2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul#

Il s’agit d’une solution analytique.

L’interface étant adiabatique, on a de part et d’autre de celle-ci deux solides thermiquement isolés. Chaque solide voit une température imposée sur une partie de son bord, et un flux nul sur le reste de son bord. Le problème étant linéaire et stationnaire, la température est donc constante dans chaque partie du barreau (et égale à la température imposée correspondante), et discontinue à travers l’interface:

en 3D: \(\lbrace \begin{array}{c}T(x,y,z)=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\inf}=10°C,\text{}\forall \text{}(x,y,z)\text{}\in \text{}\left[\frac{-\mathit{Lx}}{2},\frac{\mathit{Lx}}{2}\right]\times \left[\frac{-\mathit{Ly}}{2},\frac{\mathit{Ly}}{2}\right]\times \left[\frac{-\mathit{Lz}}{2},0\right[\\ T(x,y,z)=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\sup}=20°C,\text{}\forall \text{}(x,y,z)\text{}\in \text{}\left[\frac{-\mathit{Lx}}{2},\frac{\mathit{Lx}}{2}\right]\times \left[\frac{-\mathit{Ly}}{2},\frac{\mathit{Ly}}{2}\right]\times \left]0,\frac{\mathit{Lz}}{2}\right]\end{array}\)

en 2D: \(\lbrace \begin{array}{c}T(x,y)=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\inf}=10°C,\text{}\forall \text{}(x,y)\text{}\in \text{}\left[\frac{-\mathit{Lx}}{2},\frac{\mathit{Lx}}{2}\right]\times \left[\frac{-\mathit{Ly}}{2},0\right[\\ T(x,y)=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\sup}=20°C,\text{}\forall \text{}(x,y)\text{}\in \text{}\left[\frac{-\mathit{Lx}}{2},\frac{\mathit{Lx}}{2}\right]\times \left]0,\frac{\mathit{Ly}}{2}\right]\end{array}\)

Dans les modélisations présentées aux paragraphes suivants, l’approximation du champ de température est enrichie par une fonction de Heaviside afin de représenter la discontinuité introduite. Les nœuds dont le support est traversé par l’interface portent des degrés de liberté «classiques» et «Heaviside»: on ne peut alors pas comparer directement leurs valeurs aux valeurs analytiques obtenues ci-dessus.

Afin de pouvoir tester les valeurs de ces degrés de liberté, on se place dans le cas où le maillage du barreau est constitué de 5 hexaèdres réguliers de côté \(\mathrm{1m}\) , la maille centrale se trouve donc coupée en son milieu par l’interface. La solution étant constante dans les directions \(x\) et \(y\) , on peut se ramener à considérer l’élément unidimensionnel équivalent représenté à la Figure .

Figure 2.1-1: Élément linéaire 1D équivalent

On note \(\text{N1}\) et \(\text{N2}\) les deux nœuds de cet élément, \({\phi }_{1}\) et \({\varphi}_{2}\) les fonctions de formes associées, \(({T}_{1}^{C},{T}_{1}^{H})\) et \(({T}_{2}^{C},{T}_{2}^{H})\) les couples de degrés de liberté associés. On note de plus \(x\) le variable d’espace, \(\text{A}\) le point situé en \(x={0}^{+}\) et \(\text{B}\) le point situé en \(x={0}^{-}\) . La fonction Heaviside caractérise soit le domaine \(x<0\) (pour le nœud \(\text{N1}\) ), soit le domaine \(x>0\) (pour le nœud \(\text{N2}\) ). Notons alors \({\chi }_{-}\) la fonction caractéristique du domaine \(x<0\) et \({\chi }_{+}\) la fonction caractéristique du domaine \(x>0\) .

En tout point \(x\) de l’élément, le champ de température s’exprime par la relation suivante:

\(T(x)={\phi }_{1}(x){T}_{1}^{C}+{\phi }_{2}(x){T}_{2}^{C}-2{\chi }_{-}(x){\phi }_{1}(x){T}_{1}^{H}+2{\chi }_{+}(x){\phi }_{2}(x){T}_{2}^{H}\)

remarque : les coefficients multiplicateurs «-2» et «+2» sont introduits pour respecter la convention de la définition de l’enrichissement (voire [R7.02.12]).

