Solution de référence pour une plaque homogène isotrope élastique
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Correcteurs
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La résolution des problèmes élémentaires par [Voldoire1993]_, dans le cas d'une plaque homogène isotrope élastique, mène aux correcteurs en membrane

.. _RefEquation 3.1-1:

.. math::

    \chi^{11} = \chi^{22} = \left(0; 0; -\frac{\nu z}{1-\nu}\right)
    \textrm{ et }
    \chi^{12} = 0

en flexion

.. _RefEquation 3.1-2:

.. math::

    \xi^{11} = \xi^{22} = \left(0; 0; -\frac{\nu z^2}{2\left(1-\nu\right)}\right)
    \textrm{ et }
    \xi^{12} = 0

et en cisaillement transverse (avec la formulation de Mindlin)

.. _RefEquation 3.1-3:

.. math::

    \phi^{11} = \phi^{22} = 0
    \textrm{.}

Le problème n'est fonction que de la position verticale :math:`z`.


Coefficients homogénéisés
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Les symétries imposent une absence de couplage entre les coefficients en membrane, flexion et cisaillement transverse.

Les coefficients homogénéisés déduits par [Voldoire1993]_ sont, en membrane, linéaires en :math:`z`

.. _RefEquation 3.2-1:

.. math::
    \mathbf{A}^{\text{mm}}
    =
    \frac{Eh}{1-\nu^2}
    \begin{pmatrix}
        1 & \nu & 0 \\
        \nu & 1 & 0 \\
        0 & 0 & 1-\nu
    \end{pmatrix}
    \textrm{,}

en flexion, quadratiques en :math:`z`

.. _RefEquation 3.2-2:

.. math::
    \mathbf{A}^{\text{ff}}
    =
    \frac{Eh^3}{12\left(1-\nu^2\right)}
    \begin{pmatrix}
        1 & \nu & 0 \\
        \nu & 1 & 0 \\
        0 & 0 & 1-\nu
    \end{pmatrix}

et, en cisaillement transverse, constants

.. _RefEquation 3.2-3:

.. math::

    \mathbf{A}^{\text{CT}}_{1313}
    =
    \mathbf{A}^{\text{CT}}_{2323}
    =
    \frac{Eh}{1+\nu}
    \textrm{.}