2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La solution de référence est celle présentée dans l’ouvrage de René-Jean GIBERT.

En adoptant les notations suivantes:

  • poutre suivant \(x\)

  • \(y\) et \(z\) les mouvements de flexion dans les plan \(\mathrm{xOz}\) et \(\mathrm{xOy}\)

  • \(S\) : section de la poutre

  • \(I\) : moment d’inertie de flexion par rapport aux axes \(y\) et \(z\)

  • \({I}_{x}\) : moment d’inertie par unité de longueur par rapport à l’axe \(\mathrm{Ox}\)

  • \(\rho\) , \(E\) les caractéristiques du matériau

  • \(\Omega\) vitesse de rotation de la poutre

Les solution singulières sont régies par le système d’équations suivant:

\(\mathrm{EI}\frac{{\partial}^{4}Y}{\partial {x}^{4}}-\rho S{\omega}^{2}Y+i\omega \Omega {I}_{x}\frac{{\partial}^{2}Z}{\partial {z}^{2}}=0\)

\(\mathrm{EI}\frac{{\partial}^{4}Z}{\partial {x}^{4}}-\rho S{\omega}^{2}Z-i\omega \Omega {I}_{x}\frac{{\partial}^{2}Y}{\partial {z}^{2}}=0\)

en respectant les conditions aux limites suivantes:

\(\lbrace \begin{array}{}Y=Z=0\\ \frac{{\partial}^{2}Y}{\partial {z}^{2}}=\frac{{\partial}^{2}Z}{\partial {z}^{2}}=0\end{array}\) en \(\lbrace \begin{array}{}x=0\\ x=L\end{array}\)

On obtient deux familles de modes propres:

  1. Mode rétrograde:

\({Y}_{1}=-{\mathrm{i.Z}}_{1}=\sin\frac{n\pi x}{L}\) avec \((\frac{{\omega}_{1}}{{\omega}_{0}})=\sqrt{{\lambda}^{2}+1}-\lambda\)

  1. Mode direct:

\({Y}_{2}=-{\mathrm{i.Z}}_{2}=\sin\frac{n\pi x}{L}\) avec \((\frac{{\omega}_{2}}{{\omega}_{0}})=\sqrt{{\lambda}^{2}+1}+\lambda\)

en posant:

pulsation propre sans rotation: \({\omega}_{0}={(\frac{n\pi }{L})}^{2}\sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\rho S}}\)

\(\lambda =\frac{1}{2}.\frac{\Omega {I}_{x}}{\sqrt{\mathrm{EI}\rho S}}\) avec \({I}_{x}=\frac{\rho S{D}^{2}}{8}\) et \(I=\frac{\pi {D}^{4}}{64}\)

2.2. Résultats de référence#

4 premiers modes propres de flexion.

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique avec l’hypothèse de poutre d’Euler.

2.4. Références bibliographiques#

René-Jean GIBERT, Vibrations des structures, n°69 de la collection R&D d’EDF chez EYROLLES, p. 235-237 (1988).