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Version Aster

Auteur(s) Organisme(s)

Description des modifications

5

P.Massin, M. AL MIKDAD EDF-R&D/MMN

Texte initial

7.4

X.Desroches

Mise à jour : modifications mineures

: Organigramme du calcul en flambement linéaire

Repères locaux aux \(\mathit{NB2}\) nœuds \({\left[{t}_{1}:{t}_{2}:n\right]}_{I}\)

Boucle sur les points d’intégration numérique normale de Gauss

  • récupération du vecteur des contraintes locales \(\tilde{S}=(\begin{array}{c}{\tilde{S}}_{{t}_{1}{t}_{1}}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{2}{t}_{2}}\\ {\tilde{\tau}}_{{t}_{1}{t}_{2}}\\ \\ {\tilde{\tau}}_{{t}_{1}n}\\ {\tilde{\tau}}_{{t}_{2}n}\end{array})=(\begin{array}{c}{\tilde{S}}_{{t}_{1}{t}_{1}}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{2}{t}_{2}}\\ \sqrt{2}{\tilde{S}}_{{t}_{1}{t}_{2}}\\ \\ \sqrt{2}{\tilde{S}}_{{t}_{1}n}\\ \sqrt{2}{\tilde{S}}_{{t}_{2}n}\end{array})\)

à partir des 6 composantes tenseurs stockées dans le mode PCONTRR \((\begin{array}{c}{\tilde{S}}_{{t}_{1}{t}_{1}}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{2}{t}_{2}}\\ 0\\ {\tilde{S}}_{{t}_{1}{t}_{2}}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{1}n}\\ {\tilde{S}}_{{t}_{2}n}\end{array})\)

  • formation du tenseur symétrique \(3\times 3\) des contraintes locales \([\tilde{S}]\)

  • construction de la matrice de transformation \(\mathrm{P}({\xi}_{1,}{\xi}_{2,}{\xi}_{3})=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{t}}_{1}^{\mathrm{T}}({\xi}_{1,}{\xi}_{2,}{\xi}_{3})\\ {\mathrm{t}}_{2}^{\mathrm{T}}({\xi}_{1,}{\xi}_{2,}{\xi}_{3})\\ {\mathrm{t}}_{3}^{\mathrm{T}}({\xi}_{1,}{\xi}_{2,}{\xi}_{3})\end{array}\right]\) où \({\mathrm{t}}_{3}({\xi}_{1,}{\xi}_{2,}{\xi}_{3})={n}_{1}({\xi}_{2})\)

  • calcul du tenseur symétrique \(3\times 3\) des contraintes globales \([S]={P}^{T}[\tilde{S}]P\)

  • pour le terme non classique, calcul de \(\text{HQ}=\left[\frac{[\stackrel{3\times 9}{\text{HSFM}}]}{[\stackrel{2\times 9}{\text{HSS}}]}\right]\)

\(\begin{array}{c}\text{HQ}=\\ \left[\begin{array}{cccccc}{({t}_{1}(1))}^{2}& {({t}_{1}(2))}^{2}& {({t}_{1}(3))}^{2}& {t}_{1}(1){t}_{1}(2)& {t}_{1}(2){t}_{1}(3)& {t}_{1}(3){t}_{1}(1)\\ {({t}_{2}(1))}^{2}& {({t}_{2}(2))}^{2}& {({t}_{2}(3))}^{2}& {t}_{2}(1){t}_{2}(2)& {t}_{2}(2){t}_{2}(3)& {t}_{2}(3){t}_{2}(1)\\ {({t}_{3}(1))}^{2}& {({t}_{3}(2))}^{2}& {({t}_{3}(3))}^{2}& {t}_{3}(1){t}_{3}(2)& {t}_{3}(2){t}_{3}(3)& {t}_{3}(3){t}_{3}(1)\\ {\mathrm{2t}}_{2}(1){t}_{3}(1)& {\mathrm{2t}}_{2}(2){t}_{3}(2)& {\mathrm{2t}}_{2}(3){t}_{3}(3)& {t}_{2}(1){t}_{3}(2)+{t}_{3}(1){t}_{2}(2)& {t}_{2}(2){t}_{3}(3)+{t}_{3}(2){t}_{2}(3)& {t}_{2}(3){t}_{3}(1)+{t}_{3}(3){t}_{3}(1)\\ {\mathrm{2t}}_{3}(1){t}_{1}(1)& {\mathrm{2t}}_{3}(2){t}_{1}(2)& {\mathrm{2t}}_{3}(3){t}_{1}(3)& {t}_{3}(1){t}_{1}(2)+{t}_{1}(1){t}_{3}(2)& {t}_{3}(2){t}_{1}(3)+{t}_{1}(2){t}_{3}(3)& {t}_{3}(3){t}_{1}(1)+{t}_{1}(3){t}_{3}(1)\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0\end{array}\right]\end{array}\)

