9. Comportements métallo-mécaniques#

Pour le comportement métallurgique (cf. [R4.04.01]), trois lois de comportement sont disponibles : une loi caractéristique des transformations métallurgiques de l’acier, de l’acier avec phases de revenus et une loi caractéristique des alliages de zirconium.

L’acier peut comporter (au plus) sept phases métallurgiques différentes:

quatre phases froides (notées \(\alpha_\alpha\)) que sont la ferrite, la perlite, la bainite et la martensite
une phase chaude, l’austénite (noté \(\gamma\))
deux phases froides de revenu pour la bainite et la martensite

Le zircaloy peut comporter (au plus) trois phases métallurgiques différentes :

Deux phases froides: une phase pure \(\alpha\) et une phase mélangée \(\alpha\)
Une phase chaude \(\beta\)

Pour le comportement mécanique avec la prise en compte des transformations métallurgiques, il existe deux modèles.

Le premier modèle (cf. [R4.04.02]) est utilisable pour l’acier et pour le Zircaloy. On choisit le matériau souhaité en activant, dans le mot-clef facteur COMPORTEMENT des opérateurs non-linéaires, le mot-clé RELATION_KIT qui vaut ACIER ou ZIRC. Les différentes relations relatives à ce modèle sont identiques pour ces deux matériaux (on traite les mêmes phénomènes) mais le nombre de phases en présence est différent.

Le second modèle (cf. [R4.04.05]) est uniquement disponible pour le Zircaloy (RELATION_KIT=’ZIRC’)et correspond au mot clé META_LEMA_ANI sous COMPORTEMENT.

9.1. Mot clé facteur META_ACIER#

Paramètres à renseigner pour la métallurgie de l’acier.

9.1.1. Paramètres pour les changements de phases#

TRC est un concept de type table produit par l’opérateur [DEFI_TRC] et contenant l’ensemble des informations fournies par les diagrammes TRC (Transformation en Refroidissement Continu) de l’acier considéré.

AR3 est la température quasi-statique de début de décomposition de l’austénite au refroidissement.

Remarque: Il faut être cohérent entre cette valeur et celle correspondante à la courbe de refroidissement donnée par la commande [DEFI_TRC] . Au-delà d’une différence de 10°C, une alarme sera émise et on considère que les résultats pourraient être faux.

ALPHA est le coefficient \(\alpha\) de la loi de Koïstinen-Marbürger exprimant la quantité de martensite formée en fonction de la température

\[{Z}_{\alpha_{m}}=1-\exp(\alpha ({M}_{s}-T))\]

MSO est la température de début de transformation \({M}_{s,0}\) martensitique lorsque celle-ci est totale. Dans ce cas \({M}_{s}={M}_{s0}\).

AC1 est la température quasi-statique de début de transformation en austénite au chauffage.

AC3 est la température quasi-statique de fin de transformation en austénite.

TAUX_1 est la valeur de la fonction « retard » (cf. [R4.04.01]) \(\tau_1(T)\) intervenant dans le modèle de transformation austénitique à la température AC1.

TAUX_3 est la valeur de la fonction « retard » (cf. [R4.04.01]) \(\tau_3(T)\) intervenant dans le modèle de transformation austénitique à la température AC3.

L’évolution de la proportion d’austénite est alors définie par :

\[\dot{Z}=\frac{Z-{Z}_{\text{eq}}\left(T\right)}{\tau \left(T\right)}\]

avec \({Z}_{\text{eq}}\left(T\right)\) qui a donc la forme de [Courbe].

_images/Forme1.gif — Fig. 9.1 Courbe \({Z}_{\text{eq}}\left(T\right)\)#

et \(\tau \left(T\right)\) qui a la forme de [Courbe].

