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Version Aster	Auteur(s) Organisme(s)	Description des modifications
6.3	P.MASSIN EDF-R&D/AMA	Texte initial

Facteurs de correction de cisaillement transverse pour des plaques orthotropes ou stratifiées excentrées

La matrice \({H}_{\text{ct}}\) est définie de sorte que la densité surfacique d’énergie de cisaillement transverse obtenue dans le cas de la distribution tridimensionnelle des contraintes issues de la résolution de l’équilibre soit égale à celle du modèle de plaque basé sur les hypothèses de Reissner, pour un comportement en flexion simple. On doit ainsi trouver \({H}_{\text{ct}}\) telle que:

\(\frac{1}{2}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}\tau {H}_{g}^{-1}\tau =\frac{1}{2}{\text{TH}}_{\text{ct}}^{-1}T=\frac{1}{2}\gamma {H}_{\text{ct}}\gamma\) avec \(\tau =(\begin{array}{c}{\sigma}_{xz}\\ {\sigma}_{yz}\end{array})\) et \(T=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}\tau \text{dz}={H}_{\text{ct}}\gamma\) .

Pour obtenir \({H}_{\text{ct}}\) on utilise la distribution de \(\tau\) suivant \(z\) obtenue à partir de la résolution des équations d’équilibre 3D sans couples extérieurs:

\({\sigma}_{xz}=-\underset{-h/2}{\overset{z}{\int}}({\sigma}_{xx,x}+{\sigma}_{xy,y})d\zeta ;{s}_{yz}=-\underset{-h/2}{\overset{z}{\int}}({\sigma}_{xy,x}+{\sigma}_{yy,y})d\zeta\) avec \({\sigma}_{xz}={\sigma}_{yz}=0\) pour \(z=\pm h/2\) .

Dans le cas où il n’y a pas de couplage membrane flexion (symétrie par rapport à \(z=0\) ), les contraintes dans le plan de l’élément \({\sigma}_{xx},{\sigma}_{yy},{\sigma}_{xy}\) ont pour expression dans le cas d’un comportement de flexion pure:

\(\sigma =\mathit{zA}(z)M\) avec \(A(z)=H(z){H}_{f}^{-1}\) .

Si \(H(z)\) et \({H}_{f}\) ne dépendent pas de \(x\) et \(y\) on peut déterminer \({H}_{\text{ct}}\) . En effet:

\(\tau (z)={D}_{1}(z)T+{D}_{2}(z)\lambda\) où \(T=(\begin{array}{c}{T}_{x}\\ {T}_{y}\end{array})=(\begin{array}{c}{M}_{xx,x}+{M}_{xy,y}\\ {M}_{xy,x}+{M}_{yy,y}\end{array})\) et \(\lambda =(\begin{array}{c}{M}_{xx,x}-{M}_{xy,y}\\ {M}_{xy,x}-{M}_{yy,y}\\ {M}_{yy,x}\\ {M}_{xx,y}\end{array})\)

ainsi que:

\({\mathrm{D}}_{1}=-\underset{-h/2}{\overset{z}{\int}}\frac{z}{2}(\begin{array}{cc}{A}_{11}+{A}_{33}& {A}_{13}+{A}_{32}\\ {A}_{31}+{A}_{23}& {A}_{22}+{A}_{33}\end{array})\mathit{dz}\) ,

\({\mathrm{D}}_{2}=-\underset{-h/2}{\overset{z}{\int}}\frac{z}{2}(\begin{array}{cccc}{A}_{11}-{A}_{33}& {A}_{13}-{A}_{32}& {\mathrm{2A}}_{12}& {\mathrm{2A}}_{31}\\ {A}_{31}-{A}_{23}& {A}_{33}-{A}_{22}& {\mathrm{2A}}_{32}& {\mathrm{2A}}_{21}\end{array})\mathit{dz}\) .

Il en résulte que \(\frac{1}{2}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}t{\mathrm{H}}_{g}^{-1}t=\frac{1}{2}(\begin{array}{c}\mathrm{T}\\ \lambda \end{array})(\begin{array}{cc}{\mathrm{C}}_{11}& {\mathrm{C}}_{12}\\ {\mathrm{C}}_{12}^{T}& {\mathrm{C}}_{22}\end{array})(\begin{array}{c}\mathrm{T}\\ \lambda \end{array})\) avec: \(\begin{array}{}{C}_{11}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{D}_{1}^{T}{H}_{g}^{-1}{D}_{1}\text{dz};\\ {C}_{12}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{D}_{1}^{T}{H}_{g}^{-1}{D}_{2}\text{dz};\\ {C}_{22}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{D}_{2}^{T}{H}_{g}^{-1}{D}_{2}\text{dz}\end{array}\)

Comme par ailleurs \(\frac{1}{2}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}t{H}_{g}^{-1}t=\frac{1}{2}{\text{TH}}_{\text{ct}}^{-1}T\) on propose de prendre \({H}_{\text{ct}}={C}_{11}^{-1}\) pour satisfaire au mieux les deux équations quels que soient \(T\) et \(\lambda\) .

En comparant \({H}_{\text{ct}}\) ainsi calculée avec \({\stackrel{ˉ}{H}}_{\text{ct}}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{H}_{g}\text{dz}\) on fait apparaître les coefficients de correction de cisaillement transverse suivant: \({k}_{1}={H}_{\text{ct}}^{11}/{\stackrel{ˉ}{H}}_{\text{ct}}^{11};{k}_{12}={H}_{\text{ct}}^{12}/{\stackrel{ˉ}{H}}_{\text{ct}}^{12};{k}_{2}={H}_{\text{ct}}^{22}/{\stackrel{ˉ}{H}}_{\text{ct}}^{22}\) .