  • calcul de la matrice jacobienne inverse \({J}^{-1}\) et du déterminant \(\detJ\)

  • calcul de \({\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{3}\) avec:

\({\tilde{J}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{J}^{-1}& 0& 0\\ 0& {J}^{-1}& 0\\ 0& 0& {J}^{-1}\end{array}\right];{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{3}=\left[\mathrm{\cdots }\frac{h}{2}\left[\begin{array}{ccc}{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}& 0& 0\\ {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}& 0& 0\\ {N}_{I}^{(2)}& 0& 0\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}& 0\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}& 0\\ 0& {N}_{I}^{(2)}& 0\\ 0& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}\\ 0& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}\\ 0& 0& {N}_{I}^{(2)}\end{array}\right]\mathrm{\cdots }I=1,\text{NB2}\right]\)

  • calcul du troisième opérateur des déformations \({\tilde{B}}_{3}=\mathit{HQ}{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{3}\)

  • calcul et intégration numérique \({Z}_{I}={\int}_{{\Omega}_{\zeta}}{\tilde{B}}_{3}^{T}\tilde{S}\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}\)

  • calcul du tenseur généralisé des contraintes globales

\(\stackrel{9\times 9}{\stackrel{ˉ}{S}}=\left[\begin{array}{ccc}[\stackrel{3\times 3}{S}]& 0& 0\\ 0& \left[S\right]& 0\\ 0& 0& \left[S\right]\end{array}\right]\)

  • calcul de \({\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}\text{avec}\) :

\(\begin{array}{c}\mathrm{\cdots }\left[\left[\begin{array}{ccc}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}& 0& 0\\ {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& {N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}& 0\\ 0& {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}\\ 0& 0& {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\frac{h}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}\\ 0& {N}_{1}^{(2)}{n}_{z}& -{N}_{1}^{(2)}{n}_{y}\\ -{x}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}\\ -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}\\ -{N}_{1}^{(2)}{n}_{z}& 0& {N}_{1}^{(2)}{n}_{x}\\ {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}& 0\\ {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}& 0\\ {N}_{1}^{(2)}{n}_{y}& -{N}_{1}^{(2)}{n}_{x}& 0\end{array}\right]\right]\mathrm{\cdots }I=1,\text{NB}1\\ \mid \frac{h}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}\\ 0& {N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{z}& -{N}_{1}^{(2)}{n}_{y}\\ -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}& 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}\\ -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}& 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}\\ -{N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{z}& 0& {N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{x}\\ {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}& 0\\ {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}& 0\\ {N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{y}& -{N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{x}& 0\end{array}\right]\\ {\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}=\begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}[]\end{array}\)

  • calcul et intégration numérique de la matrice de rigidité géométrique classique

\({K}_{\sigma}^{{e}_{\text{classique}}}={\int}_{{\Omega}_{\zeta}}{\left[{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}\right]}^{T}\stackrel{ˉ}{S}\left[{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}\right]\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}\)

Fin boucle sur les points d’intégration

Boucle sur tous les nœuds de Lagrange avec distinction du super nœud

  • calcul de \(\left[{z}_{I}\times \right]\) sachant que \({Z}_{I}=\left\lbrace \begin{array}{c}.\\ .\\ .\\ {z}_{I}\\ .\\ .\\ .\\ I=1,\text{NB}2\end{array}\right\rbrace\)

  • calcul du vecteur normale \({n}_{I}\) et de sa matrice anti-symétrique \(\left[{n}_{I}\times \right]\)

