Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Les relations élastiques, reliant les efforts membranaires :math:`N` et de flexion :math:`M` aux déformations membranaires :math:`\varepsilon` et les courbures :math:`\kappa` et tenant compte de deux grilles symétriques, s’écrivent:

:math:`N=(\frac{{E}_{b}h}{1-{\nu}_{b}^{2}}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\epsilon`

:math:`M=(\frac{{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2})}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}{e}_{s}^{2}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\kappa`

S’agissant d’une configuration dalle, on affecte au béton le coefficient de Poisson habituel :math:`{\nu}_{b}=0,22` . La dalle est simplement appuyée sur les quatre lisières:


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|                                                                |La raideur de flexion équivalente est:                                                                       |
| .. image:: images/100013D6000069BB00005245D61C86F33C5274F5.svg | :math:`{D}_{\mathit{éq}}=\frac{{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2})}+2{E}_{a}{e}_{s}^{2}{a}_{x}` ,           |
|     :width: 218                                                | soit ici: :math:`{D}_{\mathrm{éq}}=5,8786\text{MNm}` ;                                                      |
|     :height: 169                                               | De plus: :math:`{\nu}_{\mathrm{éq}}=\frac{{\nu}_{b}{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2}){D}_{\mathrm{éq}}}` , |
|                                                                | soit: :math:`{\nu}_{\mathrm{éq}}=0,2022`                                                                    |
|                                                                |                                                                                                             |
| .. _RefImage_100013D6000069BB00005245D61C86F33C5274F5.svg:     |                                                                                                             |
|                                                                |                                                                                                             |
|                                                                |                                                                                                             |
+----------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+



.. csv-table::

    "Grandeur", "Expression"
    "Flèche au centre sous pression [:ref:`2 <2>`]", ":math:`w=\frac{0,0464{\mathit{pl}}^{4}}{12(1-{\nu}_{\mathit{éq}}^{2}){D}_{\mathit{éq}}}`"
    "Courbure au centre [:ref:`2 <2>`]", ":math:`{\kappa}_{xx}={\kappa}_{yy}=\frac{0,04784{\mathit{pl}}^{2}}{(1+{\nu}_{\mathit{éq}}){D}_{\mathit{éq}}}`"
    "Moment global au centre [:ref:`2 <2>`]", ":math:`{M}_{xx}={M}_{yy}=0,04784{\mathrm{pl}}^{2}`"



Résultats de référence
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Pour les modélisations A et B dans lesquelles on valide la loi GLRC_DAMA avec les éléments DKTG:


*   Flèche au centre sous pression: :math:`w=6,926{.10}^{-5}\text{m}`


*   Courbure au centre: :math:`{\kappa}_{xx}={\kappa}_{yy}=2,193{.10}^{-4}{\text{m}}^{-1}`


*   Moment global au centre: :math:`{M}_{xx}={M}_{yy}=1550\text{Nm/ml}`

Pour les modélisations C et D dans lesquelles on valide la loi ELAS avec les éléments DKTG:


*   Flèche au centre sous pression: :math:`w=7,895{.10}^{-5}\text{m}`


*   Courbure au centre: :math:`{\kappa}_{xx}={\kappa}_{yy}=2,351{.10}^{-4}{\text{m}}^{-1}`


*   Moment global au centre: :math:`{M}_{xx}={M}_{yy}=1550\text{Nm/ml}`


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.


Références bibliographiques
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[:ref:`1 <1>`]    KOECHLIN P., MOULIN S., " Modèle de comportement global des plaques en béton armé sous chargement dynamique de flexion : Loi GLRC", Note EDF/R&D/AMA HT-62/01/028A.

[:ref:`2 <2>`]    J.Dulac, "Comportement dynamique élasto-plastique des dalles en béton armé. Essais CEMETE – Décembre 1979– Dalles 8 à 12": Note EDF: ESE/GC/82/13/A