2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
2.1.1. Comportement du massif#
Soit \(\lambda\) le taux de déconfinement, qui représente la position relative de la section de tunnel considérée par rapport au front de taille. Dans la méthode «convergence - confinement», on remplace le futur terrain excavé par un tenseur des contrainte équivalent, dont on fait baisser l’intensité via \(\lambda\) pour simuler le creusement et l’éloignement du front de taille.
La solution du problème est donc similaire à celle du tube infiniment épais chargé par une pression interne d’intensité \((1-\lambda ){\sigma}_{0}\) et par une pression externe d’intensité \({\sigma}_{0}\) (voir [bib3] pour le détail des calculs).
Les contraintes radiale, orthoradiale ainsi que le déplacement radial à la paroi du tunnel en milieu élastique soumis à un taux de déconfinement \(\lambda\) sont les suivantes
\(\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{R}=(1-\frac{\lambda \cdot {R}^{2}}{{r}^{2}}){\sigma}^{0}\\ {\sigma}_{\theta}=(1+\frac{\lambda \cdot {R}^{2}}{{r}^{2}}){\sigma}^{0}\\ {U}_{R}=\lambda \frac{{R}^{2}}{r}\cdot \frac{{\sigma}^{0}}{\mathrm{2G}}\end{array}\)
\(G\) est le module de cisaillement donné par la relation suivante: \(G=\frac{E}{2(1+\nu )}\) .
2.1.2. Comportement du soutènement#
Le soutènement va s’opposer au mouvement de convergence naturel du tunnel et ainsi appliquer un confinement artificiel à la roche.
Soit \({K}_{s}\) la raideur du soutènement, elle est donnée par la relation suivante si on considère que le soutènement est assimilable à un tube mince (\({\nu}_{b}\) est le coefficient de Poisson du béton):
\({K}_{s}=\frac{{E}_{b}\cdot e}{(1-{\nu}_{b}^{2})\cdot R}\)
Si \({k}_{s}=\frac{{K}_{s}}{2\cdot G}\) représente la rigidité relative du béton par rapport au massif et \({\lambda}_{d}\) le taux de déconfinement à la mise en place du soutènement, alors les contraintes radiales et orthoradiales ainsi que le déplacement radial en paroi sont donnés par[bib1] :
\(\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{R}=\frac{{k}_{s}}{1+{k}_{s}}(1-{\lambda}_{d}){\sigma}_{0}\\ {\sigma}_{\theta}=\frac{{k}_{s}}{1+{k}_{s}}(1+{\lambda}_{d}){\sigma}_{0}\\ {U}_{R}=\frac{1+{\lambda}_{d}\cdot {k}_{s}}{1+{k}_{s}}\cdot \frac{{\sigma}_{0}}{\mathrm{2G}}\cdot R\end{array}\)
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
On teste les grandeurs suivantes au niveau de la paroi aux points \(A\) et \(B\) de la figure du paragraphe 1.1 , à l’instant où le déconfinement est total:
contrainte radiale: \({\sigma}_{yy}\) en \(A\) ou \({\sigma}_{zz}\) en \(B\) ;
contrainte orthoradiale: \({\sigma}_{zz}\) en \(A\) ou \({\sigma}_{yy}\) en \(B\) ;
déplacement radial: \({u}_{y}\) en \(A\) ou \({u}_{z}\) en \(B\) .
2.3. Incertitudes sur la solution#
Aucune. Résultat analytique exact.
2.4. Références bibliographiques#
Le calcul des tunnels par la méthode convergence-confinement, M. Panet, Presses de l’ENPC 1995
Comment simuler le creusement d’un tunnel avec Code_Aster ? Principe de la méthode, mise en oeuvre et validation, A. Courtois, R. Saidani, P. Sémété, note EDF HT-25/02/045/A - 2002
Mécanique des milieux continus, tome 2, J. Salençon, Ed. Ellipses - 1988