{2}\theta }{{\mathit{EI}}_{1}}\\ & \frac{{\sin}^{2}\theta }{\text{EI}}+\frac{{\cos}^{2}\theta }{{\mathit{EI}}_{1}}& -\frac{R\left(\cos\theta -1\right)\sin\theta }{\text{EI}}+\frac{R\cos\theta \sin\theta }{{\mathit{EI}}_{1}}\\ \text{sym.}& & \frac{{R}^{2}{\left(\cos\theta -1\right)}^{2}}{\text{EI}}+\frac{{R}^{2}{\sin}^{2}\theta }{{\mathit{EI}}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}\text{SG}}\end{array}\right]Rd\theta \end{array}\)

\(\begin{array}{c}{C}_{11}^{2}=-\frac{R}{4\text{EI}}\left(2\beta +\sin\left(2\beta \right)\right)+\frac{R}{4{\mathit{EI}}_{1}}\left(2\beta +\sin\left(2\beta \right)\right)\\ {C}_{22}^{2}=\frac{R}{4\text{EI}}\left(2\beta -\sin\left(2\beta \right)\right)+\frac{R}{4{\mathit{EI}}_{1}}\left(2\beta +\sin\left(2\beta \right)\right)\\ {C}_{33}^{2}=-\frac{{R}^{3}}{2\text{EI}}\left[6\beta -8\sin\beta +\sin\left(2\beta \right)\right]+\frac{{R}^{3}}{4{\mathit{EI}}_{1}}\left(2\beta +\sin\left(2\beta \right)\right)+\frac{\text{Rb}}{{k}_{2}\text{SG}}\\ {C}_{12}^{2}=-\frac{R}{2\text{EI}}{\sin}^{2}\beta +\frac{R}{2{\mathit{EI}}_{1}}{\sin}^{2}\beta \\ {C}_{13}^{2}=\frac{{R}^{2}}{4\text{EI}}\left(2\beta +\sin\left(2\beta \right)-4\sin\beta \right)+\frac{{R}^{2}}{4{\mathit{EI}}_{1}}\left(2\beta -\sin\left(2\beta \right)\right)\\ {C}_{23}^{2}=-\frac{{R}^{2}}{2\text{EI}}\left({\sin}^{2}\beta +2\cos\beta -2\right)+\frac{{R}^{2}}{2{\mathit{EI}}_{1}}{\sin}^{2}\beta \end{array}\)

Ayant déterminé la matrice de flexibilité, nous allons pouvoir calculer la matrice de rigidité.

On a donc:

\({E}_{p}=\frac{1}{2}{T}_{P}^{{e}^{T}}\left[C\right]{T}_{P}^{e}\) , ceci \(\forall {T}_{P}^{e}\) (\(e\) : pour extérieur)

Comme on a: \({T}_{Q}^{e}={J}_{\beta}{T}_{P}^{e}\) (Rappel: \({T}_{P}^{e}\text{et}{T}_{Q}^{e}\) ne sont pas décrits dans la même base).

On a aussi:

\({E}_{p}=\frac{1}{2}{T}_{Q}^{{e}^{T}}{J}_{\beta}^{-{1}^{T}}\left[C\right]{J}_{\beta}^{-1}{T}_{Q}^{e},\forall {T}_{Q}^{e}\)

A l’aide du théorème de Castigliano, on peut obtenir les déplacements associés aux efforts extérieurs \({T}^{e}\) .

\({U}_{p}=[C]{T}_{P}^{e}\)	dans la base locale du point \(P{(s,{n}_{1},{n}_{2})}_{P}\)
et \({U}_{Q}={J}_{\beta}^{-{1}^{T}}\left[C\right]{J}_{\beta}^{-1}{T}_{Q}^{e}\)	dans la base locale du point \(Q(s,{n}_{1},{n}_{2}){}_{Q}\text{}\)
\(\forall {T}_{P}^{e}\) et \(\forall {T}_{Q}^{e}\)

En décomposant le problème en deux sous-problèmes, et en utilisant le principe de superposition, on peut écrire:

