1. Problème de référence#

1.1. Géométrie du problème#

Il s’agit d’une colonne de hauteur \(\mathit{LZ}=5m\) , de longueur \(\mathit{LX}=1m\) et de largeur \(\mathit{LY}=1m\) . Cette colonne présente en \(Z={L}_{d}\) une discontinuité de type interface (interface non maillée qui est introduite dans le modèle par l’intermédiaire des level-sets grâce à l’opérateur DEFI_FISS_XFEM). La colonne est ainsi entièrement traversée par la discontinuité (au niveau de l’approximation du champ de déplacements, on ne prend en compte que l’enrichissement Heaviside). La hauteur de l’interface \(Y={L}_{d}\) sera différente dans les modélisations c et d.

On représente sur la Figure la géométrie de la colonne.

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Figure 1.1-a : Géométrie du problème 3D

1.2. Propriétés matériaux#

Module d’Young: \(E=5800\mathit{MPa}\)

Coefficient de Poisson: \(\nu =0\)

Coefficient de dilatation thermique: \(\alpha =0{K}^{\text{-1}}\)

1.3. Conditions aux limites#

Cas 2D

Les conditions aux limites que l’on applique sont de type Neuman. On impose:

  • Dans tout le domaine \({u}_{y}(x,y)={f}_{y}(x,y)\) avec \({f}_{y}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}-0.01\ast y\mathit{si}Y<{L}_{d}\\ 0.01\ast (\mathit{LY}-y)\mathit{si}Y>{L}_{d}\end{array}\)

  • Sur le côté [AD] \({u}_{x}(x,y)={f}_{\mathit{null}}\) avec \({f}_{\mathit{null}}\) la fonction constante de valeur nulle

  • Sur le côté [BC] \({u}_{x}(x,y)={f}_{x}(x,y)\)

Dans la modélisation A (linéaire) \({f}_{x}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast y\mathit{si}Y<{L}_{d}\\ -0.01\ast (\mathit{LY}-y)\mathit{si}Y>{L}_{d}\end{array}\)

Dans la modélisation B (quadratique) \({f}_{x}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast {y}^{2}\mathit{si}Y<{L}_{d}\\ -0.01\ast {(\mathit{LY}-y)}^{2}\mathit{si}Y>{L}_{d}\end{array}\)

Cas 3D

Les conditions aux limites que l’on applique sont de type Neuman. On impose:

  • Dans tout le domaine \({u}_{z}(x,y,z)={f}_{z}(x,y,z)\) avec \({f}_{z}(x,y,z)=\lbrace \begin{array}{c}-0.01\ast z\mathit{si}Z<{L}_{d}\\ 0.01\ast (\mathit{LZ}-z)\mathit{si}Z>{L}_{d}\end{array}\)

  • Sur la face [ADEH] \({u}_{x}(x,y,z)={f}_{\mathit{null}}\) avec \({f}_{\mathit{null}}\) la fonction constante de valeur nulle

  • Sur la face [BCGF] \({u}_{x}(x,y,z)={f}_{x}(x,y,z)\)

Dans la modélisation C (linéaire) \({f}_{x}(x,y,z)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast z\mathit{si}Z<{L}_{d}\\ -0.01\ast (\mathit{LZ}-z)\mathit{si}Z>{L}_{d}\end{array}\)

Dans la modélisation D (quadratique) \({f}_{x}(x,y,z)=\lbrace \begin{array}{c}0.01\ast {z}^{2}\mathit{si}Z<{L}_{d}\\ -0.01\ast {(\mathit{LZ}-z)}^{2}\mathit{si}Z>{L}_{d}\end{array}\)

  • Dans tout le domaine \({u}_{y}(x,y,z)={f}_{\mathit{null}}\)