3. Principe des travaux virtuels#

3.1. Travail de déformation#

L’expression générale du travail de déformation 3D pour l’élément de plaque excentré de la distance \(d\) par rapport au plan de référence vaut:

\({W}_{\text{def}}=\underset{S}{\int}\text{}\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}({\epsilon}_{xx}{\sigma}_{xx}+{\epsilon}_{yy}{\sigma}_{yy}+{\gamma}_{xy}{\sigma}_{xy}+{\gamma}_{x}{\sigma}_{xz}+{\gamma}_{y}{\sigma}_{yz})\text{dV}\)

où \(S\) est la surface moyenne, \(\mathit{dV}=\mathit{dxdydz}\) et où la position dans l’épaisseur de la plaque varie entre \(d‑h/2\) et \(d+h/2\) .

3.1.1. Expression des efforts résultants#

En adoptant la cinématique de [R3.07.03], on identifie le travail des efforts intérieurs:

\({W}_{\text{def}}=\underset{S}{\int}({e}_{xx}{N}_{xx}+{e}_{yy}{N}_{yy}+2{e}_{xy}{N}_{xy}+{\kappa}_{xx}{M}_{xx}+{\kappa}_{yy}{M}_{yy}+2{\kappa}_{xy}{M}_{xy}+{\gamma}_{x}{T}_{x}+{\gamma}_{y}{T}_{y})\text{dS}\)

où:

\(N=\left(\begin{array}{c}{N}_{xx}\\ {N}_{yy}\\ {N}_{xy}\end{array}\right)=\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}\\ {\sigma}_{yy}\\ {\sigma}_{xy}\end{array}\right)\text{dz}\)

\(M=\left(\begin{array}{c}{M}_{xx}\\ {M}_{yy}\\ {M}_{xy}\end{array}\right)=\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}\\ {\sigma}_{yy}\\ {\sigma}_{xy}\end{array}\right)z\text{dz}\)

\(T=\left(\begin{array}{c}{T}_{x}\\ {T}_{y}\end{array}\right)=\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xz}\\ {\sigma}_{yz}\end{array}\right)\text{dz}\)

où:

\({N}_{xx}\) , \({N}_{yy}\) , \({N}_{xy}\) sont les efforts résultants de membrane (en \(N/m\) ); \({M}_{xx}\) , \({M}_{yy}\) , \({M}_{xy}\) sont les efforts résultants de flexion ou moments par rapport au plan d’épure (en \(N\) ); \({T}_{x}\) , \({T}_{y}\) sont les efforts résultants de cisaillement ou efforts tranchants (en \(N/m\) ).

3.1.2. Relation efforts résultants déformations généralisées#

L’expression du travail de déformation s’écrit aussi:

\({W}_{\text{def}}=\underset{S}{\int}\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}[\text{εC}(\epsilon ,\alpha )\epsilon ]\text{dV}=\underset{S}{\int}\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}[\text{eCe}+z\text{eC}\kappa +\text{eC}\gamma +\mathit{z\kappa }\text{Ce}+{z}^{2}\mathit{\kappa C\kappa }+\mathit{z\kappa C\gamma }+\mathit{\gamma C}(e+\mathit{z\kappa }+\gamma )]\text{dSdz}\)

où: \(C(\varepsilon ,\alpha )\) est la matrice de rigidité tangente locale (matrice symétrique).

Ceci s’écrit encore:

\({W}_{\text{def}}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}[\text{eCe}+(\zeta +d)\text{eC}\kappa +\text{eC}\gamma +\kappa (\zeta +d)\text{Ce}+(\zeta +d{)}^{2}\mathit{\kappa C\kappa }+\kappa (\zeta +d)\mathit{C\gamma }+\mathit{\gamma C}(e+(\zeta +d)\kappa +\gamma )]\text{dSd}\zeta\)

En utilisant l’expression obtenue pour Wdef au paragraphe précédent, on trouve la relation suivante entre les efforts résultants et les déformations généraliées:

