2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLD27 du guide VPCS.
Le problème conduit à rechercher les valeurs propres et vecteurs propres du système dissipatif suivant:
\(M\ddot{u}+C\dot{u}+Ku=0\)
avec \(M\) matrice de masse, \(C\) matrice d’amortissement, \(K\) matrice de rigidité.
On associe à ce problème dissipatif, le problème conservatif: \(Ku+M\ddot{u}=0\) . Sous forme harmonique, il s’écrit \(K-{\omega}^{2}M=0\) .
Soient \(\Lambda =[{\omega}_{v}^{2}]\) la matrice diagonale spectrale des valeurs propres de ce système conservatif et \(\phi =[{\varphi}_{v}]\) la matrice correspondante des vecteurs propres.
Les \({\varphi}_{v}\) sont normalisés tels que: \({\phi }^{T}M\phi =\mathit{Id}\) \({\phi }^{T}K\phi =\Lambda\) .
Les solutions du système dissipatif sont de la forme:
\(u={u}_{0}{e}^{\mathit{st}}\) d’où \((M{s}^{2}+Cs+K){u}_{0}=0\) .
On décompose \({u}_{0}\) dans la base des \({\varphi}_{v}\) . On a alors \({u}_{0}=\phi q\) , d’où:
\((I{s}^{2}+\gamma s+\Lambda )q=0\) avec \(\gamma ={\phi }^{T}C\phi\) (matrice pleine)
Ce problème aux valeurs propres est résolu par une méthode de puissance inverse en prenant pour estimation initiale \({s}_{v}=j{\omega}_{v}\) .
2.2. Résultats de référence#
Les 8 amortissements et fréquences propres du système, ainsi que le 1er et le 8ième mode (complexes).
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution semi-analytique.
2.4. Références bibliographiques#
PIRANDA - Notice d’utilisation du logiciel d’analyse modale MODAN - Version0.2 (1990) Laboratoire de Mécanique Appliquée - Université de Franche‑Comté - Besançon (France)
Guide VPCS. Complément Groupe Dynamique. Septembre 94