_images/Forme2.gif — Fig. 9.2 Courbe \(\tau \left(T\right)\)#

9.1.2. Paramètres pour la taille de grain#

Les quatre paramètres suivants entraînent le calcul de taille de grains s’ils sont renseignés:

\[\frac{d}{{dt}}(d)=\frac{1}{\lambda}\left (\frac{1}{d}-\frac{1}{{d}_{\lim}} \right)\]

avec \(\lambda ={\lambda}_{0}\cdot \exp \left(\frac{{Q}_{\text{app}}}{R T} \right )\) et \({d}_{\lim}={d}_{10}\exp \left (-\frac{{W}_{\text{app}}}{R T} \right )\) .

LAMBDA0 est le paramètre matériau \({\lambda}_{0}\)

QSR_K est le paramètre d’énergie d’activation \(\frac{{Q}_{\text{app}}}{R T}\)

D10 est le paramètre matériau \({d}_{10}\)

WSR_K est le paramètre d’énergie d’activation \(\frac{{W}_{\text{app}}}{R T}\)

9.2. Mot clé facteur META_ACIER_REVENU#

Paramètres à renseigner pour la métallurgie de l’acier avec ses phases de revenu.

9.2.1. Paramètres pour les changements de phases#

On considère une loi de type Johnson-Mehl-Avrami pour décrire l’évolution du pourcentage de phase revenue \({\tilde{Z}}^{r}_{\alpha_{\alpha}}\) en fonction du temps de maintien \(t^{*}\) à une température \(T^{m}\) pour les deux phases de revenu (bainite et martensite).

\[{\tilde{Z}}^{r}_{\alpha_{\alpha}}(t^{*})=\left ( 1 - \exp\left\lbrace -b ({t^{*}})^n \right\rbrace \right )\]

TEMP est la température de revenu \(T^{r}\) et TEMP_MAINTIEN est la température de maintien \(T^{m}\) intervenant dans l’identification des paramètres.

BAINITE_B et BAINITE_N sont les coefficients \(b\) et \(n\) pour le cas de la bainite \({\alpha_{\alpha}}=b\).

MARTENSITE_B et MARTENSITE_N sont les coefficients \(b\) et \(n\) pour le cas de la martensite \({\alpha_{\alpha}}=m\).

9.3. Mot clé facteur META_ZIRC#

Paramètres à renseigner pour la métallurgie du Zircaloy (cf. [R4.04.04]).

META_ZIRC = _F(
    ◆ TDEQ = float,
    ◆ N = float,
    ◆ K = float,
    ◆ T1C = float,
    ◆ T2C = float,
    ◆ AC = float,
    ◆ M = float,
    ◆ QSR_K = float,
    ◆ T1R = float,
    ◆ T2R = float,
    ◆ AR = float,
    ◆ BR = float,
)

On rapppelle que le matériau contient deux phases:

\(\alpha\) : phase à froid hexagonale compacte
\(\beta\) : phase à chaud cubique centrée

TDEQ est la température de début de transformation \(\alpha \iff \beta\) à l’équilibre.

N et K sont des paramètres matériau relatifs au modèle donnant la proportion de \(\beta\) en fonction de la température, à l’équilibre.

T1C est la température de début de transformation \(\alpha\) en \(\beta\) au chauffage.

T2C est un paramètre matériau intervenant dans le calcul de la température de début de transformation \(\alpha\) en \(\beta\) au chauffage.

AC et M sont des paramètres matériau intervenant dans le modèle d’évolution de \(\beta\) au chauffage.

T2R est un paramètre matériau intervenant dans le calcul de la température de début de transformation \(\beta\) en \(\alpha\) au refroidissement.

AR et BR sont des paramètres matériau intervenant dans le modèle d’évolution de \(\beta\) au refroidissement.

QSR_K est la constante d’Arrhénius exprimé en degré Kelvin.

9.4. Mot-clé facteur DURT_META#

Définition des caractéristiques relatives au calcul de dureté associée à la métallurgie des aciers.

La dureté est calculée en utilisant une loi de mélange linéaire sur la micro-dureté des constituants :

Le modèle s’écrit \(H_{V}=\sum_{k}{Z}_{k}{H_{V}}_{k}\) avec \(H_{V}\) la dureté (ici Vickers par exemple) du point polyphasé, \({Z}_{k}\) la proportion de la phase \(k\) et \({H_{V}}_{k}\) la dureté de la phase \(k\) .