  • calcul de la matrice de rigidité géométrique non classique

\({\stackrel{3\times 3}{{K}_{\sigma}^{e}}}_{\text{non classique}}(I,I)=\left[{z}_{I}\times \right]\left[{n}_{I}\times \right]I=1,\text{NB2}\)

  • rajout de \({\stackrel{3\times 3}{{K}_{\sigma}^{e}}}_{\text{non classique}}(I,I)\) avec distinction du super nœud

Fin boucle sur les nœuds

Stockage de la partie triangulaire supérieure de \({K}_{\sigma}^{e}\)

FIN

: Organigramme du calcul non linéaire géométrique

Repères locaux aux NB2 nœuds \({\left[{t}_{1}:{t}_{2}:n\right]}_{I}\)

Début Boucle JN sur les NB2 nœuds

IF JN :math:`` NB1

  • récupération du vecteur de déplacement total déjà mis à jour par MAJOUR:

\({u}_{I}(ii)=\text{ZR}(\text{IDEPLP}+\text{IDEPLM}-1+6\times (\text{JN}-1)+ii);ii=1,3;(\text{JN}=1,\text{NB}1)\)

  • récupération du vecteur de rotation totale déjà mis à jour par MAJOUR

\({\theta}_{I}(ii)=\text{ZR}(\text{IDEPLP}-1+6\times (\text{JN}-1)+ii+3);ii=1,3;(\text{JN}=1,\text{NB}1)\)

ELSE JN

  • récupération du vecteur de rotation totale

\({\theta}_{I}(ii)=\text{ZR}(\text{IDEPLP}-1+6\times \text{NB}1+ii);ii=1,3;(\text{JN}=\text{NB}2)\)

END IF JN

  • calcul de la matrice de rotation \({\Lambda}_{I}=\exp\left[{\theta}_{I}\times \right]\)

  • transformée de la normale \({n}_{I}^{\varphi}={\Lambda}_{I}{n}_{I}\)

Fin Boucle sur les \(\mathit{NB2}\) nœuds

calcul de \({p}^{e}=\left\lbrace \begin{array}{c}\mathrm{⋮}\\ {(\begin{array}{c}u\\ v\\ w\\ {n}_{x}^{\varphi}-{n}_{x}\\ {n}_{y}^{\varphi}-{n}_{y}\\ {n}_{z}^{\varphi}-{n}_{z}\end{array})}_{I}\\ \mathrm{⋮}\\ I=1,\text{NB}1\\ \mathrm{⋮}\\ {(\begin{array}{c}{n}_{x}^{\varphi}-{n}_{x}\\ {n}_{y}^{\varphi}-{n}_{y}\\ {n}_{z}^{\varphi}-{n}_{z}\end{array})}_{\text{NB}2}\end{array}\right\rbrace\)

Début Boucle INTSR sur les points d’intégration réduite normale de Gauss

  • construction d’une partie des opérateurs \({\tilde{B}}_{1},{\tilde{B}}_{2}\)

aux J = 1, INTSR points d’intégrations pour pouvoir les extrapoler

Fin Boucle INTSR sur les points d’intégration réduite normale de Gauss

Début Boucle INTSN sur les points d’intégration numérique normale de Gauss

  • construction de la matrice de transformation:

\(\mathrm{P}({\xi}_{1,}{\xi}_{2,}{\xi}_{3})=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{t}}_{1}^{\mathrm{T}}({\xi}_{1,}{\xi}_{2,}{\xi}_{3})\\ {\mathrm{t}}_{2}^{\mathrm{T}}({\xi}_{1,}{\xi}_{2,}{\xi}_{3})\\ {\mathrm{t}}_{3}^{\mathrm{T}}({\xi}_{1,}{\xi}_{2,}{\xi}_{3})\end{array}\right]\)

où \({t}_{3}({\xi}_{1},{\xi}_{2},{\xi}_{3})=n({\xi}_{1},{\xi}_{2})\)

  • calcul de la matrice jacobienne inverse \({J}^{-1}\) et du déterminant \(\detJ\)

  • calcul de \({\tilde{J}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{J}^{-1}& 0& 0\\ 0& {J}^{-1}& 0\\ 0& 0& {J}^{-1}\end{array}\right]\)

  • calcul de la deuxième matrice des dérivées des fonctions de forme \({\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{1}\)

