3. Principe du travail virtuel#
Le principe des travaux virtuels est la formulation faible de l’équilibre statique des forces internes et des forces externes:
\(\delta {\pi}_{int}-\delta {\pi}_{\text{ext}}=0\)
La non-linéarité des équations d’équilibre nous conduit à résoudre le système ci-dessus de façon itérative par une méthode de Newton. Nous procédons ainsi à la linéarisation exacte du principe des travaux virtuels à chaque itération, qui conduit à l’égalité:
\({\Delta \delta \pi }_{int}^{}-{\Delta \delta \pi }_{\text{ext}}^{}={\delta \pi }_{\text{ext}}^{}-{\delta \pi }_{int}^{}\)
3.1. Travail virtuel interne#
Le travail virtuel des forces internes peut être écrit sur la configuration initiale sous la forme:
\(\delta {\pi}_{int}={\int}_{\Omega}(\delta \tilde{\mathrm{E}}.\tilde{\mathrm{S}})d\Omega\)
où \(\tilde{E}\) et \(\tilde{S}\) sont les vecteurs de déformation de Green-Lagrange et de contrainte Piola-Kirchhoff de deuxième espèce respectivement, exprimés dans le repère local. En effet, comme l’état de contrainte est plan pour le Piola-Kirchhoff de deuxième espèce, nous utilisons la formulation du principe du travail virtuel dans le repère local. Cependant, pour limiter les passages du repère local au repère global et vice-versa, les vecteurs de déformations et de contraintes locales ne sont pas calculés explicitement dans le repère local mais ils sont obtenus par la rotation de leur représentation dans le repère global.
3.1.1. Forme incrémentale du travail virtuel interne#
La variation itérative du travail du travail virtuel interne s’écrit:
\(\Delta \delta {\pi}_{int}={\int}_{\Omega}(\delta \tilde{E}.\Delta \tilde{S}+\Delta \delta \tilde{E}.\tilde{S})d\Omega\)
Dans cette égalité, la variation itérative du vecteur de contraintes locales de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce se calcule par la forme discrète itérative de la relation de comportement:
\(\Delta \tilde{S}=D\Delta \tilde{E}\)
3.1.2. Passage du repère global au repère local#
Sous forme tensorielle on passe du tenseur des contraintes globales au tenseur des contraintes locales \(3\times 3\) (voir [bib4] p. 111 pour les contraintes de Cauchy, les mêmes relations s’appliquant aux contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce) en utilisant:
\([\tilde{S}]=P[S]{P}^{T}\)
et du tenseur des contraintes locales au tenseur des contraintes globales par l’inversion de la relation précédente:
\([S]={P}^{T}[\tilde{S}]P\)
