2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

2.1.1. Structure non amortie#

Dans ce cas, la solution de référence peut être obtenue analytiquement:

\(m(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array})(\begin{array}{c}\ddot{{x}_{1}}\\ \ddot{{x}_{2}}\\ \ddot{{x}_{3}}\end{array})+k(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array})(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\end{array})=(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array})\)

Les pulsations propres du système masse-ressort valent:

\({\omega}_{1}^{2}=(2-\sqrt{2})\frac{k}{m}\) \({\omega}_{2}^{2}=2\frac{k}{m}\) \({\omega}_{3}^{2}=(2+\sqrt{2})\frac{k}{m}\)

de déformées modales respectives:

\({\phi }_{1}=(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\\ \sqrt{2}\end{array})\) \({\phi }_{2}=(\begin{array}{}1\\ 0\\ -1\end{array})\) \({\phi }_{3}=(\begin{array}{c}-\sqrt{2}\\ 2\\ -\sqrt{2}\end{array})\)

Projetée sur la base des modes propres, l’équation transitoire devient \({\eta}_{i}\) avec comme coordonnées généralisées:

\(m(\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 8\end{array})(\begin{array}{c}\ddot{{\eta}_{1}}\\ \ddot{{\eta}_{2}}\\ \ddot{{\eta}_{3}}\end{array})+\mathrm{4k}(\begin{array}{ccc}4-\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 4+2\sqrt{2}\end{array})(\begin{array}{c}{\eta}_{1}\\ {\eta}_{2}\\ {\eta}_{3}\end{array})=(\begin{array}{c}+\sqrt{2}\\ 2\\ -\sqrt{2}\end{array})\)

Le système peut être résolu analytiquement. On obtient:

\(\left\lbrace \eta (t)\right\rbrace =\frac{1}{\mathrm{2m}}(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{4{\omega}_{1}^{2}}(1-\cos{\omega}_{1}t)\\ \frac{1}{{\omega}_{2}^{2}}(1-\cos{\omega}_{2}t)\\ \frac{\sqrt{2}}{4{\omega}_{3}^{2}}(\cos{\omega}_{3}t-1)\end{array})\)

La solution sur base physique est obtenue en utilisant la transformation de Ritz:

\(x(t)=(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\end{array})=\phi \eta =(\begin{array}{ccc}\sqrt{2}& 1& -\sqrt{2}\\ 2& 0& 2\\ \sqrt{2}& -1& \sqrt{2}\end{array})(\begin{array}{c}{\eta}_{1}\\ {\eta}_{2}\\ {\eta}_{3}\end{array})\)

2.1.2. Structure amortie#

L’amortissement est appliqué aux modes propres des bases de projection des sous-structures encastrées (amortissement réduit). Dans ce cas, on aboutit à l’équation transitoire en coordonnées généralisées suivante (bib[1]):

\(m(\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 8\end{array})(\begin{array}{c}\ddot{{\eta}_{1}}\\ \ddot{{\eta}_{2}}\\ \ddot{{\eta}_{3}}\end{array})+4\varepsilon \sqrt{\mathrm{2km}}(\begin{array}{ccc}3-2\sqrt{2}& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 3+2\sqrt{2}\end{array})(\begin{array}{c}\dot{{\eta}_{1}}\\ \dot{{\eta}_{2}}\\ \dot{{\eta}_{3}}\end{array})+\mathrm{4k}(\begin{array}{ccc}4-\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 4+2\sqrt{2}\end{array})(\begin{array}{c}{\eta}_{1}\\ {\eta}_{2}\\ {\eta}_{3}\end{array})=(\begin{array}{c}+\sqrt{2}\\ 1\\ -\sqrt{2}\end{array})\)

Ce système n’étant pas découplé, il a été résolu à l’aide du logiciel Maple. On a obtenu \((\varepsilon =0.01)\) :

\(\left\lbrace \eta (t)\right\rbrace =\frac{1}{\mathrm{2m}}(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{4{\omega}_{1}^{2}}(1-{e}^{-\frac{t}{{\tau}_{1}}}\cos{\omega}_{1}t)\\ \frac{1}{{\omega}_{2}^{2}}(1-{e}^{-\frac{t}{{\tau}_{2}}}\cos{\omega}_{2}t)\\ \frac{\sqrt{2}}{4{\omega}_{3}^{2}}({e}^{-\frac{t}{{\tau}_{3}}}\cos{\omega}_{3}t-1)\end{array})\)

avec \({\tau}_{1}=1.65{10}^{3}s\) , \({\tau}_{2}=\frac{1}{\varepsilon {\omega}_{2}}=\frac{100}{\sqrt{2}}\) et \({\tau}_{3}=4.85{10}^{1}s\)

On obtient donc une formulation proche du cas non amorti, mais dans laquelle interviennent des termes exponentiels qui caractérisent l’amortissement.

La solution sur base physique est obtenue en utilisant la transformation de Ritz:

\(x(t)=(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\end{array})=\phi \eta =(\begin{array}{ccc}\sqrt{2}& 1& -\sqrt{2}\\ 2& 0& 2\\ \sqrt{2}& -1& \sqrt{2}\end{array})(\begin{array}{c}{\eta}_{1}\\ {\eta}_{2}\\ {\eta}_{3}\end{array})\)

2.2. Résultats de référence#

Structure non amortie:

Déplacement, vitesse et accélération du nœud \({x}_{2}\) à l’instant \(t=\mathrm{80 }s\) :

\(\begin{array}{ccc}{x}_{2}(80)& =& 4.1700{10}^{-1}m\\ \dot{{x}_{2}}(80)& =& -4.3011{10}^{-1}{\mathit{m.s}}^{-1}\\ \ddot{{x}_{2}}(80)& =& 3.3749{10}^{-1}{\mathit{m.s}}^{-2}\end{array}\)

Structure amortie:

Déplacement du nœud \({x}_{2}\) à l’instant \(t=\mathrm{80 }s\) :

\({x}_{2}(80)=4.9867{10}^{-1}m\)

2.3. Incertitude sur la solution#

Cas non amorti: solution analytique.

Cas amorti: solution semi-analytique.

2.4. Référence bibliographique#

  1. C.VARE- Rapport HP61/95/025/A- « Mise en œuvre du calcul transitoire non linéaire par sous-structuration dans le Code_Aster « .