Aux points \(\text{N1}\) , \(\text{N2}\) , \(\text{A}\) et \(\text{B}\) on a:

\(\lbrace \begin{array}{c}\text{En N1 :}{\chi }_{+}(x)=1,{\chi }_{-}(x)=0,{\phi }_{1}(x)=1,{\phi }_{2}(x)=0\\ \text{En A :}{\chi }_{+}(x)=1,{\chi }_{-}(x)=0,{\phi }_{1}(x)={\phi }_{2}(x)=1/2\\ \text{En B :}{\chi }_{+}(x)=0,{\chi }_{-}(x)=1,{\phi }_{1}(x)={\phi }_{2}(x)=1/2\\ \text{En N2 :}{\chi }_{+}(x)=0,{\chi }_{-}(x)=1,{\phi }_{1}(x)=0,{\phi }_{2}(x)=1\end{array}\)

ce qui conduit au système linéaire:

\(\lbrace \begin{array}{c}{T}_{1}^{C}=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\sup}\text{(N1)}\\ \frac{1}{2}{T}_{1}^{C}+\frac{1}{2}{T}_{2}^{C}+{T}_{2}^{H}=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\sup}\text{(A)}\\ \frac{1}{2}{T}_{1}^{C}-{T}_{1}^{H}+\frac{1}{2}{T}_{2}^{C}=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\inf}\text{(B)}\\ {T}_{2}^{C}=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\inf}\text{(N2)}\end{array}\)

admettant la solution suivante:

\(\lbrace \begin{array}{c}{T}_{1}^{C}=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\sup}\\ {T}_{2}^{C}=\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\inf}\\ {T}_{1}^{H}={T}_{2}^{H}=\frac{\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\sup}-\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\inf}}{2}\end{array}\) ,

dont application numérique revient à imposer: \(\lbrace \begin{array}{c}{T}_{1}^{C}=20°C\\ {T}_{2}^{C}=10°C\\ {T}_{1}^{H}={T}_{2}^{H}=5°C\end{array}\)

2.2. Grandeurs et résultats de référence#

On teste d’abord les valeurs des degrés de liberté classique TEMP et Heaviside H1 (notés respectivement \({T}^{C}\) et \({T}^{H}\) au paragraphe 2.1 ) du champ de température en sortie de l’opérateur THER_LINEAIRE [U4.54.01], aux nœuds situés juste en dessous et au dessus de l’interface. On s’assure de bien retrouver les valeurs déterminées au paragraphe 2.1 .

Identification	Référence
TEMPpour tous les nœuds situés juste au dessus de l’interface	\(20.°C\)
TEMPpour tous les nœuds situés juste en dessous de l’interface	\(10.°C\)
H1pour tous les nœuds situés juste en dessous/au dessus de l’interface	\(5.°C\)

L’opérateur POST_MAIL_XFEM [U4.82.21] permet de mailler les fissures représentées par la méthode X-FEM. L’opérateur POST_CHAM_XFEM [U4.82.22], permet ensuite d’exporter les résultats X-FEM sur ce nouveau maillage. Ces deux opérateurs ne sont à utiliser que de façon postérieure au calcul à des vues de post-traitement. Ils permettent de générer des nœuds juste en dessous et au dessus de l’interface et d’y exhiber le champ des inconnues nodales (ici le champ de température). On teste alors la valeur du champ de température TEMP (noté \(T\) au paragraphe 2.1 ) en sortie de POST_CHAM_XFEM, aux nœuds situés juste en dessous et au dessus de l’interface. On s’assure de bien retrouver les valeurs déterminées au paragraphe 2.1 .

Identification	Référence
TEMPpour tous les nœuds situés juste en dessous de l’interface	\(10.°C\)
TEMPpour tous les nœuds situés juste au dessus de l’interface	\(20.°C\)

Enfin, on teste la valeur de l’unique composante TEMP du champ TEMP_ELGA (champ de température par éléments aux points de Gauss, calculé uniquement sur les éléments X-FEM par l’opérateur THER_LINEAIRE) sur les points de Gauss des éléments enrichis.

Identification	Référence
TEMPsur les points de Gauss situés en dessous de l’interface	\(10.°C\)
TEMPsur les points de Gauss situés au dessus de l’interface	\(20.°C\)

Remarque: Les éléments X-FEM contiennent un nombre important de points d’intégration (pouvant s’élever à 480 pour les éléments thermiques s’appuyant sur la maille HEXA8) du fait du découpage en sous-éléments. De plus, comme la position de la fissure conditionne le résultat de la procédure de sous-découpage, ce nombre est variable pour un même type d’élément. On ne teste donc pas la valeur de la composante TEMPdu champ TEMP_ELGA sur tous les points d’intégration des éléments X-FEM, et on se contente de la tester:

en un seul point d’intégration pour les éléments enrichis n’étant pas traversés par l’interface (la valeur étant constante sur l’élément)
en deux points d’intégration pour les éléments enrichis traversés par l’interface (le premier situé en dessous de l’interface, le second au dessus), et ce uniquement pour les modélisations A, F, et I (maillage réglé en HEXA8ou QUAD4)