1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

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Fig. 1. Schéma de la géométrie du tuyau

Rayon moyen: \(R=0.050m\)

Épaisseur de tuyau: \(h=0.0025m\)

Longueur: \(L=1m\)

Les vecteurs \(\vec{x}\) , \(\vec{\theta}\) et \(\vec{z}\) représentent les directions axiale, circonférentielle et radiale du tuyau.

Les déplacements dans les directions \(\vec{x}\) , \(\vec{\theta}\) et \(\vec{z}\) sont notés par \(u\) , \(v\) et \(w\) .

1.2. Propriétés du matériau#

Les propriétés du matériau constituant le tuyau sont:

\(E=2.{10}^{11}\mathrm{Pa}\)

Module d’Young

\(\mu =0.3\)

Coefficient de poisson

\(\rho =7800\mathit{kg}/{m}^{3}\)

Densité volumique

1.3. Conditions aux limites et chargements#

On calcul les modes propres sous cinq différentes conditions aux limites:

  • FF: les deux extrémités du tuyau sont libres;

  • SF: une extrémité est libre et l’autre est en appui simple;

  • SS: les deux extrémités sont en appui simple;

  • CS: une extrémité en appui simple et l’autre encastrée;

  • CC: les deux extrémités soont encastrées.

    où F, S et C représentent simply-supported , clamped et free en anglais.

    Sans chargement.

1.4. Conditions initiales#

Sans objet