Dans les deux expressions précédentes, la matrice de passage du repère local au repère global est une matrice orthogonale \({P}^{-1}={P}^{T}\) , et son expression explicite en fonction des vecteurs unitaires du repère orthonormé local est:
\(\mathrm{P}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{t}}_{1}^{\mathrm{T}}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})\\ {\mathrm{t}}_{2}^{\mathrm{T}}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})\\ {\mathrm{n}}^{\mathrm{T}}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})\end{array}\right]\)
Dans le cadre de la notation conventionnelle, on pourra noter:
\(\begin{array}{c}{t}_{1}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})={\Lambda}_{0}{e}_{1}\\ {t}_{2}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})={\Lambda}_{0}{e}_{2}\\ {t}_{3}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})=n({\xi}_{1},{\xi}_{2})={\Lambda}_{0}{e}_{3}\end{array}\)
avec la matrice orthogonale de passage (rotation initiale):
\({\Lambda}_{0}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})=\left[{t}_{1}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3}):{t}_{2}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3}):{t}_{3}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})\right]\)
On remarquera que:
\({\Lambda}_{0}={P}^{T}\)
Les deux relations de rotation des contraintes sont aussi valables pour les tenseurs des déformations de Green-Lagrange. Néanmoins, une écriture qui relie les vecteurs de déformation locale et globale est nécessaire. Cette relation permet de passer du vecteur \(6\times 1\) des déformations globales au vecteur \(6\times 1\) des déformations locales:
\(\stackrel{6\times 1}{\tilde{E}}=\stackrel{6\times 6}{\stackrel{ˉ}{H}}\stackrel{6\times 1}{E}\)
avec l’expression de la matrice de transformation des vecteurs \(6\times 1\) de déformation (voir [bib2] p.258):
\(\stackrel{6\times 6}{\overline{H}}=\left[\begin{array}{cccccc}{l}_{1}^{2}& {m}_{1}^{2}& {n}_{1}^{2}& {l}_{1}{m}_{1}& {m}_{1}{n}_{1}& {n}_{1}{l}_{1}\\ {l}_{2}^{2}& {m}_{2}^{2}& {n}_{2}^{2}& {l}_{2}{m}_{2}& {m}_{2}{n}_{2}& {n}_{2}{l}_{2}\\ {l}_{3}^{2}& {m}_{3}^{2}& {n}_{3}^{2}& {l}_{3}{m}_{3}& {m}_{3}{n}_{3}& {n}_{3}{l}_{3}\\ {\mathrm{2l}}_{1}{l}_{2}& {\mathrm{2m}}_{1}{m}_{2}& {\mathrm{2n}}_{1}{n}_{2}& {l}_{1}{m}_{2}+{l}_{2}{m}_{1}& {m}_{1}{n}_{2}+{m}_{2}{n}_{1}& {n}_{1}{l}_{2}+{n}_{2}{l}_{1}\\ {\mathrm{2l}}_{2}{l}_{3}& {\mathrm{2m}}_{2}{m}_{3}& {\mathrm{2n}}_{2}{n}_{3}& {l}_{2}{m}_{3}+{l}_{3}{m}_{2}& {m}_{2}{n}_{3}+{m}_{3}{n}_{2}& {n}_{2}{l}_{3}+{n}_{3}{l}_{2}\\ {\mathrm{2l}}_{3}{l}_{1}& {\mathrm{2m}}_{3}{m}_{1}& {\mathrm{2n}}_{3}{n}_{1}& {l}_{3}{m}_{1}+{l}_{1}{m}_{3}& {m}_{3}{n}_{1}+{m}_{1}{n}_{3}& {n}_{3}{l}_{1}+{n}_{1}{l}_{3}\end{array}\right]\)
