2. Formulation

Dans ce chapitre, nous présentons les différentes équations gouvernant le problème de déformation de la coque dans le cadre d’une théorie de grandes transformations.

2.1. Géométrie des éléments de coque volumique

La coque volumique est représentée par le volume \(\Omega\) (ensemble des points \(Q({\xi}_{3}\mathrm{\ne }0)\) ) construit autour de la surface moyenne \(\omega\) (ensemble des points \(P({\xi}_{3}=0)\) ). En tout point \(Q\) de \(\Omega\) , on construit un repère orthonormé local \(\left[{t}_{1}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3}):{t}_{2}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3}):n({\xi}_{1},{\xi}_{2})\right]\) . Le vecteur \(n({\xi}_{1},{\xi}_{2})\) représente la normale à la surface \(\omega\) .

Figure 2.1-a: Coque volumique. Repères locaux sur la configuration de référence

Dans la configuration initiale, la position d’un point quelconque \(Q\) normal à la surface moyenne peut être exprimée, en fonction de la position du centre gravité \(P\) de la fibre normale, de la manière suivante:

\({x}_{Q}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})={\xi}_{P}({\xi}_{1},{\xi}_{2})+{\xi}_{3}\frac{h}{2}n({\xi}_{1},{\xi}_{2})\)

2.2. Cinématique des coques volumiques

Figure 2.2-a: Coque volumique.Grandes transformations d’une fibre initialement normale à la surface moyenne

Dans la configuration déformée, la position du point \(Q\) peut aussi être exprimée en fonction de la position du point \(P\) :

\({x}_{Q}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})={x}_{P}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})+{\xi}_{3}\frac{h}{2}{n}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})\)

où \({n}^{\varphi}\) est le vecteur unitaire obtenu par grande rotation de la normale \(n\) .

Le vecteur \({n}^{\varphi}\) n’est pas nécessairement normal à la surface moyenne déformée, du fait de la déformation de cisaillement transverse. Il est relié au vecteur normal initial par la relation:

\({n}^{\varphi}=\Lambda ({\xi}_{1},{\xi}_{2})n\)

\(\Lambda\) est l’opérateur orthogonal de la grande rotation autour du vecteur \(\Theta\) , d’angle \(\theta\) , subie par la fibre qui était initialement normale à la surface moyenne dont l’expression est donnée par:

\(\Lambda =\exp[\Theta \times ]=\cos\theta [I]+\frac{\sin\theta }{\theta}[\Theta \times ]+\frac{1-\cos\theta }{{\theta}^{2}}[\Theta \otimes \Theta ]\)

où \([\Theta \times ]\) est l’opérateur antisymétrique du vecteur de rotation totale \(\Theta\) dont l’expression matricielle est:

\([\Theta \times ]=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\Theta}_{z}& {\Theta}_{y}\\ {\Theta}_{z}& 0& -{\Theta}_{x}\\ -{\Theta}_{y}& {\Theta}_{x}& 0\end{array}\right]\)

et \([\Theta \otimes \Theta ]\) est l’opérateur symétrique donné par \([\Theta \otimes \Theta ]=\Theta {\Theta}^{T}\) .

Plus de détails sur les grandes rotations et leur traitement numérique peuvent être trouvés dans [bib1] ou [R5.03.40]. On peut aussi écrire:

\(\begin{array}{c}{t}_{1}^{\varphi}=\Lambda ({\xi}_{1},{\xi}_{2}){t}_{1}\\ \\ {t}_{2}^{\varphi}=\Lambda ({\xi}_{1},{\xi}_{2}){t}_{2}\end{array}\)

On peut exprimer la variation virtuelle de l’opérateur de grande rotation sous la forme:

\(\delta \Lambda =\left[\delta w\times \right]\Lambda\)

où \([\delta w\times ]\) est l’opérateur antisymétrique du vecteur de rotation virtuelle spatiale \(\delta w\) qui est aussi la partie rotation des fonctions tests:

\(\left[\delta \mathrm{w}\times \right]\mathrm{b}=\delta \mathrm{w}\mathrm{\wedge }\mathrm{b}\forall b\in {\mathrm{ℝ}}^{3}\)

Son expression matricielle est:

\(\left[\delta w\times \right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -\delta {w}_{z}& \delta {w}_{y}\\ \delta {w}_{z}& 0& -\delta {w}_{x}\\ -\delta {w}_{y}& \delta {w}_{x}& 0\end{array}\right]\)

On peut aussi exprimer la variation itérative de l’opérateur de grande rotation sous la forme:

\(\Delta \Lambda =\left[\Delta w\times \right]\Lambda\)

où \(\Delta w\) est le vecteur de rotation itérative spatiale, qui est aussi la partie rotation de la solution du système d’équations linéarisées.