\(\begin{array}{c}N={H}_{m}e+({H}_{\text{mf}}+{\mathit{dH}}_{m})\kappa +{H}_{\mathit{m\gamma }}\gamma \\ M=({H}_{\text{mf}}+{\mathit{dH}}_{m})e+({H}_{f}+2{\mathit{dH}}_{\text{mf}}+{d}^{2}{H}_{m})\kappa +({H}_{\mathit{f\gamma }}+{\mathit{dH}}_{\mathit{m\gamma }})\gamma \\ T={H}_{\mathit{m\gamma }}^{T}e+({H}_{\mathit{f\gamma }}^{T}+{\mathit{dH}}_{\mathit{m\gamma }}^{T})\kappa +{H}_{\text{ct}}\gamma \end{array}\)

avec:

\({H}_{m}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}\mathit{Hd\zeta }\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}{H}_{\text{mf}}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}\mathit{H\zeta d\zeta }\text{}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}{H}_{f}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\mathit{H\zeta }}^{2}\mathit{d\zeta }\)

\(\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}{H}_{\text{ct}}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{H}_{\gamma}\mathit{d\zeta }\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}{H}_{\mathit{m\gamma }}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{H}_{\mathit{c\gamma }}\mathit{d\zeta }\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}{H}_{\mathit{f\gamma }}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{H}_{\mathit{c\gamma }}\mathit{\zeta d\zeta }\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\)

et:

\(e=\left(\begin{array}{c}{e}_{xx}\\ {e}_{yy}\\ 2{e}_{xy}\end{array}\right),\kappa =\left(\begin{array}{c}{\kappa}_{xx}\\ {\kappa}_{yy}\\ 2{\kappa}_{xy}\end{array}\right),\gamma =\left(\begin{array}{c}{\gamma}_{x}\\ {\gamma}_{y}\end{array}\right)\)

Les matrices \({H}_{m}\) , \({H}_{f}\) et \({H}_{\mathit{ct}}\) sont les matrices de rigidité en membrane, flexion et cisaillement transverse, respectivement, pour l’élément de plaque non excentré. La matrice \({H}_{\mathit{mf}}\) est une matrice de rigidité de couplage entre la membrane et la flexion pour l’élément de plaque non excentré. Elle est nulle si l’élément de plaque est symétrique par rapport à son feuillet moyen. La matrice \({H}_{m}\gamma\) est une matrice de rigidité de couplage entre la membrane et la distorsion transverse. La matrice \({H}_{f}\gamma\) est une matrice de rigidité de couplage entre la flexion et la distorsion transverse. Ces matrices sont nulles pour un excentrement nul, sauf dans le cas des multicouches où elles restent non nulles.

Pour un comportement élastique homogène isotrope, ces matrices ont pour expression:

\({H}_{m}=\frac{\text{Eh}}{1-{v}^{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& v& 0\\ v& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-v}{2}\end{array}\right),\text{}{H}_{f}=\frac{{\text{Eh}}^{3}}{12(1-{v}^{2})}\left(\begin{array}{ccc}1& v& 0\\ v& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-v}{2}\end{array}\right),\text{}{H}_{\text{ct}}=\frac{\text{kEh}}{2(1+v)}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\)

et \({H}_{\mathit{mf}}={H}_{m}\gamma ={H}_{f}\gamma =0\) car il y a une symétrie matérielle par rapport au plan \(\zeta =0\) .

Pour la détermination du coefficient de cisaillement \(k\) on renvoie au [§2.2.3] de [R3.07.03].

Le système de relation entre les efforts résultants et les déformations généralisées peut aussi s’écrire:

\(\begin{array}{c}N={H}_{m}e+{H}_{\text{mf}}^{'}\kappa +{H}_{\mathit{m\gamma }}\gamma \\ \begin{array}{c}M={H}_{\text{mf}}^{'}e+{H}_{f}^{'}\kappa +{H}_{\mathit{f\gamma }}^{'}\gamma \\ T\\ T={H}_{\mathit{m\gamma }}^{T}e+{H}_{\mathit{f\gamma }}^{}+{H}_{\text{ct}}\gamma \end{array}\hfill \end{array}\)

avec:

\(\begin{array}{c}{H}_{\text{mf}}^{'}={H}_{\text{mf}}+{\mathit{dH}}_{m}\\ {H}_{f}^{'}={H}_{f}+2{\mathit{dH}}_{\text{mf}}+{d}^{2}{H}_{m}\end{array}\)

\({H}_{\mathit{fg}}^{'}={H}_{\mathit{fg}}+{\mathit{dH}}_{\mathit{mg}}\)

Ainsi, dans le cas d’une plaque possédant la symétrie matérielle par rapport au plan \(\zeta =0\) , on a \({H}_{\mathit{mf}}=0\) mais \({H}_{\text{mf}}^{'}={\mathrm{dH}}_{m}\) . L’excentrement de la plaque entraîne un couplage entre les termes de membrane et de flexion.