et les composantes des vecteurs unitaires du repère local:
\(\begin{array}{ccc}{l}_{1}={t}_{1}.{e}_{1}& {m}_{1}={t}_{1}.{e}_{2}& {n}_{1}={t}_{1}.{e}_{3}\\ {l}_{2}={t}_{2}.{e}_{1}& {m}_{2}={t}_{2}.{e}_{2}& {n}_{2}={t}_{2}.{e}_{3}\\ {l}_{3}={t}_{3}.{e}_{1}& {m}_{3}={t}_{3}.{e}_{2}& {n}_{3}={t}_{3}.{e}_{3}\end{array}\)
Ces expressions sont générales pour les repères curvilignes. Dans le repère global cartésien \(\left[{e}_{1}:{e}_{2}:{e}_{3}\right]\) , ces composantes sont:
\(\begin{array}{ccc}{l}_{1}={t}_{1}(1)& {m}_{1}={t}_{1}(2)& {n}_{1}={t}_{1}(3)\\ {l}_{2}={t}_{2}(1)& {m}_{2}={t}_{2}(2)& {n}_{2}={t}_{2}(3)\\ {l}_{3}={t}_{3}(1)& {m}_{3}={t}_{3}(2)& {n}_{3}={t}_{3}(3)\end{array}\)
Nous avons, en réalité, besoin d’une écriture qui relie le vecteur de déformation locale \(5\times 1\) et le vecteur de déformation globale \(6\times 1\) :
\(\stackrel{5\times 1}{\tilde{E}}=\stackrel{5\times 6}{H}\stackrel{6\times 1}{E}\)
Pour cela, on oublie la troisième ligne de l’expression de \(\stackrel{6\times 6}{\overline{H}}\) (ligne associée à \({S}_{\text{nn}}\) ):
\(\begin{array}{c}\stackrel{5\times 6}{H}=[\begin{array}{ccc}{({t}_{1}(1))}^{2}& {({t}_{1}(2))}^{2}& {({t}_{1}(3))}^{2}\\ {({t}_{2}(1))}^{2}& {({t}_{2}(2))}^{2}& {({t}_{2}(3))}^{2}\\ {\mathrm{2t}}_{1}(1){t}_{2}(1)& {\mathrm{2t}}_{1}(2){t}_{2}(2)& {\mathrm{2t}}_{1}(3){t}_{2}(3)\\ {\mathrm{2t}}_{2}(1){t}_{3}(1)& {\mathrm{2t}}_{2}(2){t}_{3}(2)& {\mathrm{2t}}_{2}(3){t}_{3}(3)\\ {\mathrm{2t}}_{3}(1){t}_{1}(1)& {\mathrm{2t}}_{3}(2){t}_{1}(2)& {\mathrm{2t}}_{3}(3){t}_{1}(3)\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{t}_{1}(1){t}_{1}(2)& {t}_{1}(2){t}_{1}(3)& {t}_{1}(3){t}_{1}(1)\\ {t}_{2}(1){t}_{2}(2)& {t}_{2}(2){t}_{2}(3)& {t}_{2}(3){t}_{2}(1)\\ {t}_{1}(1){t}_{2}(2)+{t}_{2}(1){t}_{1}(2)& {t}_{1}(2){t}_{2}(3)+{t}_{2}(2){t}_{1}(3)& {t}_{1}(3){t}_{2}(1)+{t}_{2}(3){t}_{1}(1)\\ {t}_{2}(1){t}_{3}(2)+{t}_{3}(1){t}_{2}(2)& {t}_{2}(2){t}_{3}(3)+{t}_{3}(2){t}_{2}(3)& {t}_{2}(3){t}_{3}(1)+{t}_{3}(3){t}_{2}(1)\\ {t}_{3}(1){t}_{1}(2)+{t}_{1}(1){t}_{3}(2)& {t}_{3}(2){t}_{1}(3)+{t}_{1}(2){t}_{3}(3)& {t}_{3}(3){t}_{1}(1)+{t}_{1}(3){t}_{3}(1)\end{array}]\end{array}\)
Les mêmes relations précédentes peuvent être appliquées pour le passage des vecteurs de déformation globale à la déformation locale.
