Solution de référence ===================== Méthode de calcul ----------------- *Cas 2D* Le coefficient de Poisson :math:`\nu` étant nul, la solution s'écrit indépendamment suivant la direction :math:`x` et la direction :math:`y` . En négligeant la pesanteur, l'équation s'écrit (en contraintes totales): :math:`\text{Div}(\sigma )=0` Étant dans le cas élastique, on a :math:`\sigma =Eϵ` , soit finalement :math:`\text{Div}(ϵ)=0` . Selon :math:`x` , :math:`\frac{\partial {ϵ}_{xx}}{\partial x}=0` d'où: * les déplacements au dessus de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{x}(x,y)=\frac{-0.01\ast x}{\mathit{LX}}\ast (\mathit{LY}-y)` * les déplacements en dessous de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{x}(x,y)={f}_{x}(x,y)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}` Selon :math:`y` , les déplacements sont imposés partout donc: * les déplacements au dessus de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{y}(x,y)={f}_{y}(x,y)` * les déplacements au dessous de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{y}(x,y)={f}_{y}(x,y)` *Cas 3D* Le coefficient de Poisson :math:`\nu` étant nul, la solution s'écrit indépendamment suivant la direction :math:`x` , la direction :math:`y` et la direction :math:`z` . En négligeant la pesanteur, l'équation s'écrit (en contraintes totales): :math:`\text{Div}(\sigma )=0` Étant dans le cas élastique, on a :math:`\sigma =Eϵ` , soit finalement :math:`\text{Div}(ϵ)=0` . Selon :math:`x` , :math:`\frac{\partial {ϵ}_{xx}}{\partial x}=0` d'où: * les déplacements au dessus de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{x}(x,y,z)={f}_{x}(x,y,z)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}` * les déplacements en dessous de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{x}(x,y,z)={f}_{x}(x,y,z)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}` Selon :math:`z` , les déplacements sont imposés partout donc: * les déplacements au dessus de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{z}(x,y,z)={f}_{z}(x,y,z)` * les déplacements au dessous de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{z}(x,y,z)={f}_{z}(x,y,z)` Selon :math:`y` , les déplacements sont nuls partout. Grandeurs et résultats de référence ----------------------------------- On teste les déplacements au dessus et en dessous de l'interface. En 2D ~~~~~ Dans la modélisation A (linéaire) :math:`{f}_{x}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast y\mathit{si}Y<{L}_{d}\\ -0.01\ast (\mathit{LY}-y)\mathit{si}Y>{L}_{d}\end{array}` Dans la modélisation B (quadratique) :math:`{f}_{x}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast {y}^{2}\mathit{si}Y<{L}_{d}\\ -0.01\ast {(\mathit{LY}-y)}^{2}\mathit{si}Y>{L}_{d}\end{array}` avec :math:`\mathit{LX}=\mathrm{1m},\mathit{LY}=\mathrm{5m}` et :math:`{f}_{y}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}-0.01\ast y\mathit{si}Y<{L}_{d}\\ 0.01\ast (\mathit{LY}-y)\mathit{si}Y>{L}_{d}\end{array}` Selon :math:`x` : * les déplacements au dessus de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{x}(x,y)=\frac{-0.01\ast x}{\mathit{LX}}\ast (\mathit{LY}-y)` * les déplacements en dessous de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{x}(x,y)={f}_{x}(x,y)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}` Selon :math:`y` , les déplacements sont imposés partout donc: * les déplacements au dessus de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{y}(x,y)={f}_{y}(x,y)` * les déplacements au dessous de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{y}(x,y)={f}_{y}(x,y)` **Pour la modélisation A** , :math:`Y={L}_{d}=\frac{13\ast \mathit{LY}}{25}` . On teste le déplacement selon :math:`y` des deux nœuds de l'interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure. .. csv-table:: "Grandeurs testées", "Type de référence", "Valeur de référence" "DY (en