Remarques:

Les relations liant \({H}_{m}\) , \({H}_{f}\) , \({H}_{\mathit{mf}}\) à \(H\) et \({H}_{\mathit{ct}}\) à \({H}_{\gamma}\) sont valides quelle que soit la loi de comportement élastique tangente, avec déformations anélastiques (thermoélasticité, plasticité,…).

Pour une plaque constituée de \(N\) couches orthotropes en élasticité, les matrices \({H}_{m}\) , \({H}_{f}\) , \({H}_{\mathit{mf}}\) et \({H}_{\mathit{ct}}\) s’écrivent:

\({\mathrm{H}}_{\mathrm{m}}=\sum_{i=1}^{N}{\mathrm{H}}_{\mathrm{mi}},\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{}{\mathrm{H}}_{\text{mf}}=\sum_{i=1}^{N}({\mathrm{H}}_{\text{mf}i}+{\eta}_{i}{\mathrm{H}}_{\mathrm{mi}}),\) \({\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}=\sum_{i=1}^{N}({\mathrm{H}}_{\mathrm{fi}}+2{\eta}_{i}{\mathrm{H}}_{\text{mf}i}+{\eta}_{i}^{2}{\mathrm{H}}_{\mathrm{mi}}),\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}{\mathrm{H}}_{\text{ct}}=\sum_{i=1}^{N}{\mathrm{H}}_{\text{ct}i}\)

où: \({\eta}_{i}=\frac{1}{2}\left({z}_{i+1}+{z}_{i}\right)\)

\({H}_{\mathit{mi}}\) , \({H}_{\mathit{fi}}\) , \({H}_{\mathit{mfi}}\) , \({H}_{\gamma i}\) représentent les matrices de membrane, de flexion, de couplage membrane flexion et de cisaillement transverse pour la couche \(i\) . On remarque l’analogie entre ces expressions avec la forme établie ci-dessus:

\(\begin{array}{c}{H}_{\text{mf}}^{'}={H}_{\text{mf}}+{\mathit{dH}}_{m}\\ {H}_{f}^{'}={H}_{f}+2{\mathit{dH}}_{\text{mf}}+{d}^{2}{H}_{m}\end{array}\)

On en déduit alors que l’excentrement pour une telle plaque est obtenu en substituant \({\eta}_{i}+d\) à \({\eta}_{i}\) .

3.1.3. Énergie interne élastique de plaque#

Compte tenu des remarques précédentes, l’énergie interne élastique de la plaque s’exprime plus habituellement pour ce genre de géométrie de la façon suivante:

\({\Phi}_{int}=\frac{1}{2}\underset{S}{\int}[e({H}_{m}e+{H}_{\text{mf}}^{'}\kappa +{H}_{\mathit{m\gamma }}\gamma )+\kappa ({H}_{\text{mf}}^{'}e+{H}_{f}^{'}\kappa +{H}_{\mathit{f\gamma }}^{'}\gamma )+\gamma ({H}_{\mathit{m\gamma }}^{T}e+{H}_{\mathit{f\gamma }}^{'T}\kappa +{H}_{\text{ct}}\gamma )]\text{dS}\) .

3.1.4. Remarque#

On peut choisir d’exprimer les efforts résultants de flexion ou moments par rapport au feuillet moyen de l’élément et non plus par rapport au plan de référence. Dans ce cas on obtient:

\(N=\left(\begin{array}{c}{N}_{xx}\\ {N}_{yy}\\ {N}_{xy}\end{array}\right)=\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}\\ {\sigma}_{yy}\\ {\sigma}_{xy}\end{array}\right)\text{dz}\) , \({M}^{'}=\left(\begin{array}{c}{M}_{xx}^{'}\\ {M}_{yy}^{'}\\ {M}_{xy}^{'}\end{array}\right)=\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}\\ {\sigma}_{yy}\\ {\sigma}_{xy}\end{array}\right)(z-d)\text{dz}\) , \(T=\left(\begin{array}{c}{T}_{x}\\ {T}_{y}\end{array}\right)=\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xz}\\ {\sigma}_{yz}\end{array}\right)\text{dz}\)

et l’expression du travail des efforts intérieurs devient:

\(\begin{array}{c}{W}_{\text{def}}=\underset{S}{\int}\left({e}_{xx}{N}_{xx}+{e}_{yy}{N}_{yy}+2{e}_{xy}{N}_{xy}+{\kappa}_{xx}({M'}_{xx}+{\text{dN}}_{xx})+{\kappa}_{yy}({M}_{yy}^{'}+{\text{dN}}_{yy})\right)\mathit{ds}+\\ \underset{S}{\int}\left(2{\kappa}_{xy}({M}_{xy}^{'}+{\text{dN}}_{xy})+{\gamma}_{x}{T}_{x}+{\gamma}_{y}{T}_{y}\right)\text{dS}\end{array}\)

On en déduit alors en utilisant l’expression 3D du travail de déformation que:

\(\begin{array}{c}N={H}_{m}e+({H}_{\text{mf}}+{\mathit{dH}}_{m})\kappa +{H}_{\mathit{m\gamma }}\gamma \\ {M}^{'}+\mathit{dN}=({H}_{\text{mf}}+{\mathit{dH}}_{m})e+({H}_{f}+2{\mathit{dH}}_{\text{mf}}+{d}^{2}{H}_{m})\kappa +({H}_{\mathit{f\gamma }}+{\mathit{dH}}_{\mathit{m\gamma }})\gamma \\ T={H}_{\mathit{m\gamma }}^{T}e+({H}_{\mathit{f\gamma }}^{T}+{\mathit{dH}}_{\mathit{m\gamma }}^{T})\kappa +{H}_{\text{ct}}\gamma \end{array}\)

Soit encore:

\(\begin{array}{c}N={H}_{m}e+({H}_{\text{mf}}+{\mathit{dH}}_{m})\kappa +{H}_{\mathit{m\gamma }}\gamma \\ {M}^{'}={H}_{\text{mf}}e+({H}_{f}+{\mathit{dH}}_{\text{mf}})\kappa +{H}_{\mathit{f\gamma }}\gamma \\ T={H}_{\mathit{m\gamma }}^{T}e+({H}_{\mathit{f\gamma }}^{T}+{\mathit{dH}}_{\mathit{m\gamma }}^{T})\kappa +{H}_{\text{ct}}\gamma \end{array}\) .

L’expression de l’énergie interne de la plaque reste bien sûr inchangée quant à elle. Dans le cas de l’élasticité, elle s’écrit toujours:

\({\Phi}_{int}=\frac{1}{2}\underset{S}{\int}[e({H}_{m}e+{H}_{\text{mf}}^{'}\kappa +{H}_{\mathit{m\gamma }}\gamma )+\kappa ({H}_{\text{mf}}^{'}e+{H}_{f}^{'}\kappa +{H}_{\mathit{f\gamma }}^{'}\gamma )+\gamma ({H}_{\mathit{m\gamma }}^{T}e+{H'}_{\mathit{f\gamma }}^{T}\kappa +{H}_{\text{ct}}\gamma )]\text{dS}\)

La question du choix du plan intéressant à utiliser pour l’expression des moments peut varier d’une situation à une autre.

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Dans le cas de la figure de droite, l’approche développée ci-dessus est préférable car l’expression des chargements est définie par rapport au feuillet moyen de chaque plaque. Dans le cas de la figure de gauche, si l’on souhaite remplacer la coque multi-couche par deux coques excentrées, l’axe de référence est le feuillet moyen de la coque multi-couche. On a donc intérêt à tout définir par rapport au plan d’épure. C’est cette approche qui est retenue dans le code. Tous les chargements appliqués sont considérés comme étant définis par défaut dans le repère d’épure ou plan du maillage. Si jamais certains chargements sont définis par rapport à d’autres plans (feuillet moyen, feuillet supérieur ou inférieur) c’est à l’utilisateur de faire les changements de repère appropriés, à la main ou par le biais du fichier de commande en précisant le plan d’application des efforts quand cela est possible (voir [§5]), pour se ramener à un chargement défini dans le plan du maillage.