3.1.3. Relation déformation-déplacement#
Le tenseur \(3\times 3\) des déformations globales de Green-Lagrange est défini par (voir par exemple [bib2]):
\([E]=\frac{1}{2}(\nabla u+\nabla {u}^{T}+\nabla {u}^{T}\nabla u)\)
avec le tenseur du gradient des déplacements:
\(\nabla u=(\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}\end{array})\langle uvw\rangle =\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial w}{\partial x}\\ \frac{\partial u}{\partial y}& \frac{\partial v}{\partial y}& \frac{\partial w}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial z}& \frac{\partial v}{\partial z}& \frac{\partial w}{\partial z}\end{array}\right]\)
Le tenseur de déformation de Green-Lagrange peut aussi s’écrire:
\(\left[E\right]=\frac{1}{2}({F}^{T}F-I)\)
avec \(F\) le tenseur gradient des déformations \(3\times 3\) qui n’est pas symétrique:
\(F=\nabla {x}^{\varphi}=I+\nabla u\)
et \(I\) le tenseur identité:
\(I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\)
Le vecteur \(6\times 1\) des déformations globales de Green-Lagrange est ordonné comme suit (voir [bib4] p117):
\(E=(\begin{array}{c}{E}_{xx}\\ {E}_{yy}\\ {E}_{zz}\\ {\gamma}_{xy}\\ {\gamma}_{xz}\\ {\gamma}_{yz}\end{array})=(\begin{array}{c}{u}_{,x}\\ {v}_{,y}\\ {w}_{,z}\\ {u}_{,y}+{v}_{,x}\\ {u}_{,z}+{w}_{,x}\\ {v}_{,z}+{w}_{,y}\end{array})+(\begin{array}{c}\frac{1}{2}({u}_{{,x}^{2}}+{v}_{{,x}^{2}}+{w}_{{,x}^{2}})\\ \frac{1}{2}({u}_{{,y}^{2}}+{v}_{{,y}^{2}}+{w}_{{,y}^{2}})\\ \frac{1}{2}({u}_{{,z}^{2}}+{v}_{{,z}^{2}}+{w}_{{,z}^{2}})\\ {u}_{,x}{u}_{,y}+{v}_{,x}{v}_{,y}+{w}_{,x}{w}_{,y}\\ {u}_{,x}{u}_{,z}+{v}_{,x}{v}_{,z}+{w}_{,x}{w}_{,z}\\ {u}_{,y}{u}_{,z}+{v}_{,y}{v}_{,z}+{w}_{,y}{w}_{,z}\end{array})\)
On le calcule comme suit:
\(E=\left[Q+\frac{1}{2}A(\frac{\partial u}{\partial x})\right]\frac{\partial u}{\partial x}\)
avec:
\(Q=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0\end{array}\right]\)
et le vecteur du gradient des déplacements:
\(\frac{\partial u}{\partial x}=(\begin{array}{c}{u}_{,x}\\ {u}_{,y}\\ {u}_{,z}\\ {v}_{,x}\\ {v}_{,y}\\ {v}_{,z}\\ {w}_{,x}\\ {w}_{,y}\\ {w}_{,z}\end{array})\)
et le tenseur \(A\) dépendant du gradient des déplacements:
\(A(\frac{\partial u}{\partial x})=\left[\begin{array}{ccccccccc}{u}_{,x}& 0& 0& {v}_{,x}& 0& 0& {w}_{,x}& 0& 0\\ 0& {u}_{,y}& 0& 0& {v}_{,y}& 0& 0& {w}_{,y}& 0\\ 0& 0& {u}_{,z}& 0& 0& {v}_{,z}& 0& 0& {w}_{,z}\\ {u}_{,y}& {u}_{,x}& 0& {v}_{,y}& {v}_{,x}& 0& {w}_{,y}& {w}_{,x}& 0\\ {u}_{,z}& 0& {u}_{,x}& {v}_{,z}& 0& {v}_{,x}& {w}_{,z}& 0& {w}_{,x}\\ 0& {u}_{,z}& {u}_{,y}& 0& {v}_{,z}& {v}_{,y}& 0& {w}_{,z}& {w}_{,y}\end{array}\right]\)
La variation virtuelle, notée \(\delta\) , des déformations de Green-Lagrange est obtenue par un calcul différentiel:
\(\delta E=\left[Q+A(\frac{\partial u}{\partial x})\right]\frac{\partial \delta u}{\partial x}\)
Dans cette expression et dans celle qui suit, nous avons tenu compte de la propriété suivante (voir [bib4] p 141):
\(\frac{1}{2}A(\frac{\partial \delta u}{\partial x})\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2}A(\frac{\partial u}{\partial x})\frac{\partial \delta u}{\partial x}\)
La variation itérative \(\Delta\) est elle aussi obtenue par un calcul différentiel:
\(\Delta E=\left[Q+A(\frac{\partial u}{\partial x})\right]\frac{\partial \Delta u}{\partial x}\)
La variation itérative de la déformation virtuelle de Green-Lagrange se met ainsi sous la forme:
\(\underset{\text{terme classique}}{\Delta \delta E=A(\frac{\partial \Delta u}{\partial x})\frac{\partial \delta u}{\partial x}}+\underset{\text{terme non classique}}{\left[Q+A(\frac{\partial u}{\partial x})\right]\frac{\partial \Delta \delta u}{\partial x}}\)
Alors que le premier terme de cette expression est classique pour les milieux continus 3D, le deuxième, qui traduit la prise en compte des grandes rotations, l’est moins.