Ce vecteur peut être relié au vecteur de rotation itérative totale. On a ainsi les relations:

\(\Delta w=T(\Theta )\Delta \Theta\) et \(\delta w=T(\Theta )\delta \Theta\)

où \(T(\Theta )\) est l’opérateur différentiel de rotation, dont l’expression en fonction du vecteur de rotation totale est donnée par:

\(T(\Theta )=\frac{\sin\theta }{\theta}[I]-\frac{1-\cos\theta }{{\theta}^{2}}[\Theta \times ]+\frac{\theta -\sin\theta }{{\theta}^{3}}[\Theta \otimes \Theta ]\)

Cette matrice possède les mêmes valeurs et vecteurs propres que la matrice \(\Lambda\) et vérifie la relation:

\(T(\Theta )=\Lambda (\Theta ){T}^{T}(\Theta )\)

Par ailleurs, la variation itérative de la matrice de rotation virtuelle peut être mise sous la forme:

\(\Delta \delta \Lambda =\left[\delta w\times \right]\left[\Delta w\times \right]\Lambda\)

Le déplacement total du point \(Q\) sur la fibre peut être relié au déplacement du centre de gravité \(P\) :

\({u}_{Q}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})={u}_{P}({\xi}_{1},{\xi}_{2})+{\xi}_{3}\frac{h}{2}({n}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2})-n({\xi}_{1},{\xi}_{2}))\)

Afin d’aboutir à un système d’équations linéarisées, obtenu à partir de la forme faible de l’équilibre, nous avons besoin de calculer différentes variations différentielles de ce déplacement total. Le déplacement virtuel a pour expression:

\(\delta {u}_{Q}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})=\delta {u}_{P}({\xi}_{1},{\xi}_{2})+{\xi}_{3}\frac{h}{2}\delta w({\xi}_{1},{\xi}_{2})\mathrm{\wedge }{n}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2});\delta n=0\)

Le déplacement itératif a pour expression:

\(\Delta {u}_{Q}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{x}_{3})=\Delta {u}_{P}({\xi}_{1},{\xi}_{2})+{x}_{3}\frac{h}{2}\Delta w({\xi}_{1},{\xi}_{2})\mathrm{\wedge }{n}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2});\Delta n=0\)

La variation itérative du déplacement virtuel a pour expression:

\(\Delta \delta {u}_{Q}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})={\xi}_{3}\frac{h}{2}\delta w({\xi}_{1},{\xi}_{2})\mathrm{\wedge }(\Delta w({\xi}_{1},{\xi}_{2})\mathrm{\wedge }{n}^{\varphi}({\xi}_{1},{\xi}_{2}))\)

Remarque: La formulation proposée reste limitée à des rotations inférieures à \(2\pi\) . Cette limite est due au choix particulier de mise à jour des grandes rotations implantées dans Code_Aster . Ceci est dû à la non bijection entre le vecteur de rotation totale et la matrice orthogonale de rotation.

2.3. Loi de comportement

Nous considérons une loi de comportement hyper-élastique linéaire: les contraintes locales de Piola‑Kirchhoff de deuxième espèce sont proportionnelles aux déformations locales de Green‑Lagrange:

\(\tilde{S}=D\tilde{E}\)

Ci-après, le symbole \(\stackrel{}{˜}\) désigne les quantités exprimées dans le repère orthonormé \(\left[{t}_{1}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3}):{t}_{2}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3}):n({\xi}_{1},{\xi}_{2})\right]\) .

La matrice de comportement élastique linéaire en contraintes planes s’écrit comme suit :

\(D=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{E}{1-{\nu}^{2}}& \frac{\nu E}{1-{\nu}^{2}}& 0& 0& 0\\ & \frac{E}{1-{\nu}^{2}}& 0& 0& 0\\ & & \frac{E}{2(1+\nu )}& 0& 0\\ & \text{sym}& & \frac{\text{Ek}}{2(1+\nu )}& 0\\ & & & & \frac{\text{Ek}}{2(1+\nu )}\end{array}\right]\)

\(E\) étant le module d’Young, \(\nu\) le coefficient de Poisson et \(k\) le coefficient de correction de cisaillement transverse.

Dans le repère local, l’état de contrainte Piola-Kirchhoff de deuxième espèce est plan \(({\tilde{S}}_{\text{nn}}=0)\) et peut être caractérisé par un vecteur à 5 composantes:

\(\tilde{S}=(\begin{array}{c}{\tilde{S}}_{{t}_{1}{t}_{1}}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{2}{t}_{2}}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{1}{t}_{2}}\\ \\ {\tilde{S}}_{{t}_{1}n}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{2}n}\end{array})\)

Le vecteur des déformations de Green-Lagrange s’exprime lui aussi dans le repère local par un vecteur à 5 composantes:

\(\tilde{E}=(\begin{array}{c}{\tilde{E}}_{{t}_{1}{t}_{1}}\\ {\tilde{E}}_{{t}_{2}{t}_{2}}\\ {\tilde{\gamma}}_{{t}_{1}{t}_{2}}\\ \\ {\tilde{\gamma}}_{{t}_{1}n}\\ {\tilde{\gamma}}_{{t}_{2}n}\end{array})\)

Ici, nous avons ignoré le terme \({\tilde{E}}_{\text{nn}}\) qui est normal à la surface moyenne et qui n’est pas forcément nul. Ceci est une conséquence de l’hypothèse des contraintes planes.

2.3.1. Prise en compte du cisaillement transverse

La correction de la contrainte de cisaillement transverse est effectuée par extension des équivalences énergétiques déterminées dans le cas des petites déformations et des petits déplacements [R3.07.03].