\(\begin{array}{c}\mathrm{\cdots }\left[\left[\begin{array}{ccc}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}& 0& 0\\ {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& {N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}& 0\\ 0& {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}\\ 0& 0& {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\frac{h}{2}\left[\begin{array}{ccc}{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}& 0& 0\\ {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}& 0& 0\\ {N}_{I}^{(2)}& 0& 0\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}& 0\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}& 0\\ 0& {N}_{I}^{(2)}& 0\\ 0& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}\\ 0& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}\\ 0& 0& {N}_{I}^{(2)}\end{array}\right]\right]\mathrm{...}I=1,\text{NB}1\\ \mid \frac{h}{2}\left[\begin{array}{ccc}{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}& 0& 0\\ {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}& 0& 0\\ {N}_{\text{NB}2}^{(2)}& 0& 0\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}& 0\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}& 0\\ 0& {N}_{\text{NB}2}^{(2)}& 0\\ 0& 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}\\ 0& 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}\\ 0& 0& {N}_{\text{NB}2}^{(2)}\end{array}\right]\\ {\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{1}=\begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}[]\end{array}\)

  • calcul de \(\frac{\partial u}{\partial x}={\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{1}{p}^{e}\)

  • calcul de \(A(\frac{\partial u}{\partial x})=\left[\begin{array}{ccccccccc}{u}_{,x}& 0& 0& {v}_{,x}& 0& 0& {w}_{,x}& 0& 0\\ 0& {u}_{,y}& 0& 0& {v}_{,y}& 0& 0& {w}_{,y}& 0\\ 0& 0& {u}_{,z}& 0& 0& {v}_{,z}& 0& 0& {w}_{,z}\\ {u}_{,y}& {u}_{,x}& 0& {v}_{,y}& {v}_{,x}& 0& {w}_{,y}& {w}_{,x}& 0\\ {u}_{,z}& 0& {u}_{,x}& {v}_{,z}& 0& {v}_{,x}& {w}_{,z}& 0& {w}_{,x}\\ 0& {u}_{,z}& {u}_{,y}& 0& {v}_{,z}& {v}_{,y}& 0& {w}_{,z}& {w}_{,y}\end{array}\right]\)

  • calcul de \(H\left[Q+\frac{1}{2}A(\frac{\partial u}{\partial x})\right]\)

\(\begin{array}{c}H=\\ \left[\begin{array}{cccccc}{({t}_{1}(1))}^{2}& {({t}_{1}(2))}^{2}& {({t}_{1}(3))}^{2}& {t}_{1}(1){t}_{1}(2)& {t}_{1}(2){t}_{1}(3)& {t}_{1}(3){t}_{1}(1)\\ {({t}_{2}(1))}^{2}& {({t}_{2}(2))}^{2}& {({t}_{2}(3))}^{2}& {t}_{2}(1){t}_{2}(2)& {t}_{2}(2){t}_{2}(3)& {t}_{2}(3){t}_{2}(1)\\ {({t}_{3}(1))}^{2}& {({t}_{3}(2))}^{2}& {({t}_{3}(3))}^{2}& {t}_{3}(1){t}_{3}(2)& {t}_{3}(2){t}_{3}(3)& {t}_{3}(3){t}_{3}(1)\\ {\mathrm{2t}}_{2}(1){t}_{3}(1)& {\mathrm{2t}}_{2}(2){t}_{3}(2)& {\mathrm{2t}}_{2}(3){t}_{3}(3)& {t}_{2}(1){t}_{3}(2)+{t}_{3}(1){t}_{2}(2)& {t}_{2}(2){t}_{3}(3)+{t}_{3}(2){t}_{2}(3)& {t}_{2}(3){t}_{3}(1)+{t}_{3}(3){t}_{3}(1)\\ {\mathrm{2t}}_{3}(1){t}_{1}(1)& {\mathrm{2t}}_{3}(2){t}_{1}(2)& {\mathrm{2t}}_{3}(3){t}_{1}(3)& {t}_{3}(1){t}_{1}(2)+{t}_{1}(1){t}_{3}(2)& {t}_{3}(2){t}_{1}(3)+{t}_{1}(2){t}_{3}(3)& {t}_{3}(3){t}_{1}(1)+{t}_{1}(3){t}_{3}(1)\end{array}\right]\end{array}\)

