8. Conclusion

La formulation que nous venons de décrire s’applique aux calculs de structures minces courbes en grands déplacements, dont le rapport épaisseur sur longueur caractéristique est inférieur à \(1/10\) . Elle vient en complément direct des éléments finis décrits dans la précédente documentation de référence [R3.07.04] et utilisés dans le cadre des petits déplacements et déformations. Ils s’appuient sur les mêmes mailles quadrangle et triangle.

Leur formulation repose sur une approche de milieu continu 3D dans laquelle on introduit une cinématique de coque de type Hencky-Mindlin-Naghdi, en contraintes planes, dans la formulation faible de l’équilibre. La mesure des déformations retenue est celle de Green-Lagrange, énergétiquement conjuguée aux contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce. La formulation de l’équilibre est donc lagrangienne totale. La distorsion transverse est traitée de la même manière qu’en [R3.07.04]. Les rotations doivent rester inférieures à \(2\pi\) du fait du choix de mise à jour des grandes rotations implanté dans Code_Aster pour lequel il y a non bijection entre le vecteur de rotation totale et la matrice orthogonale de rotation.

Du fait de la singularité de la matrice tangente de rigidité par rapport à la composante de la rotation autour de la transformée de la normale, on définit une énergie de déformation fictive associée à cette rotation. A cette rotation, on associe une rigidité de torsion constante. Les efforts intérieurs associés à cette énergie potentielle sont pris en compte. Cette énergie potentielle, non nulle, ne correspond pas à une déformation physique. Il faut donc qu’elle reste négligeable, ce que l’utilisateur peut contrôler en imposant une valeur du COEF_RIGI_DRZ valant de \({10}^{-3}\) à \({10}^{-5}\) .

Pour le post-traitement des contraintes, on se limite au cadre des petites déformations. On a alors pu établir l’identité entre le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff observé dans la géométrie initiale et le tenseur des contraintes de Cauchy dans la géométrie déformée. En outre, l’état des contraintes étant plan pour le tenseur de Piola-Kirchhoff, on retrouve cette propriété pour l’état de contraintes de Cauchy. Il est à noter que dans des contextes plus généraux, cette propriété n’est pas conservée.

Le flambement linéaire est traité comme un cas particulier du problème non linéaire géométrique. Il repose sur l’hypothèse d’une dépendance linéaire des champs de déplacements, de déformations et de contraintes par rapport au niveau de charge, avant la charge critique. Il en résulte que l’on peut développer la matrice tangente de rigidité linéairement par rapport au niveau de charge. On retrouve alors la partie géométrique des matrices du non linéaire géométrique général obtenue en identifiant la déformée de la normale à la surface moyenne et la normale initiale, ce qui est cohérent avec la linéarité des déformations en fonction du niveau de charge.