Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLD27 du guide VPCS.

Le problème conduit à rechercher les valeurs propres et vecteurs propres du système dissipatif suivant:

:math:`M\ddot{u}+C\dot{u}+Ku=0`

avec :math:`M` matrice de masse, :math:`C` matrice d’amortissement, :math:`K` matrice de rigidité.

On associe à ce problème dissipatif, le problème conservatif: :math:`Ku+M\ddot{u}=0` . Sous forme harmonique, il s’écrit :math:`K-{\omega}^{2}M=0` .

Soient :math:`\Lambda =[{\omega}_{v}^{2}]` la matrice diagonale spectrale des valeurs propres de ce système conservatif et :math:`\phi =[{\varphi}_{v}]` la matrice correspondante des vecteurs propres.

Les :math:`{\varphi}_{v}` sont normalisés tels que: :math:`{\phi }^{T}M\phi =\mathit{Id}` :math:`{\phi }^{T}K\phi =\Lambda` .

Les solutions du système dissipatif sont de la forme:

:math:`u={u}_{0}{e}^{\mathit{st}}` d’où :math:`(M{s}^{2}+Cs+K){u}_{0}=0` .

On décompose :math:`{u}_{0}` dans la base des :math:`{\varphi}_{v}` . On a alors :math:`{u}_{0}=\phi q` , d’où:

:math:`(I{s}^{2}+\gamma s+\Lambda )q=0` avec :math:`\gamma ={\phi }^{T}C\phi` (matrice pleine)

Ce problème aux valeurs propres est résolu par une méthode de puissance inverse en prenant pour estimation initiale :math:`{s}_{v}=j{\omega}_{v}` .


Résultats de référence
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Les 8 amortissements et fréquences propres du système, ainsi que le 1er et le 8ième mode (complexes).


Incertitude sur la solution
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Solution semi-analytique.


Références bibliographiques
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*   J. PIRANDA - Notice d'utilisation du logiciel d'analyse modale MODAN - Version0.2 (1990) Laboratoire de Mécanique Appliquée - Université de Franche‑Comté - Besançon (France)


*   Guide VPCS. Complément Groupe Dynamique. Septembre 94