\(\begin{array}{}{T}_{\mathrm{Qtotal}}^{e}=\underset{\begin{array}{}\text{effort provenant}\\ \text{du point P}\end{array}}{{T}_{\mathrm{PP}}^{e}}+\underset{\begin{array}{}\text{effort provenant}\\ \text{du point Q}\end{array}}{{T}_{\mathrm{PQ}}^{e}}=-{T}_{\mathrm{PP}}^{i}-{T}_{\mathrm{PQ}}^{i}\\ {T}_{\mathrm{Qtotal}}^{e}=\underset{\begin{array}{}\text{effort provenant}\\ \text{du point Q}\end{array}}{{T}_{\mathrm{QP}}^{e}}+\underset{\begin{array}{}\text{effort provenant}\\ \text{du point P}\end{array}}{{T}_{\mathrm{QQ}}^{e}}=-{T}_{\mathrm{QP}}^{i}-{T}_{\mathrm{QQ}}^{i}\end{array}\)

(on applique deux torseurs d’effort (indépendants l’un de l’autre) au point \(P\) et au point \(Q\) ).

Action provenant d’un côté: \({T}_{\text{PP}}^{i}=-{T}_{P}^{e}=-K\mathrm{Up}\text{}(K={\left[C\right]}^{\text{-1}})\)

Action provenant de l’autre côté: \({T}_{\text{PQ}}^{i}\text{=+}{J}_{\beta}^{-1}{T}_{Q}^{e}={J}_{\beta}^{-1}\left[{J}_{\beta}K{J}_{\beta}^{T}\right]{U}_{Q}=K{J}_{\beta}^{T}{U}_{Q}\)

Nous obtenons ainsi:

\({T}_{{P}_{\text{total}}}^{e}={\text{K U}}_{P}-{\text{K J}}_{\beta}^{T}\text{}{U}_{Q}\) et de même \({T}_{{Q}_{\text{total}}}^{e}=-{J}_{\beta}{\text{K U}}_{P}+{J}_{\beta}{\text{K J}}_{\beta}^{T}{U}_{Q}\)

La matrice de rigidité pour les « déplacements » \({U}_{P}\) (donnés dans sa base locale) et pour les « déplacements » \({U}_{Q}\) (donnés dans sa base locale) est:

\(K=\left[\begin{array}{c}K\text{}-K{J}_{\beta}^{T}\\ -{J}_{\beta}K\text{}{J}_{\beta}{\mathrm{KJ}}_{\beta}^{T}\end{array}\right]\)

De plus, dans le cas de poutres à section circulaire creuse (coudes de tuyauteries), on divise \({I}_{y}\) et \({I}_{z}\) par des coefficients de flexibilité donnés par l’utilisateur, pour prendre en compte la variation de rigidité due à l’ovalisation (cf. [§ 10.2 ]).

Pour la matrice de masse, on ne considère que la matrice réduite (masses concentrées), et on fait l’hypothèse simplificatrice que l’expression donnée pour les poutres droites [§ 4.4 ] reste valable en considérant un élément droit de longueur \(R.\beta\) .

On obtient:

\(\begin{array}{}{M}_{11}={M}_{22}={M}_{33}={M}_{77}={M}_{88}={M}_{99}=\frac{\rho \mathrm{SR}.\beta }{2}\\ {M}_{44}={M}_{1010}=\frac{\rho ({I}_{y}+{I}_{z})R.\beta }{2}\\ {M}_{55}={M}_{1111}=\frac{2\rho {I}_{y}R.\beta }{15}+\min(\frac{\rho S{(R\beta )}^{3}}{105},\frac{\rho S{(R\beta )}^{2}}{48})\\ {M}_{66}={M}_{1212}=\frac{2\rho {I}_{z}R.\beta }{15}+\min(\frac{\rho S{(R\beta )}^{3}}{105},\frac{\rho S{(R\beta )}^{2}}{48})\end{array}\)

Cette hypothèse est limitative et ne permet pas de bien prendre en compte l’inertie de flexion ou de torsion due à la courbure. Il vaut donc mieux dans ce cas modéliser une poutre courbe par plusieurs éléments courbes.