2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul et résultats de référence

Pour les vibrations libres d’un tuyau cylindrique mince, la solution de référence retenue est celle obtenue en [bib1] par Haar wavelet discretization method (HWDM). La théorie des coques de Goldenveizer-Novozhilov est adaptée pour formuler ce problème. Théoriquement la solution se compose de termes infinis en séries de Haar wavelet. Cependant, des termes finis sont pratiquement considérés dans le calcul actuel et la convergence des résultats est montré en [bib7] avec J=7 (niveau maximal de résolution).

Pour le cas décrit dans le paragraphe précédent., les fréquences de référence pour des modes propres sont données en [bib1] via un paramètre de fréquence, \(\lambda ` , comme suivants(:math:`m\) et \(n\) sont les nombres d’ondes dans les directions axiale et circonférentielle, résultats numériques sont notés dans les colonnes HWDM) :

Fig. 2. Résultats de référence dans [bib1]

Ce paramètre de fréquence :math:`lambda ` est défini par:

\(\lambda =\omega R\sqrt{\rho (1-{\mu}^{2})/E}\)

où :math:`omega ` est la fréquence propre (unité: rad/s).

Par conséquent, on peut obtenir un tableau de fréquence en Hz (:math:`f=2pi omega ` ) avec la géométrie et les propriétés de matériaux pour notre cas :

Tab. 1. Fréquences des modes propres de référence d’après [bib1]

m=1	FF (Hz)	SF (Hz)	SS (Hz)	CS (Hz)	CC (Hz)
n=1	598,846	415,756	272,118	391,746	559,562
n=2	654,216	657,308	663,543	671,113	687,249
n=3	1850,287	1851,807	1855,440	1856,454	1858,296
n=4	3547,660	3549,113	3552,948	3553,286	3553,911
n=5	5737,228	5738,698	5742,737	5742,872	5743,210
n=6	8416,323	8417,793	8421,966	8422,000	8422,237

Pour compléter les solutions analytiques de ce problème, on cite [bib2] qui compare une dizaine de théories de coque. Il met également en évidence les formes des modes propres en fonction des valeurs \(m\) et \(n\) (Fig. 3). Pour le cas de la condition limite SS, on trouve une cohérence des résultats (\(\lambda ` ) lors de :math:`n\) =1,2,3 et \(m\) =1 (marqué en tache noire sur la courbe 2 dans Fig. 4, \(l/\mathit{mR}\) =20 correspondant à notre cas).

Fig. 3. Schéma des modes propres en fonction de \(m\) et \(n\) dans [bib2]

Fig. 4. Comparaison de l’évolution \(\lambda ` de en fonction de :math:`l/\mathit{mR}\) entre différentes théories des coques pour le cas SS dans [bib2]: courbe 2 pour la théorie de Goldenveizer-Novozhilov

2.2. Références bibliographiques

1. 24. XIE, G. JIN, Z. LIU: Free vibration analysis of cylindrical shells using the haar wavelet method, International Journal of Mechanical Sciences 77 (2013)47-56.

2. 23. LEISSA: Vibration of shells. Ohio State University, 1973.