2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La solution de référence est analytique:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\Phi_x = -\lambda \cdot \frac{\partial T}{\partial X}\\\Phi_y = -\lambda \cdot \frac{\partial T}{\partial Y}\\\Phi_z = -\lambda \cdot \frac{\partial T}{\partial Z} \quad \text{(en 3D uniquement)}\end{aligned}\end{align} \]

Compte-tenu de la valeur de \(\lambda\) (\(1\) ), le flux obtenu pour chaque configuration est donc:

Pour les modélisations 2DPLAN et PLAN_DIAG (modélisations A et B):

  • \(T(X,Y)=\mathrm{2.X}+\mathrm{3.Y}\) soit \({\Phi}_{x}(X,Y)=–2\) et \({\Phi}_{y}(X,Y)=–3\)

  • \(T(X,Y)={\mathrm{2.X}}^{2}+{\mathrm{3.Y}}^{2}\) soit \({\Phi}_{x}(X,Y)=–\mathrm{4.X}\) et \({\Phi}_{y}(X,Y)=–\mathrm{6.Y}\)

Pour les modélisations 2DAXIS et AXIS_DIAG (modélisations C et D):

  • \(T(X,Y,Z)=\mathrm{2.R}+\mathrm{3.Y}\) (\(R=X\) dans le plan \((\mathit{OXY})\) ) soit \({\Phi}_{x}(X,Y,Z)=–2\) et \({\Phi}_{y}(X,Y,Z)=–3\)

  • \(T(X,Y,Z)={\mathrm{2.R}}^{2}+{\mathrm{3.Y}}^{2}\) (\(R=X\) dans le plan \((\mathit{OXY})\) ) soit \({\Phi}_{x}(X,Y,Z)=–\mathrm{4.X}\) et \({\Phi}_{y}(X,Y,Z)=–\mathrm{6.Y}\)

Pour les modélisations 3D et 3D_DIAG (modélisations E et F):

  • \(T(X,Y,Z)=\mathrm{2.X}+\mathrm{3.Y}+\mathrm{4.Z}\) soit \({\Phi}_{x}(X,Y,Z)=–2\) , \({\Phi}_{y}(X,Y,Z)=–3\) et \({\Phi}_{z}(X,Y,Z)=–4\)

  • \(T(X,Y,Z)={\mathrm{2.X}}^{2}+{\mathrm{3.Y}}^{2}+{\mathrm{4Z}}^{2}\) soit \({\Phi}_{x}(X,Y,Z)=–\mathrm{4.X}\) , \({\Phi}_{y}(X,Y,Z)=–\mathrm{6.Y}\) et \({\Phi}_{z}(X,Y,Z)=–\mathrm{8.Z}\)

2.2. Résultats de référence#

Pour les modélisations 2D (PLAN, PLAN_DIAG, AXIS et AXIS_DIAG), les valeurs testées sont:

  • Avec le champ de température linéaire: la température aux nœuds \(A\) , \(C\) , \(J\) et \(L\) , le flux suivant \(X\) et \(Y\) par élément aux nœuds \(A\) , \(C\) , \(J\) et \(L\) et le flux au premier point de Gauss des mêmes éléments,

  • Avec le champ de température quadratique: la température aux nœuds \(A\) , \(C\) , \(J\) et \(L\) , et le flux suivant \(X\) et \(Y\) par élément aux nœuds \(A\) , \(C\) , \(J\) et \(L\) .

Pour les modélisations 3D (3D et 3D_DIAG), les valeurs testées sont:

  • Avec le champ de température linéaire: la température aux nœuds \({D}_{i}\) , le flux suivant \(X\) et \(Y\) par élément aux nœuds \({D}_{i}\) et le flux au premier point de Gauss des mêmes éléments,

  • Avec le champ de température quadratique: la température aux nœuds \({D}_{i}\) , et le flux suivant \(X\) et \(Y\) par élément aux nœuds \({D}_{i}\) .

Avec \(i=1\) à \(9\) pour la modélisation 3D et \(i=1\) à \(4\) pour la modélisation 3D_DIAG.