dessous)", "'ANALYTIQUE'", "-2.6E-02" "DY (au dessus)", "'ANALYTIQUE'", "2.4E-02" On teste également le déplacement selon :math:`x` des deux nœuds de l'interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure en :math:`x=\mathrm{1m}` . .. csv-table:: "Grandeurs testées", "Type de référence", "Valeur de référence" "DX(en dessous)", "'ANALYTIQUE'", "2.6E-02" "DX(audessus)", "'ANALYTIQUE'", "-2.4E-02" **Pour la modélisation B** , :math:`Y={L}_{d}=\frac{13\ast \mathit{LY}}{25}` . On teste le déplacement selon :math:`y` des deux nœuds de l'interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure. .. csv-table:: "Grandeurs testées", "Type de référence", "Valeur de référence" "DY (en dessous)", "'ANALYTIQUE'", "-2.6E-02" "DY (au dessus)", "'ANALYTIQUE'", "2.4E-02" On teste également le déplacement selon :math:`x` des deux nœuds de l'interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure en :math:`x=\mathrm{1m}` . .. csv-table:: "Grandeurs testées", "Type de référence", "Valeur de référence" "DX(en dessous)", "'ANALYTIQUE'", "6.76E-02" "DX(audessus)", "'ANALYTIQUE'", "-5.76E-02" En 3D  ~~~~~~ Dans la modélisation C (linéaire) :math:`{f}_{x}(x,y,z)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast z\mathit{si}Z<{L}_{d}\\ -0.01\ast (\mathit{LZ}-z)\mathit{si}Z>{L}_{d}\end{array}` Dans la modélisation D (quadratique) :math:`{f}_{x}(x,y,z)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast {z}^{2}\mathit{si}Z<{L}_{d}\\ -0.01\ast {(\mathit{LZ}-z)}^{2}\mathit{si}Z>{L}_{d}\end{array}` avec :math:`\mathit{LX}=\mathrm{1m},\mathit{LY}=\mathrm{1m},\mathit{LZ}=\mathrm{5m}` et :math:`{f}_{z}(x,y,z)=\lbrace \begin{array}{c}-0.01\ast z\mathit{si}Z<{L}_{d}\\ 0.01\ast (\mathit{LZ}-z)\mathit{si}Z>{L}_{d}\end{array}` . Selon :math:`x` : * les déplacements au dessus de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{x}(x,y,z)={f}_{x}(x,y,z)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}` * les déplacements en dessous de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{x}(x,y,z)={f}_{x}(x,y,z)\ast \frac{x}{\mathit{LX}}` Selon :math:`z` , les déplacements sont imposés partout donc: * les déplacements au dessus de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{z}(x,y,z)={f}_{z}(x,y,z)` * les déplacements au dessous de l'interface s'écrivent :math:`{u}_{z}(x,y,z)={f}_{z}(x,y,z)` Selon :math:`y` , les déplacements sont nuls partout. **Pour la modélisation C** , :math:`Z={L}_{d}=\frac{2\ast \mathit{LZ}}{5}` . On teste le déplacement selon :math:`z` des deux nœuds de l'interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure. .. csv-table:: "Grandeurs testées", "Type de référence", "Valeur de référence" "DZ (en dessous)", "'ANALYTIQUE'", "-2.0E-02" "DZ (au dessus)", "'ANALYTIQUE'", "3.0E-02" On teste également le déplacement selon :math:`x` des deux nœuds de l'interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure en :math:`x=\mathrm{1m}` . .. csv-table:: "Grandeurs testées", "Type de référence", "Valeur de référence" "DX(en dessous)", "'ANALYTIQUE'", "2.0E-02" "DX(audessus)", "'ANALYTIQUE'", "-3.0E-02" **Pour la modélisation D** , :math:`Z={L}_{d}=\frac{\mathit{LZ}}{2}` . On teste le déplacement selon :math:`z` des deux nœuds de l'interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure. .. csv-table:: "Grandeurs testées", "Type de référence", "Valeur de référence" "DZ (en dessous)", "'ANALYTIQUE'", "-2.5E-02" "DZ (au dessus)", "'ANALYTIQUE'", "2.5E-02" On teste également le déplacement selon :math:`x` des deux nœuds de l'interface respectivement sur la lèvre inférieure et supérieure de la fissure en :math:`x=\mathrm{1m}` . .. csv-table:: "Grandeurs testées", "Type de référence", "Valeur de référence" "DX(en dessous)", "'ANALYTIQUE'", "6.25E-02" "DX(audessus)", "'ANALYTIQUE'", "-6.25E-02" Incertitudes sur la solution ---------------------------- Aucune, les valeurs testées sont analytiques.