Solution de référence
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.. _Ref518115239:


Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Les résultats de référence sont issus du livre cité ci-dessous [:ref:`bib1 <bib1>`].

:math:`{p}_{m}=3{\sigma}_{0}` avec :math:`{p}_{m}` la pression de contact (page 171).

:math:`\mathrm{Rjohnson}={p}_{m}a=3{\sigma}_{0}a` si :math:`a` est la surface de contact.

Or en plasticité parfaite :math:`\delta =0,368{a}^{2}/R` d’après l’analyse de Richmond (page 200)

Finalement, on obtient:

:math:`\mathrm{Rjohnson}=3\pi R{\sigma}_{0}\delta /0,368`

:math:`\mathrm{Rjohnson}` : Réaction normale de contact du massif sur la sphère

:math:`R` : Rayon de la sphère

:math:`\delta` : Déplacement du sommet du massif

:math:`{\sigma}_{0}` : Limite élastique du massif

Ce résultat est valable sous les hypothèses suivantes :


*   problème axisymétrique,


*   matériau parfaitement plastique (le coefficient 0,368 est issue de cette hypothèse)


*   petites déformations


*   sphère rigide.


Résultats de référence
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Les résultats de référence sont obtenus à partir de la formule précédente. Elle est valable pour le modèle complet en 3D.

**Remarque :**

*Dans notre étude, Rjohnson dépend uniquement du déplacement, on peut écrire la relation sous la forme suivante grâce aux données du problème :* :math:`\mathrm{Rjohnson}=640270\delta` *avec* :math:`\mathrm{Rjohnson}` *en newton et* :math:`\delta` *en millimètre.* :math:`\delta` *est directement relié à l'instant de calcul.*

La valeur de la résultante normale de contact provenant de ASTER est donnée sur un quartier de 1radian d'ouverture en 2D axisymétrique et sur un quartier de :math:`\pi /2` pour le modèle 3D (par symétrie, il suffit de modéliser le quart du problème).

Ainsi, les valeurs de référence sont :

.. csv-table::

    "en 2D axisymétrique", ":", ":math:`\mathrm{Rref}=\mathrm{Rjohnson}/2\pi =101902,1\delta`"
    "en 3D", ":", ":math:`\mathrm{Rref}=\mathrm{Rjohnson}/4=160067,5\delta`"



Incertitudes sur la solution
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Solution analytique.


Référence bibliographique
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1.  "Contact Mechanics" - K. L. JOHNSON - Cambridge University Press - chapitre 6 p.153‑201