  • calcul du premier opérateur des déformations

\({\tilde{B}}_{1}=H\left[Q+\frac{1}{2}A(\frac{\partial u}{\partial x})\right]{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{1}\)

  • calcul du vecteur des déformations locales \(\tilde{E}={\tilde{B}}_{1}{p}^{e}\)

  • calcul de la deuxième matrice des dérivées des fonctions de forme \({\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}\)

\(\begin{array}{c}\mathrm{\cdots }\left[\left[\begin{array}{ccc}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}& 0& 0\\ {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& {N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}& 0\\ 0& {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}\\ 0& 0& {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\frac{h}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}\\ 0& {N}_{1}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& -{N}_{1}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}\\ -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}\\ -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}\\ -{N}_{1}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& 0& {N}_{1}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}\\ {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}& 0\\ {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}& 0\\ {N}_{1}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}& -{N}_{1}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}& 0\end{array}\right]\right]\mathit{LI}=1,\text{NB}1\\ \mid \frac{h}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}\\ 0& {N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& -{N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}\\ -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}\\ -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}\\ -{N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{z}^{\varphi}& 0& {N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}\\ {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}& 0\\ {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}& 0\\ {N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{y}^{\varphi}& -{N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{x}^{\varphi}& 0\end{array}\right]\\ {\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}=\begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}[]\end{array}\)

  • calcul du deuxième opérateur des déformations

\({\tilde{B}}_{2}=H(Q+A(\frac{\partial u}{\partial x})){\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}\)

  • calcul et intégration numérique \({r}^{e}={\int}_{{\Omega}_{\zeta}}{\tilde{B}}_{2}^{T}\tilde{S}\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}\)

  • calcul de la matrice de comportement \(D\)

  • calcul et intégration numérique \({K}_{m}^{e}={\int}_{{\Omega}_{\zeta}}{\tilde{B}}_{2}^{T}D{\tilde{B}}_{2}\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}\)

  • construction du tenseur symétrique \(3\times 3\) des contraintes locales \([\tilde{S}]\)

  • calcul du tenseur symétrique \(3\times 3\) des contraintes globales \([S]={P}^{T}[\tilde{S}]P\)

  • calcul de \({\tilde{B}}_{3}^{T}=H\left[S\right]{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{3}\)

calcul et intégration numérique \({Z}_{I}={\int}_{{\Omega}_{z}}{\tilde{B}}_{3}^{T}\tilde{S}\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}\)

  • calcul du tenseur généralisé des contraintes globales \(\stackrel{9\times 9}{\stackrel{ˉ}{S}}=\left[\begin{array}{ccc}[\stackrel{3\times 3}{S}]& 0& 0\\ 0& \left[S\right]& 0\\ 0& 0& \left[S\right]\end{array}\right]\)

  • calcul et intégration numérique de la rigidité classique

\({K}_{g}^{{e}_{\text{classique}}}={\int}_{{\Omega}_{z}}{\left[{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}\right]}^{T}\stackrel{ˉ}{S}\left[{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}\right]\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}\)

Fin boucle INTSN sur les points d’intégration

Début Boucle JN sur les \(\mathit{NB2}\) nœuds

  • calcul de \(\left[{z}_{I}\times \right]\) sachant que \({Z}_{I}=(\begin{array}{c}.\\ .\\ .\\ {z}_{I}\\ .\\ .\\ .\\ I=1,\text{NB}2\end{array})\)

  • calcul de \(\left[{n}_{I}\times \right]\)

  • calcul de la matrice non symétrique \({\stackrel{3\times 3}{{K}_{g}^{e}}}_{\text{non classique}}(I,I)=\left[{z}_{I}\times \right]\left[{n}_{I}\times \right]\)

IF JN :math:`le ` NB1

  • rajout de \({\stackrel{3\times 3}{{K}_{g}^{e}}}_{\text{non classique}}(I,I)\) avec distinction de l’extra-nœud

ELSE JN

  • affectation de \({\stackrel{3\times 3}{{K}_{g}^{e}}}_{\text{non classique}}(I,I)\) avec distinction de l’extra-nœud

END IF JN

Stockage de toute la matrice non symétrique \({K}^{{e}_{T}}\)