2. Formulation#

2.1. Géométrie#

Pour les éléments de plaque excentrés, la surface de référence est donnée par le plan d’épure ou plan du maillage (plan \(xy\) par exemple). Le feuillet moyen de l’élément est positionné par rapport à cette surface de référence. L’épaisseur \(h(x,y)\) doit être petite par rapport aux autres dimensions (extensions, rayons de courbure) de la structure à modéliser. La figure [Figure 2.1-a] ci-dessous illustre notre propos. Concernant la valeur de l’excentrement \(d\) , et du fait des conditions de linéarisation de la flexion adoptées dans la théorie, on prendra \(d\) de sorte qu’un élément d’épaisseur \(d+h\) reste dans la théorie des plaques.

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Figure 2.1-a

On attache au plan d’épure (le plan du maillage) un repère orthonormé local \(\mathrm{0xyz}\) associé au plan du maillage différent du repère global \(\mathit{OXYZ}\) . La position des points de la plaque est donnée par les coordonnées cartésiennes \((x,y)\) dans le plan d’épure (plan du maillage) et l’élévation \(z\) par rapport à ce plan.

2.2. Cinématique#

Les sections droites qui sont les sections perpendiculaires au feuillet moyen de la plaque restent droites. Les points matériels situés sur une normale à la surface moyenne non déformée restent sur une droite dans la configuration déformée. Il résulte de cette approche que les champs de déplacement varient linéairement dans l’épaisseur de la plaque. Si l’on désigne par \(u,v,w\) les déplacements d’un point du plan d’épure \(q(x,y,z)\) suivant \(x\) , \(y\) et \(z\) , la cinématique de Hencky-Mindlin nous donne:

\((\begin{array}{c}{u}_{x}(x,y,z)\\ {u}_{y}(x,y,z)\\ {u}_{z}(x,y,z)\end{array})=(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\\ w(x,y)\end{array})+z(\begin{array}{c}{\theta}_{y}(x,y)\\ -{\theta}_{x}(x,y)\\ 0\end{array})=(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\\ w(x,y)\end{array})+z(\begin{array}{c}{\beta}_{x}(x,y)\\ {\beta}_{y}(x,y)\\ 0\end{array})\)

où:

\(u,v,w\) sont les déplacements du plan d’épure;

\({\theta}_{x}\) et \({\theta}_{y}\) sont respectivement les rotations de ce plan par rapport à respectivement l’axe \(x\) et l’axe \(y\) .

On préfère introduire les deux rotations \({\beta}_{x}(x,y)={\theta}_{y}(x,y),{\beta}_{y}(x,y)=-{\theta}_{x}(x,y)\) . Les déformations tridimensionnelles en tout point, avec la cinématique introduite précédemment, sont ainsi données par:

\(\begin{array}{}{\epsilon}_{xx}={e}_{xx}+{\mathrm{z\kappa }}_{xx}\\ {\epsilon}_{yy}={e}_{yy}+{\mathrm{z\kappa }}_{yy}\\ {\mathrm{2\epsilon }}_{xy}={\gamma}_{xy}=2{e}_{xy}+{\mathrm{2z\kappa }}_{xy}\\ {\mathrm{2\epsilon }}_{xz}={\gamma}_{x}\\ {\mathrm{2\epsilon }}_{yz}={\gamma}_{y}\end{array}\)

où:

\({e}_{xx}\) , \({e}_{yy}\) et \({e}_{xy}\) sont les déformations membranaires de la surface moyenne; \({\gamma}_{x}\) et \({\gamma}_{y}\) les déformations associées aux cisaillements transverses; \({\kappa}_{xx}\) , \({\kappa}_{yy}\) , \({\kappa}_{xy}\) les déformations de flexion de la surface moyenne, qui s’écrivent:

