2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Les relations élastiques, reliant les efforts membranaires \(N\) et de flexion \(M\) aux déformations membranaires \(\varepsilon\) et les courbures \(\kappa\) et tenant compte de deux grilles symétriques, s’écrivent:

\(N=(\frac{{E}_{b}h}{1-{\nu}_{b}^{2}}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\epsilon\)

\(M=(\frac{{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2})}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}{e}_{s}^{2}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\kappa\)

S’agissant d’une configuration dalle, on affecte au béton le coefficient de Poisson habituel \({\nu}_{b}=0,22\) . La dalle est simplement appuyée sur les quatre lisières:

_images/100013D6000069BB00005245D61C86F33C5274F5.svg
La raideur de flexion équivalente est:

\({D}_{\mathit{éq}}=\frac{{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2})}+2{E}_{a}{e}_{s}^{2}{a}_{x}\) , soit ici: \({D}_{\mathrm{éq}}=5,8786\text{MNm}\) ; De plus: \({\nu}_{\mathrm{éq}}=\frac{{\nu}_{b}{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2}){D}_{\mathrm{éq}}}\) , soit: \({\nu}_{\mathrm{éq}}=0,2022\)

Grandeur

Expression

Flèche au centre sous pression [2]

\(w=\frac{0,0464{\mathit{pl}}^{4}}{12(1-{\nu}_{\mathit{éq}}^{2}){D}_{\mathit{éq}}}\)

Courbure au centre [2]

\({\kappa}_{xx}={\kappa}_{yy}=\frac{0,04784{\mathit{pl}}^{2}}{(1+{\nu}_{\mathit{éq}}){D}_{\mathit{éq}}}\)

Moment global au centre [2]

\({M}_{xx}={M}_{yy}=0,04784{\mathrm{pl}}^{2}\)

2.2. Résultats de référence#

Pour les modélisations A et B dans lesquelles on valide la loi GLRC_DAMA avec les éléments DKTG:

  • Flèche au centre sous pression: \(w=6,926{.10}^{-5}\text{m}\)

  • Courbure au centre: \({\kappa}_{xx}={\kappa}_{yy}=2,193{.10}^{-4}{\text{m}}^{-1}\)

  • Moment global au centre: \({M}_{xx}={M}_{yy}=1550\text{Nm/ml}\)

Pour les modélisations C et D dans lesquelles on valide la loi ELAS avec les éléments DKTG:

  • Flèche au centre sous pression: \(w=7,895{.10}^{-5}\text{m}\)

  • Courbure au centre: \({\kappa}_{xx}={\kappa}_{yy}=2,351{.10}^{-4}{\text{m}}^{-1}\)

  • Moment global au centre: \({M}_{xx}={M}_{yy}=1550\text{Nm/ml}\)

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique.

2.4. Références bibliographiques#

[1] KOECHLIN P., MOULIN S., «  Modèle de comportement global des plaques en béton armé sous chargement dynamique de flexion : Loi GLRC », Note EDF/R&D/AMA HT-62/01/028A.

[2] J.Dulac, « Comportement dynamique élasto-plastique des dalles en béton armé. Essais CEMETE – Décembre 1979– Dalles 8 à 12 »: Note EDF: ESE/GC/82/13/A