2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Il existe une solution analytique détaillée dans la référence [bib1].
On adopte les notations suivantes :
\(E\) |
: |
module de Young |
\(\rho\) |
: |
masse volumique |
\(L\) |
: |
longueur de la barre |
\(A\) |
: |
section de la barre |
\(N\) |
: |
effort normal dirigé selon l’axe \(X\) |
\(\alpha ,\beta\) |
: |
coefficients de l’amortissement de Rayleigh |
On pose également :
\({\omega}_{n}=(\mathrm{2n}-1)\frac{\pi}{2}\) où \(n=1,2,3,\mathrm{...}\)
\({\varepsilon}_{n}=\frac{1}{2}(\alpha {\omega}_{n}+\beta /{\omega}_{n})\)
Le déplacement en un point \(M(x)\) quelconque est donné par :
\(u(x,t)=\frac{\mathrm{Nx}}{\mathrm{EA}}+\frac{\mathrm{8NL}}{{\pi}^{2}\mathrm{EA}}\underset{n=1}{\overset{\infty}{\Sigma}}{(-1)}^{n}\frac{{e}^{-{\omega}_{n}{\varepsilon}_{n}t}}{{(\mathrm{2n}-1)}^{2}}\left\lbrace \cos(\sqrt{1-{\varepsilon}_{n}^{2}}{\omega}_{n}t)+\frac{{\varepsilon}_{n}}{\sqrt{1-{\varepsilon}_{n}^{2}}}\sin(\sqrt{1-{\varepsilon}_{n}^{2}}{\omega}_{n}t)\right\rbrace\)
2.2. Résultats de référence#
Les valeurs des champs de déplacement, de vitesse et d’accélération de l’extrémité libre (nœud \(\mathrm{N10}\) ) valent à l’instant \(t=0.0195s\) :
Déplacement \((m)\) |
Vitesse \((\mathrm{m.}{s}^{-1})\) |
Accélération \((\mathrm{m.}{s}^{-2})\) |
|
Calcul sans amortissement |
–8.3766x10–7 |
1.6753 x 10–3 |
0 |
Calcul avec amortissement structural |
–1.00462x10–6 |
1.20384x10–3 |
–1.21564 |
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
ROBERT: Solutions analytiques en dynamique des structures. Rapport Samtech n°121, mars 1996.