F1_DURT est la micro-dureté de la phase à froid \(\mathrm{F1}\) (ferrite pour l’acier).

F2_DURT est la micro-dureté de la phase à froid \(\mathrm{F2}\) (perlite pour l’acier).

F3_DURT est la micro-dureté de la phase à froid \(\mathrm{F3}\) (bainite pour l’acier).

F4_DURT est la micro-dureté de la phase à froid \(\mathrm{F4}\) (martensite pour l’acier).

C_DURT est la micro-dureté pour la phase à chaud (austénite pour l’acier).

F3_REVENU_DURT est la micro-dureté de la phase revenue à froid \(\mathrm{F3}\) (bainite pour l’acier).

F4_REVENU_DURT est la micro-dureté de la phase revenue à froid \(\mathrm{F4}\) (martensite pour l’acier).

9.5. Mots clés facteur ELAS_META, ELAS_META_FO#

Définition des caractéristiques élastiques, de dilatation et de limites d’élasticité pour la modélisation d’un matériau subissant des transformations métallurgiques (voir [R4.04.02] ou [R4.04.05]). Ces coefficients peuvent être soient constants par rapport à la température ELAS_META, soient dépendre de la température ELAS_META_FO (paramètre ’TEMP’).

Certains coefficients dépendent de la structure métallurgique (paramètre ’META’).

Remarque:

Concernant le modèle META_LEMA_ANI, la dilatation thermique s’écrit classiquement sans distinction des phases. Par conséquent, les mots clés ‘C_ALPHA’, ‘PHASE_REFE’ et ‘EPSF_EPSC_TREF’ sont obligatoires mais non pris en compte dans les équations. Seul le coefficient de dilatation ‘F_ALPHA’ est considéré.

Ce modèle est une loi sans seuil donc les limites d’élasticité et la loi des mélanges ne sont pas utiles.

Remarque:

Concernant les autres modèles, pour un acier on renseigne au maximum 5 limites d’élasticité, pour le Zircaloy on en renseigne au maximum trois.

9.5.1. Opérandes#

E = young

Module de Young, identique pour toutes les phases métallurgiques.

NU = nu

Coefficient de Poisson, identique pour toutes les phases métallurgiques.

F_ALPHA = fal

Coefficient de dilatation thermique moyen des phases froides.

C_ALPHA = cal

Coefficient de dilatation thermique moyen de la phase chaude.

PHASE_REFE    =    /    ’CHAUD’
                   /    ’FROID’

Choix de la phase métallurgique de référence (phase chaude ou phase froide).

En effet, pour définir la déformation thermique nulle, il faut définir la température de référence \({T}_{\mathrm{ref}}\) (définie dans AFFE_MATERIAU) et la phase métallurgique de référence, de sorte que la déformation thermique soit considérée nulle à \({T}_{\mathrm{ref}}\) et dans l’état métallurgique de référence.

EPSF_EPSC_TREF    =    deltae

Déformation de la phase non de référence par rapport à la phase de référence à la température \({T}_{\mathrm{ref}}\) : traduit la différence de compacité entre les structures cristallographiques cubiques à faces centrées (type austénitique) et cubiques centrées (type ferritique).

TEMP_DEF_ALPHA    =    Tda

Température par rapport à laquelle on définit le coefficient de dilatation. Dans le cas où C_ALPHA est une fonction, cet opérande est obligatoire.

PRECISION = eps

Ce réel indique avec quelle précision une température \(T\) est proche de la température de référence (cf. [§3.1.4]).

F1_SY    =    F1sy

Limite d’élasticité de la phase froide 1 pour un comportement plastique.

F2_SY    =    F2sy

Limite d’élasticité de la phase froide 2 pour un comportement plastique.

F3_SY    =    F3sy

Limite d’élasticité de la phase froide 3 pour un comportement plastique.

F4_SY    =    F4sy

Limite d’élasticité de la phase froide 4 pour un comportement plastique.