3.1.4. Calcul des contraintes de Cauchy#
3.1.4.1. Cas général#
Le tenseur \(3\times 3\) des contraintes globales de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce est relié au tenseur \(3\times 3\) des contraintes globales de Cauchy par la relation:
\(\left[S\right]=\det(F){F}^{-1}\left[\sigma \right]{F}^{-T}\)
Ainsi, connaissant l’état des contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce, on peut calculer l’état des contraintes de Cauchy par la relation:
\(\left[\sigma \right]=\frac{1}{\det(F)}F\left[S\right]{F}^{T}\)
Il est à noter que l’état de contraintes de Cauchy n’est pas plan, en général, contrairement à l’état de contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce. Par ailleurs, le choix d’un repère local dans lequel représenter ce tenseur n’est pas du tout évident. On montrera cependant, au paragraphe suivant, que dans le cadre des petites déformations, il existe un repère local, facilement identifiable, dans lequel l’état de contraintes de Cauchy est lui-aussi plan.
Dans le cas de lois tout à fait générales, une attention particulière devra porter sur les schémas d’intégration numérique permettant de calculer les valeurs de substitution du gradient \(F\) aux points d’intégration numérique normale.
3.1.4.2. Approximation en petites déformations#
On rappelle [bib4] que le gradient \(F\) peut être écrit grâce à la décomposition polaire sous deux formes:
\(F=\text{RU}=\text{VR}\)
où \(R={R}^{-T}\) est un tenseur orthogonal, et où \(U\) et \(V\) sont des matrices d’élongation symétriques définies positives.
Dans le domaine non linéaire géométrique, nous pouvons introduire une simplification importante dans la décomposition polaire du gradient des déformations si les déformations restent petites. Cette simplification n’est pas introduite dans le calcul non linéaire mais en post-traitement des contraintes.
L’élongation au point \(Q\) étant mineure devant la grande rotation de la section:
\(U\approx V\approx I\)
On peut alors écrire:
\(F\approx R=\Lambda\)
où \(\Lambda\) est le tenseur de grande rotation qui transforme la normale \(n\) en \({n}^{\varphi}\) :
\(\Lambda n={n}^{\varphi}\)
La simplification traduit le fait que sur une section, la transformation est réduite à une grande rotation. Avec cette approximation du gradient des déformations, on peut écrire:
\(F\approx R=\Lambda\)
et donc, en exploitant l’orthogonalité de \(\Lambda\) on obtient:
\({F}^{-1}\approx {\Lambda}^{T}\)
et:
\(\det(F)\approx 1\) .
Ces simplifications conduisent à la relation finale:
\(\left[\sigma \right]\approx \Lambda \left[S\right]{\Lambda}^{T}\)
Cette relation traduit le fait que les contraintes de Cauchy sont tout simplement obtenues par la grande rotation des contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce.
