1. Problème de référence#
1.1. Géométrie#
Les plaques percées sont des éléments récurrents dans l’industrie. La théorie de l’homogénéisation est bien adaptée dans un tel cas du fait de la périodicité des alésages présents sur la plaque. La cellule de base est carré et symétrique, on prends en compte seulement le premier octant.(). Pour la modélisation A l’épaisseur est sans influence, alors que c’est le cas pour B et C. On considére un épaisseur de la plaque de 534mm
Figure 1.1-1: Cellule de base à pas carré |
Figure 1.1-2: 1/8 de la cellule de base |
1.2. Propriétés de matériaux#
Comme on se place dans le cadre du comportement linéaire, on choisit les caractéristiques des matériaux unitaires:
\(\begin{array}{c}E=1.0\mathit{MPa}\hfill \\ \nu =0.3\hfill \\ k=1.0W/(m.°C)\hfill \\ {C}_{p}=0J/(°C.{m}^{3})\hfill \end{array}\)
1.3. Conditions aux limites et chargements#
On cherche à résoudre six problèmes d’élasticité linéaire en 3D sur la cellule de base, sous conditions aux limites périodiques et symétriques. Chaque problème est associé à un correcteur \(\mathrm{\chi }\) qui accommode localement les pré-déformations \({\epsilon}^{0}\) .
Les conditions aux limites de périodicités et de symétries,pour chaque problème d’élasticité, sont données dans le tableau ci-dessous. On affichera également le déplacement associé au problème considéré.
\(y=0\to {u}_{y}=0\) sur \({y}_{min}\) et \({y}_{max}\) |
\(z=0\to {u}_{z}=0\) sur \({z}_{min}\) et \({z}_{max}\) |
\(y=0\to {u}_{y}=0\) sur \({y}_{min}\) et \({y}_{max}\) |
\(z=0\to {u}_{z}=0\) sur \({z}_{min}\) et \({z}_{max}\) |
\(y=0\to {u}_{y}=0\) sur \({y}_{min}\) et \({y}_{max}\) |
\(z=0\to {u}_{z}=0\) sur \({z}_{min}\) et \({z}_{max}\) |
\(y=0\to {u}_{x}={u}_{z}=0\) su \({y}_{min}\) et \({y}_{max}\) |
\(z=0\to {u}_{z}=0\) sur \({z}_{min}\) et \({z}_{max}\) |
\(y=0\to {u}_{y}=0\) su \({y}_{min}\) et \({y}_{max}\) |
\(z=0\to {u}_{x}={u}_{y}=0\) sur \({z}_{min}\) et \({z}_{max}\) |
\(y=0\to {u}_{x}={u}_{z}=0\) su \({y}_{min}\) et \({y}_{max}\) |
\(z=0\to {u}_{x}={u}_{y}=0\) sur \({z}_{min}\) et \({z}_{max}\) |
\(z=0\to {u}_{x}={u}_{y}=0\) sur \({z}_{min}\) et \({z}_{max}\) |
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Pour le problème en thermique linéaire, on adopte la même démarche que pour l’élasticité mais on calcule seulement trois correcteurs.
Correcteur \({\zeta}^{1}\) |
\(x=0\to T°=0\) sur \({x}_{min}\) et \({x}_{max}\) |
Correcteur \({\zeta}^{2}\) |
\(y=0\to T°=0\) sur \({y}_{min}\) et \({y}_{max}\) |
Correcteur \({\zeta}^{3}\) |
\(z=0\to T°=0\) sur \({z}_{min}\) et \({z}_{max}\) |