C_SY    =    Fsy

Limite d’élasticité de la phase chaude pour un comportement plastique.

SY_MELANGE    =    f

Fonction utilisée pour la loi de mélange sur la limite d’élasticité du matériau multiphasé pour un comportement plastique.

:math:`{\sigma}_{y}=\left(1-f\left(z\right)\right){\sigma}_{y}^{\gamma}+f\left(z\right){\sigma}_{y}^{\alpha}`

F1_S_VP    =    F1svp

Limite d’élasticité de la phase froide 1 pour un comportement visqueux.

F2_S_VP    =    F2svp

Limite d’élasticité de la phase froide 2 pour un comportement visqueux.

F3_S_VP    =    F3svp

Limite d’élasticité de la phase froide 3 pour un comportement visqueux.

F4_S_VP    =    F4svp

Limite d’élasticité de la phase froide 4 pour un comportement visqueux.

C_S_VP        =    Csvp

Limite d’élasticité de la phase chaude pour un comportement visqueux.

S_VP_MELANGE    =    Svp

Fonction utilisée pour la loi de mélange sur la limite d’élasticité du matériau multiphasé pour un comportement visqueux.

:math:`{\sigma}_{c}=\left(1-f\left(z\right)\right){\sigma}_{c}^{\gamma}+f\left(z\right){\sigma}_{c}^{\alpha}`

9.6. Mot clé facteur META_ECRO_LINE#

Définition de cinq modules d’écrouissage utilisés dans la modélisation du phénomène d’écrouissage isotrope linéaire d’un matériau subissant des changements de phases métallurgiques (voir [R4.04.02]). Ces modules dépendent de la température.

9.6.1. Opérandes#

F1_D_SIGM_EPSI    =    dsde1

Pente de la courbe de traction pour la phase froide 1.

F2_D_SIGM_EPSI    =    dsde2

Pente de la courbe de traction pour la phase froide 2.

F3_D_SIGM_EPSI    =    dsde3

Pente de la courbe de traction pour la phase froide 3.

F4_D_SIGM_EPSI    =    dsde4

Pente de la courbe de traction pour la phase froide 4.

C_D_SIGM_EPSI        =    dsdec

Pente de la courbe de traction pour la phase chaude.

Le module de Young \(E\) est à préciser par les mots-clés META_ELAS ou META_ELAS_FO.

9.7. Mot clé facteur META_TRACTION#

Définition de cinq courbes de traction utilisées dans la modélisation du phénomène d’écrouissage isotrope non linéaire d’un matériau subissant des changements de phases métallurgiques (voir [R4.04.02]). Les courbes de traction peuvent éventuellement dépendre de la température.

9.7.1. Opérandes#

SIGM_F1    =    r_p1

Courbe écrouissage isotrope :math:`R`en fonction de la déformation plastique cumulée :math:`p`pour la phase froide 1 .

SIGM_F2    =    r_p2

Courbe écrouissage isotrope :math:`R`en fonction de la déformation plastique cumulée :math:`p`pour la phase froide 2 .

SIGM_F3    =    r_p3

Courbe écrouissage isotrope :math:`R`en fonction de la déformation plastique cumulée :math:`p`pour la phase froide 3 .

SIGM_F4    =    r_p4

Courbe écrouissage isotrope :math:`R`en fonction de la déformation plastique cumulée :math:`p`pour la phase froide 4 .

SIGM_C        =    r_p c

Courbe écrouissage isotrope :math:`R`en fonction de la déformation plastique cumulée :math:`p`pour la phase chaude.

Remarque:

Attention il ne s’agit pas de la courbe \(\sigma\) fonction de \(\varepsilon\) mais de la courbe \(R\) fonction de \(p\) *. On passe de l’une à l’autre en effectuant les calculs suivants:*

\(R=\sigma -\mathrm{limite}d’\mathrm{élasticité},p=\varepsilon –(\sigma /E).\)

9.8. Mot clé facteur META_VISC_FO#

Définition des paramètres visqueux de la loi de comportement viscoplastique avec prise en compte de la métallurgie (voir [R4.04.02]). Le modèle viscoplastique de type Norton-Hoff comporte 5 paramètres; les paramètres classique \(\eta\) , \(n\) de la loi d’écoulement en puissance, la limite élastique d’écoulement visqueuse, les paramètres \(C\) et \(m\) relatifs à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse. Ces paramètres dépendent de la température et de la structure métallurgique.