Pour une plaque homogène, isotrope ou anisotrope, on trouve ainsi: \({\mathrm{H}}_{\text{ct}}=\mathit{kh}{\mathrm{H}}_{g}\) avec \(k=5/6\) .

Remarques:

Cette méthode n’est valide que lorsque la plaque composite est symétrique par rapport à z=0.

Pour un matériau multicouche , on établit que:

\(\begin{array}{c}{\mathrm{C}}_{11}=\sum_{i=1}^{N}\frac{{h}_{i}}{4}(\sum_{p=1}^{i-1}{h}_{p}{h}_{p}{\mathrm{A}}_{p}^{T}-\frac{1}{2}{z}_{i}^{2}{\mathrm{A}}_{i}^{T}){\mathrm{H}}_{g}^{-1}(\sum_{p=1}^{i-1}{h}_{p}{h}_{p}{\mathrm{A}}_{p}-\frac{1}{2}{z}_{i}^{2}{\mathrm{A}}_{i})+\\ \frac{1}{24}({z}_{i+1}^{3}-{z}_{i}^{3})[{\mathrm{A}}_{i}^{T}{\mathrm{H}}_{g}^{-1}(\sum_{p=1}^{i-1}{h}_{p}{h}_{p}{\mathrm{A}}_{p}-\frac{1}{2}{z}_{i}^{2}{\mathrm{A}}_{i})+(\sum_{p=1}^{i-1}{h}_{p}{h}_{p}{\mathrm{A}}_{p}^{T}-\frac{1}{2}{z}_{i}^{2}{\mathrm{A}}_{i}^{T}){\mathrm{H}}_{g}^{-1}{\mathrm{A}}_{i}]\\ +\frac{1}{80}({z}_{i+1}^{5}-{z}_{i}^{5}){\mathrm{A}}_{i}^{T}{\mathrm{H}}_{g}^{-1}{\mathrm{A}}_{i}\end{array}\)

où: \({h}_{i}={z}_{i+1}-{z}_{i},{h}_{i}=\frac{1}{2}({z}_{i+1}+{z}_{i})\) et \({A}_{i}\) représente la matrice \((\begin{array}{cc}{A}_{11}+{A}_{33}& {A}_{13}+{A}_{32}\\ {A}_{31}+{A}_{23}& {A}_{22}+{A}_{33}\end{array})\) pour la couche i.

La validité du choix \({H}_{\text{ct}}={C}_{11}^{-1}\) peut être examinée a posteriori lorsque l’on a une estimation de la solution (champs de déplacements et de contraintes planes, notamment). On peut alors estimer l’écart entre les deux estimations sur l’énergie. Une démarche de calcul en deux étapes pour les plaques et coques multicouches (avec \({H}_{\text{ct}}\) diagonale et deux coefficients \({k}_{1}\) et \({k}_{2}\) ) a d’ailleurs été développée par Noor et Burton [bib10] [bib11].
Dans le cas d’une plaque homogène isotrope ou anisotrope l’égalité entre les deux énergies est satisfaite au sens strict puisque \({D}_{2}=0\) . Le choix fait ci-dessus est alors valide et aucun examen a posteriori n’est nécessaire.

Calcul de contrainte de cisaillement

On explicite ici le terme \(\mathit{d1iel}(z)\) qui permet de calculer la contrainte et la déformation de cisaillement en présence d’excentrement.

En effet, d’après la documentation R3.07.03, les relations contraintes de cisaillement – efforts tranchants sont:

\({\sigma}_{xz}={T}_{x}\ast \mathit{d1iel}(z)\) \({\sigma}_{yz}={T}_{y}\ast \mathit{d1iel}(z)\)

Dans les cas classiques sans excentrement, on a: \(\mathit{d1iel}(z)=3/\mathrm{2h}\ast (1-4{z}^{2}/{h}^{2})\) .

Dans des cas plus généraux (en présence de l’excentrement par exemple) \(\mathit{d1iel}(z)\) doit être modifié. Pour approximer correctement la contrainte de cisaillement, on fait le choix de postuler une forme quadratique générale pour \(\mathit{d1iel}(z)=a\ast {z}^{2}+b\ast z+c\) tel que les conditions suivantes soient respectées:

\(\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}\mathit{d1iel}(z+d)\mathit{dz}=1\) relation effort tranchant-contraintes
\(\mathit{d1iel}(z+d=-h/2)=0;\mathit{d1iel}(z+d=h/2)=0\) condition de bords libres

Soit avec un excentrement de \(d\) , les coefficients de \(\mathit{d1iel}(z)\) sont :

\(a=-6/\mathit{quotient}\) , \(b=(6\ast (\mathit{zmin}+\mathit{zmax}))/\mathit{quotient}\) , \(b=(6\ast \mathit{zmin}\ast \mathit{zmax})/\mathit{quotient}\)

\(\mathit{quotient}=({\mathit{zmax}}^{3}-3\ast {\mathit{zmax}}^{2}\ast \mathit{zmin}+3\ast \mathit{zmax}\ast {\mathit{zmin}}^{2}-{\mathit{zmin}}^{3}),\mathit{zmin}=-h/2+d,\mathit{zmax}=h/2+d\)