3. Solution de référence pour une plaque homogène isotrope élastique#
3.1. Correcteurs#
La résolution des problèmes élémentaires par [Voldoire1993], dans le cas d’une plaque homogène isotrope élastique, mène aux correcteurs en membrane
\[\chi^{11} = \chi^{22} = \left(0; 0; -\frac{\nu z}{1-\nu}\right)
\textrm{ et }
\chi^{12} = 0\]
en flexion
\[\xi^{11} = \xi^{22} = \left(0; 0; -\frac{\nu z^2}{2\left(1-\nu\right)}\right)
\textrm{ et }
\xi^{12} = 0\]
et en cisaillement transverse (avec la formulation de Mindlin)
\[\phi^{11} = \phi^{22} = 0
\textrm{.}\]
Le problème n’est fonction que de la position verticale \(z\).
3.2. Coefficients homogénéisés#
Les symétries imposent une absence de couplage entre les coefficients en membrane, flexion et cisaillement transverse.
Les coefficients homogénéisés déduits par [Voldoire1993] sont, en membrane, linéaires en \(z\)
\[\begin{split}\mathbf{A}^{\text{mm}}
=
\frac{Eh}{1-\nu^2}
\begin{pmatrix}
1 & \nu & 0 \\
\nu & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1-\nu
\end{pmatrix}
\textrm{,}\end{split}\]
en flexion, quadratiques en \(z\)
\[\begin{split}\mathbf{A}^{\text{ff}}
=
\frac{Eh^3}{12\left(1-\nu^2\right)}
\begin{pmatrix}
1 & \nu & 0 \\
\nu & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1-\nu
\end{pmatrix}\end{split}\]
et, en cisaillement transverse, constants
\[\mathbf{A}^{\text{CT}}_{1313}
=
\mathbf{A}^{\text{CT}}_{2323}
=
\frac{Eh}{1+\nu}
\textrm{.}\]