Les paramètres limites d’élasticité sont définis dans ELAS_META.

9.8.1. Opérandes F1_ETA/F2_ETA/F3_ETA/F4_ETA/C_ETA#

F1_ETA        =    eta1

Paramètre \(\eta\) de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase froide1.

F2_ETA        =    eta2

Paramètre \(\eta\) de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase froide2.

F3_ETA    =    eta3

Paramètre \(\eta\) de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase froide3.

F4_ETA        =    eta4

Paramètre \(\eta\) de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase froide4.

C_ETA    =    etac

Paramètre \(\eta\) de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase à chaud.

9.8.2. Opérandes F1_N/F2_N/F3_N/F4_N/C_N#

F1_N    =    n1

Paramètre \(n\) de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase froide 1.

F2_N    =    n2

Paramètre \(n\) de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase froide 2.

F3_N    =    n3

Paramètre \(n\) de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase froide 3.

F4_N    =    n4

Paramètre \(n\) de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase froide 4.

C_N        =    n5

Paramètre n de la loi d’écoulement visco-plastique, pour la phase à chaud.

9.8.3. Opérandes F1_C/F2_C/F3_C/F4_C/C_C#

F1_C    =    C1

Paramètre \(C\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase froide 1.

F2_C    =    C2

Paramètre \(C\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase froide 2.

F3_C    =    C3

Paramètre \(C\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase froide 3.

F4_C    =    C4

Paramètre \(C\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase froide 4.

C_C        =    C5

Paramètre \(C\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase à chaud.

9.8.4. Opérandes F1_M/F2_M/F3_M/F4_M/C_M#

F1_M    =    m1

Paramètre \(m\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase froide 1.

F2_M    =    m2

Paramètre \(m\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase froide 2.

F3_M    =    m3

Paramètre \(m\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase froide 3.

F4_M    =    m4

Paramètre \(m\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase froide 4.

C_M        =    m5

Paramètre \(m\) relatif à la restauration d’écrouissage d’origine visqueuse, pour la phase à chaud.

9.9. Mot clé facteur META_PT#

Définition des caractéristiques utilisées dans la modélisation de la plasticité de transformation d’un matériau qui subit des changements de phases métallurgiques (voir [R4.04.02]).

Le modèle est le suivant : \(\Delta {\varepsilon}^{\mathrm{pt}}=\frac{3}{2}\sigma \sum_{i=1}^{i=4}{K}_{i}{F}_{i}^{'}({Z}_{i})\langle \Delta {Z}_{i}\rangle\)

9.9.1. Opérandes#

F1_K = Kf, F2_K = Kp, F3_K = Kb, F4_K = Km

Constantes \({K}_{i}\) utilisées dans le modèle de plasticité de transformation, pour les différentes phases à froid. Pour l’acier = phase ferritique, perlitique, bainitique et martensitique.

F1_D_F_META=F’f,    F2_D_F_META=F’p,    F3_D_F_META=F’b,                                                F4_D_F_META=F’m,

Fonctions \({F}_{i}^{'}\) utilisées dans le modèle de plasticité de transformation, pour les différentes phases à froid. Pour l’acier : phase ferritique, perlitique, bainitique et martensitique.

9.10. Mot clé facteur META_RE#

Définition des caractéristiques utilisées dans la modélisation du phénomène de restauration d’écrouissage d’un matériau qui subit des changements de phases métallurgiques (voir [R4.04.02]).

