2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Les résultats de référence sont issus du livre cité ci-dessous [bib1].

\({p}_{m}=3{\sigma}_{0}\) avec \({p}_{m}\) la pression de contact (page 171).

\(\mathrm{Rjohnson}={p}_{m}a=3{\sigma}_{0}a\) si \(a\) est la surface de contact.

Or en plasticité parfaite \(\delta =0,368{a}^{2}/R\) d’après l’analyse de Richmond (page 200)

Finalement, on obtient:

\(\mathrm{Rjohnson}=3\pi R{\sigma}_{0}\delta /0,368\)

\(\mathrm{Rjohnson}\) : Réaction normale de contact du massif sur la sphère

\(R\) : Rayon de la sphère

\(\delta\) : Déplacement du sommet du massif

\({\sigma}_{0}\) : Limite élastique du massif

Ce résultat est valable sous les hypothèses suivantes :

  • problème axisymétrique,

  • matériau parfaitement plastique (le coefficient 0,368 est issue de cette hypothèse)

  • petites déformations

  • sphère rigide.

2.2. Résultats de référence#

Les résultats de référence sont obtenus à partir de la formule précédente. Elle est valable pour le modèle complet en 3D.

Remarque :

Dans notre étude, Rjohnson dépend uniquement du déplacement, on peut écrire la relation sous la forme suivante grâce aux données du problème : \(\mathrm{Rjohnson}=640270\delta\) avec \(\mathrm{Rjohnson}\) en newton et \(\delta\) en millimètre. \(\delta\) est directement relié à l’instant de calcul.

La valeur de la résultante normale de contact provenant de ASTER est donnée sur un quartier de 1radian d’ouverture en 2D axisymétrique et sur un quartier de \(\pi /2\) pour le modèle 3D (par symétrie, il suffit de modéliser le quart du problème).

Ainsi, les valeurs de référence sont :

en 2D axisymétrique

:

\(\mathrm{Rref}=\mathrm{Rjohnson}/2\pi =101902,1\delta\)

en 3D

:

\(\mathrm{Rref}=\mathrm{Rjohnson}/4=160067,5\delta\)

2.3. Incertitudes sur la solution#

Solution analytique.

2.4. Référence bibliographique#

  1. « Contact Mechanics » - K. L. JOHNSON - Cambridge University Press - chapitre 6 p.153‑201