2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
La solution générale en déplacement est la suivante:
\(\left\lbrace \begin{array}{c}{u}_{r}=\frac{{\mathit{Pa}}^{2}}{E({b}^{2}-{a}^{2})}(1+\nu )\left[(1-2\nu )r+\frac{{b}^{2}}{r}\right]\\ {u}_{\theta}={u}_{z}=0\end{array}\right.\)
En déformations:
\(\left\lbrace \begin{array}{c}{\varepsilon}_{\mathit{rr}}=\frac{{\mathit{Pa}}^{2}}{E({b}^{2}-{a}^{2})}(1+\nu )\left[(1-2\nu )-\frac{{b}^{2}}{r}\right]\\ {\varepsilon}_{\theta \theta }=\frac{{\mathit{Pa}}^{2}}{E({b}^{2}-{a}^{2})}(1+\nu )\left[(1-2\nu )+\frac{{b}^{2}}{r}\right]\\ {\varepsilon}_{r\theta }={\varepsilon}_{zz}=0\end{array}\right.\)
En contraintes:
\(\left\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{\mathit{rr}}=P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\left[1-\frac{{b}^{2}}{r}\right]\\ {\sigma}_{\theta \theta }=P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\left[1+\frac{{b}^{2}}{r}\right]\\ {\sigma}_{zz}=2\nu P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\\ {\sigma}_{r\theta }=0\end{array}\right.\)
On obtient pour un cylindre parfaitement incompressible \((\nu =0.5)\) :
\(r=0,1\) |
\(r=0,2\) |
|
\({u}_{r}\) |
\(6.{10}^{-5}\mathrm{mm}\) |
\(3.{10}^{-5}\mathrm{mm}\) |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}\) |
\(-6.{10}^{-4}\) |
\(-1,5{10}^{-4}\) |
\({\varepsilon}_{\theta \theta }\) |
\(-6.{10}^{-4}\) |
\(1,5{10}^{-4}\) |
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) |
\(-60\mathrm{MPa}\) |
\(0\mathrm{MPa}\) |
\({\sigma}_{\theta \theta }\) |
\(100\mathrm{MPa}\) |
\(40\mathrm{MPa}\) |
\({\sigma}_{zz}\) |
\(20\mathrm{MPa}\) |
\(20\mathrm{MPa}\) |
Le passage dans le système cartésien se fait à l’aide des relations suivantes:
\(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}={\sigma}_{\mathit{rr}}\cos{(\theta )}^{2}+{\sigma}_{\theta \theta }\sin{(\theta )}^{2}-2{\sigma}_{r\theta }\sin(\theta )\cos(\theta )\\ {\sigma}_{yy}={\sigma}_{\mathit{rr}}\sin{(\theta )}^{2}+{\sigma}_{\theta \theta }\cos{(\theta )}^{2}+2{\sigma}_{r\theta }\sin(\theta )\cos(\theta )\\ {\sigma}_{xy}={\sigma}_{\mathit{rr}}\sin(\theta )\cos(\theta )-{\sigma}_{\theta \theta }\cos(\theta )\sin(\theta )-2{\sigma}_{r\theta }(\cos{(\theta )}^{2}-\sin{(\theta )}^{2})\end{array}\)
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
On compare aux valeurs de référence:
les déplacements \((u,v)\) aux points \(A\) et \(F\) ,
les déformations (\({\varepsilon}_{xx}\) , \({\varepsilon}_{yy}\) , \({\varepsilon}_{xy}\) ) et les contraintes (\({\sigma}_{xx}\) , \({\sigma}_{yy}\) , \({\sigma}_{zz}\) , \({\sigma}_{xy}\) ) aux points \(A\) et \(F\) ,
les déformations équivalentes et les contraintes équivalentes au point \(A\) .
Enfin, pour tester le passage des grandeurs des points de Gauss aux nœuds pour les nœuds milieux, on teste également les déformations et les contraintes non nulles en un nœud milieu de la structure.
2.3. Références bibliographiques#
[bib1] Y.C. FUNG : Foundations of solid mechanics. Prenctice-hall, inc. Englewood Cliffs. NJ.1965, p. 243-245
[bib2] [v3.04.100] Cylindre creux en déformations planes