9.10.1. Opérandes#

C_F1_THETA=Tgf,    C_F2_THETA=Tgp,    C_F3_THETA=Tgb,                                                 C_F4_THETA=Tgm

Constantes caractérisant le taux d’écrouissage transmis lors de la transformation de la phase à chaud C en phase à froid. Pour l’acier; transformation de l’austénite en ferrite, perlite, bainite et martensite. Ainsi, \(\theta =0\) correspond à une restauration totale et \(\theta =1\) à une transmission totale de l’écrouissage.

F1_C_THETA=Tfg,    F2_C_THETA=Tpg,    F3_C_THETA=Tbg,                                                F4_C_THETA=Tmg

Constantes caractérisant le taux d’écrouissage transmis lors de la transformation des phases à froid en phase à chaud. Pour l’acier; transformation de la ferrite, de la perlite, de la bainite et de la martensite en austénite. Ainsi, \(\theta =0\) correspond à une restauration totale et \(\theta =1\) à une transmission totale de l’écrouissage.

9.11. Mot clé META_LEMA_ANI#

Définition des paramètres de la loi META_LEMA_ANI (cf. [R4.04.05]), élasto-visqueuse sans seuil avec un comportement anisotrope. Brièvement, le modèle s’écrit soit dans le repère cylindrique \((r,\theta ,z)\) , soit dans le repère cartésien \((\mathit{Ox},\mathit{Oy},\mathit{Oz})\) :

Partition des déformations : \(\epsilon ={\epsilon}^{e}+\alpha \Delta T\mathrm{Id}+{\epsilon}^{v}\)

Loi d’écoulement de la déformation visqueuse : \(\dot{{\epsilon}^{v}}=\dot{p}\frac{M:\sigma }{{\sigma}_{\mathit{eq}}}\)

Critère de Hill: \({\sigma}_{\mathit{eq}}=\sqrt{\sigma :M:\sigma }\)

Matrice de Hill \(\mathrm{M}\) en coordonnées cylindriques :

\({\underline{M}}_{(r,\theta ,z)}=\left[\begin{array}{cccccc}{M}_{\mathit{rrrr}}& {M}_{\mathit{rr}\theta \theta }& {M}_{\mathit{rrzz}}& 0& 0& 0\\ {M}_{\mathit{rr}\theta \theta }& {M}_{\theta \theta \theta \theta }& {M}_{\theta \theta zz}& 0& 0& 0\\ {M}_{\mathit{rrzz}}& {M}_{\theta \theta zz}& {M}_{\mathit{zzzz}}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {M}_{r\theta r\theta }& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {M}_{\mathit{rzrz}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {M}_{\theta z\theta z}\end{array}\right]\)

\(\text{avec}\lbrace \begin{array}{ccc}{M}_{\mathit{rrrr}}+{M}_{\mathit{rr}\theta \theta }+{M}_{\mathit{rrzz}}& =& 0\\ {M}_{\mathit{rr}\theta \theta }+{M}_{\theta \theta \theta \theta }+{M}_{\theta \theta zz}& =& 0\\ {M}_{\mathit{rrzz}}+{M}_{\theta \theta zz}+{M}_{\mathit{zzzz}}& =& 0\end{array}\)

ou bien, en coordonnées cartésiennes:

\({\underline{M}}_{(x,y,z)}=\left[\begin{array}{cccccc}{M}_{\mathit{xxxx}}& {M}_{\mathit{xxyy}}& {M}_{\mathit{xxzz}}& 0& 0& 0\\ {M}_{\mathit{xxyy}}& {M}_{\mathit{yyyy}}& {M}_{\mathit{yyzz}}& 0& 0& 0\\ {M}_{\mathit{xxzz}}& {M}_{\mathit{yyzz}}& {M}_{\mathit{zzzz}}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {M}_{\mathit{xyxy}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {M}_{\mathit{xzxz}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {M}_{\mathit{yzyz}}\end{array}\right]\)

