Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La solution de référence est celle présentée dans l’ouvrage de René-Jean GIBERT.

En adoptant les notations suivantes:


*   poutre suivant :math:`x`


*   :math:`y` et :math:`z` les mouvements de flexion dans les plan :math:`\mathrm{xOz}` et :math:`\mathrm{xOy}`


*   :math:`S` : section de la poutre


*   :math:`I` : moment d’inertie de flexion par rapport aux axes :math:`y` et :math:`z`


*   :math:`{I}_{x}` : moment d’inertie par unité de longueur par rapport à l’axe :math:`\mathrm{Ox}`


*   :math:`\rho` , :math:`E` les caractéristiques du matériau


*   :math:`\Omega` vitesse de rotation de la poutre

Les solution singulières sont régies par le système d’équations suivant:

:math:`\mathrm{EI}\frac{{\partial}^{4}Y}{\partial {x}^{4}}-\rho S{\omega}^{2}Y+i\omega \Omega {I}_{x}\frac{{\partial}^{2}Z}{\partial {z}^{2}}=0`

:math:`\mathrm{EI}\frac{{\partial}^{4}Z}{\partial {x}^{4}}-\rho S{\omega}^{2}Z-i\omega \Omega {I}_{x}\frac{{\partial}^{2}Y}{\partial {z}^{2}}=0`

en respectant les conditions aux limites suivantes:

:math:`\lbrace \begin{array}{}Y=Z=0\\ \frac{{\partial}^{2}Y}{\partial {z}^{2}}=\frac{{\partial}^{2}Z}{\partial {z}^{2}}=0\end{array}` en :math:`\lbrace \begin{array}{}x=0\\ x=L\end{array}`

On obtient deux familles de modes propres:


1.  Mode rétrograde:

:math:`{Y}_{1}=-{\mathrm{i.Z}}_{1}=\sin\frac{n\pi x}{L}` avec :math:`(\frac{{\omega}_{1}}{{\omega}_{0}})=\sqrt{{\lambda}^{2}+1}-\lambda`


2.  Mode direct:

:math:`{Y}_{2}=-{\mathrm{i.Z}}_{2}=\sin\frac{n\pi x}{L}` avec :math:`(\frac{{\omega}_{2}}{{\omega}_{0}})=\sqrt{{\lambda}^{2}+1}+\lambda`

en posant:

pulsation propre sans rotation: :math:`{\omega}_{0}={(\frac{n\pi }{L})}^{2}\sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\rho S}}`

:math:`\lambda =\frac{1}{2}.\frac{\Omega {I}_{x}}{\sqrt{\mathrm{EI}\rho S}}` avec :math:`{I}_{x}=\frac{\rho S{D}^{2}}{8}` et :math:`I=\frac{\pi {D}^{4}}{64}`


Résultats de référence
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4 premiers modes propres de flexion.


Incertitude sur la solution
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Solution analytique avec l’hypothèse de poutre d’Euler.


Références bibliographiques
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René-Jean GIBERT, Vibrations des structures, n°69 de la collection R&D d’EDF chez EYROLLES, p. 235-237 (1988).