Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Il existe une solution analytique détaillée dans la référence [:ref:`bib1 <bib1>`].

On adopte les notations suivantes :


.. csv-table::

    ":math:`E`", ":", "module de Young"
    ":math:`\rho`", ":", "masse volumique"
    ":math:`L`", ":", "longueur de la barre"
    ":math:`A`", ":", "section de la barre"
    ":math:`N`", ":", "effort normal dirigé selon l'axe :math:`X`"
    ":math:`\alpha ,\beta`", ":", "coefficients de l'amortissement de Rayleigh"


On pose également :

:math:`{\omega}_{n}=(\mathrm{2n}-1)\frac{\pi}{2}` où :math:`n=1,2,3,\mathrm{...}`

:math:`{\varepsilon}_{n}=\frac{1}{2}(\alpha {\omega}_{n}+\beta /{\omega}_{n})`

Le déplacement en un point :math:`M(x)` quelconque est donné par :

:math:`u(x,t)=\frac{\mathrm{Nx}}{\mathrm{EA}}+\frac{\mathrm{8NL}}{{\pi}^{2}\mathrm{EA}}\underset{n=1}{\overset{\infty}{\Sigma}}{(-1)}^{n}\frac{{e}^{-{\omega}_{n}{\varepsilon}_{n}t}}{{(\mathrm{2n}-1)}^{2}}\left\lbrace \cos(\sqrt{1-{\varepsilon}_{n}^{2}}{\omega}_{n}t)+\frac{{\varepsilon}_{n}}{\sqrt{1-{\varepsilon}_{n}^{2}}}\sin(\sqrt{1-{\varepsilon}_{n}^{2}}{\omega}_{n}t)\right\rbrace`


Résultats de référence
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Les valeurs des champs de déplacement, de vitesse et d'accélération de l'extrémité libre (nœud :math:`\mathrm{N10}` ) valent à l'instant :math:`t=0.0195s` :


.. csv-table::

    "", "**Déplacement** :math:`(m)`", "**Vitesse** :math:`(\mathrm{m.}{s}^{-1})`", "**Accélération** :math:`(\mathrm{m.}{s}^{-2})`"
    "Calcul sans amortissement", "–8.3766x10–7", "1.6753 x 10–3", "0"
    "Calcul avec amortissement structural", "–1.00462x10–6", "1.20384x10–3", "–1.21564"



Incertitude sur la solution
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Solution analytique.


Références bibliographiques
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1.  G. ROBERT: Solutions analytiques en dynamique des structures. Rapport Samtech n°121, mars 1996.