3.2. Travail des forces et couples extérieurs#

Le travail des forces et couples s’exerçant sur la plaque s’exprime de la manière suivante:

\({W}_{\text{ext}}=\underset{S}{\int}\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}{F}_{v}.U\text{dV}+\underset{S}{\int}{F}_{s}.U\text{dS}+\underset{C}{\int}\underset{d-h/2}{\overset{d+h/2}{\int}}{F}_{c}.U\text{dz}\text{ds}\)

où:

\({F}_{v}\) , \({F}_{s}\) , \({F}_{c}\) sont les efforts volumiques, surfaciques et de contour s’exerçant sur la plaque, respectivement. \(C\) est la partie du contour de la plaque sur laquelle les efforts de contour \({F}_{c}\) sont appliqués.

Avec la cinématique du [§2.2], on détermine ainsi:

\(\begin{array}{c}{W}_{\text{ext}}=\underset{S}{\int}({f}_{x}u+{f}_{y}v+{f}_{z}w+{c}_{x}{\theta}_{x}+{c}_{y}{\theta}_{y})\text{dS}+\underset{C}{\int}({\phi }_{x}u+{\phi }_{y}v+{\phi }_{z}w+{\chi }_{x}{\theta}_{x}+{\chi }_{y}{\theta}_{y})\text{ds}\\ =\underset{S}{\int}({f}_{x}u+{f}_{y}v+{f}_{z}w+{c}_{y}{\beta}_{x}-{c}_{x}{\beta}_{y})\text{dS}+\underset{C}{\int}({\phi }_{x}u+{\phi }_{y}v+{\phi }_{z}w+{\chi }_{y}{\beta}_{x}-{\chi }_{x}{\beta}_{y})\text{ds}\end{array}\)

où sont présents sur la plaque:

  • \({f}_{x},{f}_{y},{f}_{z}\) les forces surfaciques agissant suivant \(x\) , \(y\) et \(z\) ;

  • \({f}_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{F}_{v}.{e}_{i}\text{dz}+{F}_{s}.{e}_{i}\) où \({e}_{x}\) et \({e}_{y}\) sont les vecteurs de base du plan tangent et \({e}_{z}\) leur vecteur normal;

  • \({c}_{x},{c}_{y}\) : couples surfaciques agissant autour des axes \(x\) et \(y\) ;

  • \({c}_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}[(z+d){e}_{z}\mathrm{\wedge }{F}_{v}].{e}_{i}\text{dz}+[(d\pm \frac{h}{2}){e}_{z}\mathrm{\wedge }{F}_{s}].{e}_{i}\) où \({e}_{x}\) , \({e}_{y}\) , \({e}_{z}\) sont les vecteurs de base précédemment définis.

et où sont présents sur le contour de la plaque:

  • \({\phi }_{x},{\phi }_{y},{\phi }_{z}\) les forces linéiques agissant suivant \(x\) , \(y\) et \(z\) ;

  • \({\phi }_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{F}_{c}.{e}_{i}\text{dz}\) où \({e}_{x}\) , \({e}_{y}\) , \({e}_{z}\) sont les vecteurs de base précédemment définis;

  • \({\chi }_{x},{\chi }_{y}\) les couples linéiques autour des axes \(x\) et \(y\) ;

  • \({\chi }_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}[(z+d){e}_{z}\mathrm{\wedge }{F}_{c}].{e}_{i}\text{dz}\) où \({e}_{x}\) , \({e}_{y}\) , \({e}_{z}\) sont les vecteurs de base précédemment définis.

Remarque:

Les moments par rapport à \(z\) sont nuls. Les efforts et les couples sont exprimés dans le repère du maillage. Tous les calculs sont faits par défaut dans le repère d’épure. Si des efforts ou des couples sont exprimés dans un autre repère ( celui du feuillet moyen de la plaque par exemple) l’utilisateur devra faire les conversions à la main s’il utiliseles options par défaut ou bien préciser le plan d’application des efforts (voir le paragraphe [§ 5 ]).

3.3. Principe du travail virtuel et équations d’équilibre#

Ce paragraphe est inchangé par rapport au paragraphe [§3.3] de [R3.07.03].