On peut maintenant réécrire la propriété de contraintes planes du tenseur de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce \(n.\left[S\right]n=0\) sous la nouvelle forme:
\(n.{\Lambda}^{T}\left[s\right]\Lambda n=0\)
qui conduit par ailleurs à la propriété:
\({n}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{n}^{\varphi}=0\)
Soit encore:
\({\tilde{\sigma}}_{{n}^{\varphi}{n}^{\varphi}}=0\)
Les contraintes de Cauchy \(\left[\sigma ({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})\right]\) sont aussi planes dans le repère local \(\left[{t}_{{1}_{}}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3}):{t}_{{2}_{}}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3}):{n}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\right]\) obtenu par grande rotation du repère local sur la configuration initiale:
\(\left[{t}_{{1}_{}}^{\varphi}:{t}_{{2}_{}}^{\varphi}:{n}^{\varphi}\right]=\Lambda \left[{t}_{{1}_{}}:{t}_{{2}_{}}:n\right]\)
Dans ce repère, nous pouvons écrire toutes les composantes du tenseur \([s]\) comme suit:
\(\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{t}_{1}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{t}_{2}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{n}^{\varphi}}\\ {\tilde{\sigma}}_{{t}_{2}^{\varphi}{t}_{1}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{2}^{\varphi}{t}_{1}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{2}^{\varphi}{n}^{\varphi}}\\ {\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{n}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{n}^{\varphi}}& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{t}_{1}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{1}^{\varphi}& {t}_{1}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{2}^{\varphi}& {t}_{1}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{n}^{\varphi}\\ {t}_{2}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{1}^{\varphi}& {t}_{2}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{2}^{\varphi}& {t}_{2}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{n}^{\varphi}\\ {n}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{1}^{\varphi}& {n}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{2}^{\varphi}& {n}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{n}^{\varphi}\end{array}\right]\)
En reprenant la relation \(\left[\sigma \right]\approx \Lambda \left[S\right]{\Lambda}^{T}\) , on obtient:
\(\left[\begin{array}{ccc}{t}_{1}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{1}^{\varphi}& {t}_{1}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{2}^{\varphi}& {t}_{1}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{n}^{\varphi}\\ {t}_{2}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{1}^{\varphi}& {t}_{2}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{2}^{\varphi}& {t}_{2}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{n}^{\varphi}\\ {n}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{1}^{\varphi}& {n}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{t}_{2}^{\varphi}& {n}^{\varphi}.\left[\sigma \right]{n}^{\varphi}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{t}_{1}.\left[S\right]{t}_{1}& {t}_{1}.\left[S\right]{t}_{2}& {t}_{1}.\left[S\right]n\\ {t}_{2}.\left[S\right]{t}_{1}& {t}_{2}.\left[S\right]{t}_{2}& {t}_{2}.\left[S\right]n\\ n.\left[S\right]{t}_{1}& n.\left[S\right]{t}_{2}& n.\left[S\right]n\end{array}\right]\)
d’où le résultat final:
\(\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{t}_{1}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{t}_{2}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{n}^{\varphi}}\\ {\tilde{\sigma}}_{{t}_{2}^{\varphi}{t}_{1}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{2}^{\varphi}{t}_{1}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{2}^{\varphi}{n}^{\varphi}}\\ {\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{n}^{\varphi}}& {\tilde{\sigma}}_{{t}_{1}^{\varphi}{n}^{\varphi}}& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{S}}_{{t}_{1}{t}_{1}}& {\tilde{S}}_{{t}_{1}{t}_{2}}& {\tilde{S}}_{{t}_{1}n}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{2}{t}_{2}}& {\tilde{S}}_{{t}_{2}{t}_{2}}& {\tilde{S}}_{{t}_{2}n}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{1}n}& {\tilde{S}}_{{t}_{2}n}& 0\end{array}\right]\)
Pour autant que la déformation reste petite, les composantes du tenseur des contraintes de Cauchy dans le repère local attaché à la configuration déformée sont identiques aux composantes du tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce dans le repère local attaché à la configuration initiale.
Nous prenons le parti dans la suite, de ne considérer que les contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce. Nous devons noter que dans le cadre d’une loi constitutive plus générale, on pourra passer d’une mesure de contrainte à une autre comme indiqué au paragraphe précédent.