6. Flambement linéaire

Le flambement linéaire se présente comme un cas particulier du problème non linéaire géométrique. Il est basé sur l’hypothèse d’une dépendance linéaire des champs de déplacements, de déformations et de contraintes par rapport au niveau de charge, et ce, avant que la charge critique ne soit atteinte.

Dans une formulation lagrangienne totale, on rappelle que l’équilibre linéarisé peut s’écrire sous la forme variationnelle:

\(\Delta \delta {\pi}_{int}-\Delta \delta {\pi}_{\text{ext}}=\delta {\pi}_{\text{ext}}-\delta {\pi}_{int}\)

soit sous forme matricielle après discrétisation:

\(\delta u\cdot {K}_{T}\Delta u=\delta u\cdot (\lambda f-r)\)

où la dépendance de la matrice tangente de rigidité \({K}_{T}\) est non linéaire par rapport au vecteur de déplacement nodal généralisé \(p=\underset{\text{e=}1\text{,Nel}}{U}{p}^{e}\) .

Si nous supposons la dépendance linéaire du déplacement par rapport au niveau de charge, on peut écrire:

\(u=\lambda {u}_{0}\)

où \({u}_{0}\) est la solution obtenue suite à une analyse linéaire pour \(\lambda =1\) par:

\({K}_{0}{u}_{0}=f\)

où \({K}_{0}\) est la matrice tangente de rigidité initiale. On peut alors développer la matrice tangente de rigidité d’une manière linéaire par rapport au niveau de charge:

\(\underset{e=1,\text{Nel}}{U}{K}_{T}^{e}={K}_{0}^{e}+\lambda ({K}_{u}^{e}+{K}_{\sigma}^{e})+....\)

où \({K}_{u}^{e}\) est la matrice des déplacements initiaux dépendant de \({p}_{0}^{e}\) , traditionnellement négligée dans Code_Aster, et \({K}_{\sigma}^{e}\) la matrice des contraintes initiales dépendant du tenseur global des contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce \(\left[{S}_{0}\right]\) et du vecteur local \({\tilde{S}}_{0}\) . Ces contraintes sont volontairement confondues avec les contraintes de Cauchy. Elles sont obtenues par un post-traitement de l’analyse linéaire.

Pour la partie rotation de \({p}^{e}\) , l’hypothèse de linéarité des déformations en fonction du niveau de charge se traduit par l’égalité de:

\({n}_{I}^{\varphi}={n}_{I}\)

qui nous conduit à confondre les normales initiales \({n}_{I}\) avec leurs transformées \({n}_{I}^{\varphi}\) .

La matrice des contraintes initiales \({K}_{\sigma}^{e}\) représente la partie constante en \(\lambda\) de la partie géométrique de la matrice tangente de rigidité. Elle est évaluée au point \({p}_{0}^{e}\) et \(\lambda =1\) avec une transformée de la normale remplacée par la normale initiale:

\({K}_{\sigma}^{e}={K}_{\sigma}^{{e}_{\text{classique}}}+{K}_{\sigma}^{{e}_{\text{non classique}}}\)

avec la partie classique de la partie géométrique (voir [bib4] tome 1 p. 141):

\({K}_{\sigma}^{{e}_{\text{classique}}}={\int}_{{\Omega}_{\zeta}}{\left[{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \sigma }\right]}_{2}\right]}^{T}\stackrel{ˉ}{S}\left[{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}\right]\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}\)

où la deuxième matrice des dérivées des fonctions de forme devient:

\(\begin{array}{c}\mathrm{\cdots }\left[\left[\begin{array}{ccc}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}& 0& 0\\ {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& {N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}& 0\\ 0& {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {N}_{I,{\xi}_{1}}^{(1)}\\ 0& 0& {N}_{I,{\xi}_{2}}^{(1)}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\frac{h}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}\\ 0& {N}_{I}^{(2)}{n}_{z}& -{N}_{I}^{(2)}{n}_{y}\\ -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}\\ -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}& 0& {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}\\ -{N}_{I}^{(2)}{n}_{z}& 0& {N}_{I}^{(2)}{n}_{x}\\ {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}& 0\\ {\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}& -{\xi}_{3}{N}_{I,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}& 0\\ {N}_{I}^{(2)}{n}_{y}& -{N}_{I}^{(2)}{n}_{x}& 0\end{array}\right]\right]\mathrm{\cdots }I=1,\text{NB}1\\ \mid \frac{h}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}\\ 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}\\ 0& {N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{z}& -{N}_{1}^{(2)}{n}_{y}\\ -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{z}& 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}\\ -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{z}& 0& {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}\\ -{N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{z}& 0& {N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{x}\\ {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{y}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{1}}^{(2)}{n}_{x}& 0\\ {\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{y}& -{\xi}_{3}{N}_{\text{NB}2,{\xi}_{2}}^{(2)}{n}_{x}& 0\\ {N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{y}& -{N}_{\text{NB}2}^{(2)}{n}_{x}& 0\end{array}\right]\\ {\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{2}=\begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}[]\end{array}\)

et le tenseur généralisé des contraintes globales:

\(\stackrel{9\times 9}{\stackrel{ˉ}{S}}=\left[\begin{array}{ccc}[\stackrel{3\times 3}{S}]& 0& 0\\ 0& \left[S\right]& 0\\ 0& 0& \left[S\right]\end{array}\right]\)

La partie non classique de la partie géométrique représente les termes découplés de rotation, non symétriques. Puisque l’algorithme actuel de résolution du problème aux valeurs propres [R5.06.01] \(\left[{K}_{0}+\lambda ({K}_{u}+{K}_{\sigma})\right]F=0\) (\(\lambda\) étant le niveau de charge critique) ne considère que des matrices symétriques, on rend symétrique, en divisant par deux la somme avec sa transposée, la matrice:

\({K}_{\sigma}^{{e}_{\text{non classique}}}(I,I)=\frac{1}{2}(\left[{z}_{I}\times \right]\left[{n}_{I}\times \right])\)

où \({n}_{I}\) est la normale au nœud \(I\) et \({z}_{I}\) un vecteur \(3\times 3\) au nœud \(I=1,\text{NB}2\) du vecteur nodal \(3\times (3\times \text{NB}2){Z}_{I}\) :

\({Z}_{I}=(\begin{array}{c}.\\ .\\ .\\ {z}_{I}\\ .\\ .\\ .\\ I=1,\text{NB}2\end{array})\)

Le vecteur nodal \({Z}_{I}\) est similaire à un vecteur de force interne et son expression est:

\({Z}_{I}={\int}_{{\Omega}_{z}}{\tilde{B}}_{3}^{T}\tilde{S}\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}\)

avec l’opérateur de la variation itérative des déformations virtuelles (troisième opérateur des déformations):

\({\tilde{B}}_{3}=\text{HQ}{\tilde{J}}^{-1}{\left[\frac{\partial N}{\partial \xi }\right]}_{3}\)

qui est mis en évidence par la relation:

\({\int}_{{\Omega}_{z}}{\tilde{B}}_{3}^{T}\tilde{S}\detJd{\xi}_{1}d{\xi}_{2}d{\xi}_{3}={\int}_{\Omega}\Delta \delta {\tilde{E}}_{\text{non classique}}\cdot \tilde{S}d\Omega\)

Remarque:

Pour l’intégration numérique dans l’épaisseur des différents termes de rigidité, nous retenons un schéma de Gauss à deux points tout comme en élasticité pour les coques linéaires géométriques [R3.07.04].