\(\begin{array}{}{e}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}\\ {e}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ 2{e}_{xy}=\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\\ {\kappa}_{xx}=\frac{\partial {\beta}_{x}}{\partial x}\\ {\kappa}_{yy}=\frac{\partial {\beta}_{y}}{\partial y}\\ {\mathrm{2\kappa }}_{xy}=\frac{\partial {\beta}_{x}}{\partial y}+\frac{\partial {\beta}_{y}}{\partial x}\\ {\gamma}_{x}={\beta}_{x}+\frac{\partial w}{\partial x}\\ {\gamma}_{y}={\beta}_{y}+\frac{\partial w}{\partial y}\end{array}\)

Remarque:

  • Dans les théories de plaque, l’introduction de \({\beta}_{x}\) et \({\beta}_{y}\) permet de symétriser les formulations des déformations et les équations d’équilibre [R3.07.03]. Dans les théories de coque, on utilise plutôt \({\theta}_{x}\) et \({\theta}_{y}\) et les couples associés \({M}_{x}\) et \({M}_{y}\) par rapport à \(x\) et \(y\) ,

  • les degrés de liberté que l’on a choisi sont les déplacements et rotations du plan d’épure et non pas ceux du feuillet moyen. En effet si l’on envisage la superposition de plusieurs plaques excentrées pour réaliser un matériau sandwich il ne peut correspondre aux nœuds du maillage qu’un seul champ de déplacement et non pas les différents champs de déplacements des couches composant le matériau.

2.3. Loi de comportement#

Le comportement des plaques est un comportement 3D en « contraintes planes ». La contrainte transversale \({\sigma}_{zz}\) est prise nulle car négligeable par rapport aux autres composantes du tenseur des contraintes (hypothèse des contraintes planes). La loi de comportement la plus générale s’écrit alors ainsi:

\((\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}\\ {\sigma}_{yy}\\ {\sigma}_{xy}\\ {\sigma}_{xz}\\ {\sigma}_{yz}\end{array})=C(\epsilon ,\alpha )(\begin{array}{c}{\epsilon}_{xx}\\ {\epsilon}_{yy}\\ {\gamma}_{xy}\\ {\gamma}_{x}\\ {\gamma}_{y}\end{array})=\text{Ce}+\mathrm{zC\kappa }+\mathrm{C\gamma }\) avec \(e=\left(\begin{array}{c}{e}_{xx}\\ {e}_{yy}\\ 2{e}_{xy}\\ 0\\ 0\end{array}\right),\text{}\kappa =\left(\begin{array}{c}{\kappa}_{xx}\\ {\kappa}_{yy}\\ 2{\kappa}_{xy}\\ 0\\ 0\end{array}\right)\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\text{et}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\gamma =\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ {\gamma}_{x}\\ {\gamma}_{y}\end{array}\right)\)

où: \(C(\varepsilon ,\alpha )\) est la matrice de rigidité tangente locale en contraintes planes;

\(\alpha\) représente l’ensemble des variables internes lorsque le comportement est non linéaire.

Pour des comportements (par exemple des multicouches) pour lesquels les distorsions sont couplées aux déformations de membrane et de flexion, \(C(\varepsilon ,\alpha )\) se met sous la forme:

\(C=(\begin{array}{cc}H& {H}_{c\gamma }\\ {H}_{{c\gamma }_{}}^{T}& {H}_{\gamma}\end{array})\)

où:

\(H(\varepsilon ,\alpha )\) est une matrice \(3\times 3\) symétrique; \({H}_{\gamma}(\varepsilon ,\alpha )\) une matrice \(2\times 2\) symétrique; \({H}_{c\gamma }(\varepsilon ,\alpha )\) une matrice \(3\times 2\) de couplage entre les effets de membrane ou de flexion et de cisaillement transverse.

Dans le cas où c’est découplé, on a \({H}_{c\gamma }(\varepsilon ,\alpha )=0\) . La détermination de \({H}_{\gamma}(\varepsilon ,\alpha )\) dans le cadre de la théorie de Reissner ([§2.2.3.2] de [R3.07.03]) est donnée en annexe. On montre qu’elle est équivalente à celle des plaques non excentrées.