2. Solution de référence pour le MASSIF

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

\(\lbrace \begin{array}{c}{\mathrm{\chi }}^{\mathit{kh}}\in {V}_{\mathit{pér}}^{\mathit{CA}}\hfill \\ {\int}_{{Z}_{e}}\epsilon (\vec{{\mathrm{\chi }}^{\mathit{kh}}}).A.\epsilon (\vec{\nu})\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz}=-{\int}_{{Z}_{e}}{\epsilon}_{\mathit{kh}}^{0}.A.\epsilon (\vec{\nu})\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz},\forall \vec{\nu}\in {V}_{\mathit{pér}}^{\mathit{CA}}\end{array}\) éq 2.1-1 Pour un problème 3D en élasticité linéaire, on détermine les 6 correcteurs qui vérifient l’équation :

A partir du calcul des correcteurs, on détermine les coefficientshomogénéisés de la matrice d’après le formule suivante:

\({\epsilon}_{ij}^{0}.{A}^{\mathit{hom}}.{\epsilon}_{\mathit{kh}}^{0}=\frac{1}{|{Z}_{e}|}{\int}_{{Z}_{e}}{\epsilon}_{ij}^{0}.A.{\epsilon}_{\mathit{kh}}^{0}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz}-\frac{1}{|{Z}_{e}|}{\int}_{{Z}_{e}}\epsilon (\vec{{\mathrm{\chi }}^{ij}}).A.\epsilon (\vec{{\mathrm{\chi }}^{\mathit{kh}}})\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz}\) éq 2.1-2

où \({\epsilon}^{0}\) est la déformation macroscopique donnée et \({Z}_{e}\) le volume total de la cellule de base.

La première intégrale de l’équation est la loi des mélanges en rigidités alors que la deuxième intégrale est la contribution des correcteurs. Pour le cas anisotrope, on aura au plus 21 coefficients d’élasticité indépendants. En revanche dans notre cas d’étude, ce nombre est réduit du fait des symétries et de l’invariance selon Oz de la cellule de base, qui permet d’aboutir à 12 relations sur les coefficients de raideur élastique homogénéisés:

\(\begin{array}{c}{A}_{1111}^{\text{hom}}={A}_{2222}^{\text{hom}}\phantom{\rule{2em}{0ex}};\phantom{\rule{2em}{0ex}}{A}_{1133}^{\text{hom}}={A}_{2233}^{\text{hom}}\phantom{\rule{2em}{0ex}};\phantom{\rule{2em}{0ex}}{A}_{3131}^{\text{hom}}={A}_{2323}^{\text{hom}}\\ {A}_{1112}^{\text{hom}}={A}_{2212}^{\text{hom}}={A}_{1113}^{\text{hom}}={A}_{2213}^{\text{hom}}={A}_{2223}^{\text{hom}}={A}_{1123}^{\text{hom}}={A}_{3313}^{\text{hom}}={A}_{3323}^{\text{hom}}={A}_{3312}^{\text{hom}}=0\end{array}\) éq 2.1-3

Donc, il ne reste plus à déterminer que 9 coefficients d’élasticité homogénéisée: le matériau homogénéisé est élastique orthotrope. En revanche, dans , on exhibe certaines relations entre les coefficients homogénéisés qui réduisent le nombre de coefficients indépendants.

\({A}_{3333}^{\text{hom}}=\frac{1}{|{Z}_{e}|}{\int}_{{Z}_{e}}E\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz}+2{\nu}^{2}.\left({A}_{1111}^{\text{hom}}+{A}_{1122}^{\text{hom}}\right)\) éq 2.1-4

\({A}_{1133}^{\text{hom}}={A}_{2233}^{\text{hom}}=\nu .\left({A}_{1111}^{\text{hom}}+{A}_{1122}^{\text{hom}}\right)\) éq 2.1-5

De même, pour la thermique, on calculetrois coefficients homogénéisés dontdeux qui sont indépendants \({K}_{11}^{\text{hom}}\text{et}{K}_{33}^{\text{hom}}\) . Dans , on détermine aussi une relation entre les coefficients de rigidité de cisaillement transverse homogénéisés et les coefficients thermiques homogénéisés.

\({A}_{3\alpha 3\alpha }^{\text{hom}}=\frac{2\mu }{k}{K}_{11}^{\text{hom}}\) éq 2.1-6

Toutes ces relations vont nous permettre de vérifier que le calcul élément finis produit des résultats corrects en vérifiant et en comparant les valeurs obtenues numériquement. Pour les calculs des coefficients homogénéisés, on compare nos résultats à ceux obtenus dans VOLDOIRE93, qui rassemble les résultats numériques du calcul du comportement élastique, thermique et thermoélastique, homogénéisé des plaques percées.