\(\text{avec}\lbrace \begin{array}{ccc}{M}_{\mathit{xxxx}}+{M}_{\mathit{xxyy}}+{M}_{\mathit{xxzz}}& =& 0\\ {M}_{\mathit{xxyy}}+{M}_{\mathit{yyyy}}+{M}_{\mathit{yyzz}}& =& 0\\ {M}_{\mathit{xxzz}}+{M}_{\mathit{yyzz}}+{M}_{\mathit{zzzz}}& =& 0\end{array}\)

Loi des mélanges sur la matrice \(\mathrm{M}\) :

\(\begin{array}{c}M=\lbrace \begin{array}{ccc}{M}^{c}& \text{si}& 0.00⩽{Z}_{f}⩽0.01\\ {M}^{2}={Z}_{f}{M}^{1}+(1-{Z}_{f}){M}^{c}& \text{si}& 0.01⩽{Z}_{f}⩽0.99\\ {M}^{1}& \text{si}& 0.99⩽{Z}_{f}⩽1.00\end{array}\\ {Z}_{f}={Z}_{1}+{Z}_{2};\text{}{Z}_{c}={Z}_{3}=1-{Z}_{f}\end{array}\)

Vitesse de déformation équivalente: \(\dot{p}={\left(\frac{{\sigma}_{\mathit{eq}}}{{\mathit{ap}}^{m}}\right)}^{n}{e}^{-Q/T}\)

ou de manière équivalente: \({\sigma}_{\mathit{eq}}=\underset{\text{contrainte visqueuse}{\sigma}_{v}}{\underset{⏟}{a{\left({e}^{Q/T}\right)}^{1/n}{p}^{m}{\dot{p}}^{1/n}}}={\sigma}_{v}\)

Loi des mélanges sur la contrainte visqueuse \({\sigma}_{v}\) :

\({\sigma}_{\mathit{eq}}={\sigma}_{v}=\sum_{i=1}^{3}{f}_{i}({Z}_{\alpha}){\sigma}_{\mathit{vi}}\) avec \({\sigma}_{\mathit{vi}}={a}_{i}{\left({e}^{{Q}_{i}/T}\right)}^{1/{n}_{i}}{p}^{{m}_{i}}{\dot{p}}^{1/{n}_{i}}\)

Remarque :

dans le cas isotrope, on a:

\(\begin{array}{}{M}_{\mathrm{rrrr}}={M}_{\theta \theta \theta \theta }={M}_{\mathrm{zzzz}}=1\\ {M}_{\mathrm{r\theta r\theta }}={M}_{\mathrm{rzrz}}={M}_{\theta z\theta z}=0.75\end{array}\)

\(\begin{array}{c}{M}_{\mathit{xxxx}}={M}_{\mathit{yyyy}}={M}_{\mathit{zzzz}}=1\\ {M}_{\mathit{xyxy}}={M}_{\mathit{xzxz}}={M}_{\mathit{yzyz}}=0.75\end{array}\)

Le choix du type de coordonnées (cylindriques ou cartésiennes) se fait respectivement par la détection du mot-clé F_MRR_RR ou du mot-clé F_MXX_XX.

9.11.1. Opérandes#

Le tableau ci-dessous résume les correspondances entre les symboles des équations et les mots clés.

Symbole dans les équations	Mot clé
\(\mathrm{a1}\) , \(\mathrm{a2}\) , \(\mathrm{a3}\)	’F1_A’, ’F2_A’, ’C_A’
\(\mathrm{m1}\) , \(\mathrm{m2}\) , \(\mathrm{m3}\)	’F1_M’, ’F2_M’, ’C_M’
\(\mathrm{n1}\) , \(\mathrm{n2}\) , \(\mathrm{n3}\) :math:``	’F1_N’, ’F2_N’, ’C_N’
\(\mathrm{Q1}\) , \(\mathrm{Q2}\) , \(\mathrm{Q3}\)	’F1_Q’, ’F2_Q’, ’C_Q’

La matrice de Hill est connue soit pour la phase froide (1) ’F_M**_**’, soit pour la phase chaude (3) ’C_M**_**’.

Remarque :

Les coefficients ’F1_Q’, ’F2_Q’ et ’C_Q’ sont en degré Kelvin.