2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
Cas 2D
Le coefficient de Poisson \(\nu\) étant nul, la solution s’écrit indépendamment suivant la direction \(x\) et la direction \(y\) .
En négligeant la pesanteur, l’équation s’écrit (en contraintes totales):
\(\text{Div}(\sigma )=0\)
Étant dans le cas élastique, on a \(\sigma =Eϵ\) , soit finalement \(\text{Div}(ϵ)=0\) .
Selon \(x\) , \(\frac{\partial {ϵ}_{xx}}{\partial x}=0\) d’où:
les déplacements au dessus de l’interface s’écrivent \({u}_{x}(x,y)=\frac{-0.01\ast x}{\mathit{LX}}\ast (\mathit{LY}-y)\)
les déplacements en dessous de l’interface s’écrivent \({u}_{x}(x,y)={f}_{x}(x,y)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}\)
Selon \(y\) , les déplacements sont imposés partout donc:
les déplacements au dessus de l’interface s’écrivent \({u}_{y}(x,y)={f}_{y}(x,y)\)
les déplacements au dessous de l’interface s’écrivent \({u}_{y}(x,y)={f}_{y}(x,y)\)
Cas 3D
Le coefficient de Poisson \(\nu\) étant nul, la solution s’écrit indépendamment suivant la direction \(x\) , la direction \(y\) et la direction \(z\) .
En négligeant la pesanteur, l’équation s’écrit (en contraintes totales):
\(\text{Div}(\sigma )=0\)
Étant dans le cas élastique, on a \(\sigma =Eϵ\) , soit finalement \(\text{Div}(ϵ)=0\) .
Selon \(x\) , \(\frac{\partial {ϵ}_{xx}}{\partial x}=0\) d’où:
les déplacements au dessus de l’interface s’écrivent \({u}_{x}(x,y,z)={f}_{x}(x,y,z)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}\)
les déplacements en dessous de l’interface s’écrivent \({u}_{x}(x,y,z)={f}_{x}(x,y,z)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}\)
Selon \(z\) , les déplacements sont imposés partout donc:
les déplacements au dessus de l’interface s’écrivent \({u}_{z}(x,y,z)={f}_{z}(x,y,z)\)
les déplacements au dessous de l’interface s’écrivent \({u}_{z}(x,y,z)={f}_{z}(x,y,z)\)
Selon \(y\) , les déplacements sont nuls partout.
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
On teste les déplacements au dessus et en dessous de l’interface.
2.2.1. En 2D#
Dans la modélisation A (linéaire) \({f}_{x}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast y\mathit{si}Y<{L}_{d}\\ -0.01\ast (\mathit{LY}-y)\mathit{si}Y>{L}_{d}\end{array}\)
Dans la modélisation B (quadratique) \({f}_{x}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast {y}^{2}\mathit{si}Y<{L}_{d}\\ -0.01\ast {(\mathit{LY}-y)}^{2}\mathit{si}Y>{L}_{d}\end{array}\)
avec \(\mathit{LX}=\mathrm{1m},\mathit{LY}=\mathrm{5m}\) et \({f}_{y}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}-0.01\ast y\mathit{si}Y<{L}_{d}\\ 0.01\ast (\mathit{LY}-y)\mathit{si}Y>{L}_{d}\end{array}\)
Selon \(x\) :
les déplacements au dessus de l’interface s’écrivent \({u}_{x}(x,y)=\frac{-0.01\ast x}{\mathit{LX}}\ast (\mathit{LY}-y)\)
les déplacements en dessous de l’interface s’écrivent \({u}_{x}(x,y)={f}_{x}(x,y)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}\)
Selon \(y\) , les déplacements sont imposés partout donc:
les déplacements au dessus de l’interface s’écrivent \({u}_{y}(x,y)={f}_{y}(x,y)\)
les déplacements au dessous de l’interface s’écrivent \({u}_{y}(x,y)={f}_{y}(x,y)\)
Pour la modélisation A , \(Y={L}_{d}=\frac{13\ast \mathit{LY}}{25}\) .
On teste le déplacement selon \(y\) des deux nœuds de l’interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
DY (en dessous) |
“ANALYTIQUE” |
-2.6E-02 |
DY (au dessus) |
“ANALYTIQUE” |
2.4E-02 |
On teste également le déplacement selon \(x\) des deux nœuds de l’interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure en \(x=\mathrm{1m}\) .
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
DX(en dessous) |
“ANALYTIQUE” |
2.6E-02 |
DX(audessus) |
“ANALYTIQUE” |
-2.4E-02 |
Pour la modélisation B , \(Y={L}_{d}=\frac{13\ast \mathit{LY}}{25}\) .
On teste le déplacement selon \(y\) des deux nœuds de l’interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
DY (en dessous) |
“ANALYTIQUE” |
-2.6E-02 |
DY (au dessus) |
“ANALYTIQUE” |
2.4E-02 |
On teste également le déplacement selon \(x\) des deux nœuds de l’interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure en \(x=\mathrm{1m}\) .
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
DX(en dessous) |
“ANALYTIQUE” |
6.76E-02 |
DX(audessus) |
“ANALYTIQUE” |
-5.76E-02 |
2.2.2. En 3D#
Dans la modélisation C (linéaire) \({f}_{x}(x,y,z)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast z\mathit{si}Z<{L}_{d}\\ -0.01\ast (\mathit{LZ}-z)\mathit{si}Z>{L}_{d}\end{array}\)
Dans la modélisation D (quadratique) \({f}_{x}(x,y,z)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast {z}^{2}\mathit{si}Z<{L}_{d}\\ -0.01\ast {(\mathit{LZ}-z)}^{2}\mathit{si}Z>{L}_{d}\end{array}\)
avec \(\mathit{LX}=\mathrm{1m},\mathit{LY}=\mathrm{1m},\mathit{LZ}=\mathrm{5m}\) et \({f}_{z}(x,y,z)=\lbrace \begin{array}{c}-0.01\ast z\mathit{si}Z<{L}_{d}\\ 0.01\ast (\mathit{LZ}-z)\mathit{si}Z>{L}_{d}\end{array}\) .
Selon \(x\) :
les déplacements au dessus de l’interface s’écrivent \({u}_{x}(x,y,z)={f}_{x}(x,y,z)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}\)
les déplacements en dessous de l’interface s’écrivent \({u}_{x}(x,y,z)={f}_{x}(x,y,z)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}\)
Selon \(z\) , les déplacements sont imposés partout donc:
les déplacements au dessus de l’interface s’écrivent \({u}_{z}(x,y,z)={f}_{z}(x,y,z)\)
les déplacements au dessous de l’interface s’écrivent \({u}_{z}(x,y,z)={f}_{z}(x,y,z)\)
Selon \(y\) , les déplacements sont nuls partout.
Pour la modélisation C , \(Z={L}_{d}=\frac{2\ast \mathit{LZ}}{5}\) .
On teste le déplacement selon \(z\) des deux nœuds de l’interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
DZ (en dessous) |
“ANALYTIQUE” |
-2.0E-02 |
DZ (au dessus) |
“ANALYTIQUE” |
3.0E-02 |
On teste également le déplacement selon \(x\) des deux nœuds de l’interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure en \(x=\mathrm{1m}\) .
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
DX(en dessous) |
“ANALYTIQUE” |
2.0E-02 |
DX(audessus) |
“ANALYTIQUE” |
-3.0E-02 |
Pour la modélisation D , \(Z={L}_{d}=\frac{\mathit{LZ}}{2}\) .
On teste le déplacement selon \(z\) des deux nœuds de l’interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
DZ (en dessous) |
“ANALYTIQUE” |
-2.5E-02 |
DZ (au dessus) |
“ANALYTIQUE” |
2.5E-02 |
On teste également le déplacement selon \(x\) des deux nœuds de l’interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure en \(x=\mathrm{1m}\) .
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
DX(en dessous) |
“ANALYTIQUE” |
6.25E-02 |
DX(audessus) |
“ANALYTIQUE” |
-6.25E-02 |
2.3. Incertitudes sur la solution#
Aucune, les valeurs testées sont analytiques.