3. Principe des travaux virtuels#
3.1. Travail de déformation#
En 3D l’expression du travail de déformation s’écrit:
\(\begin{array}{c}{W}_{\text{def}}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}({\tilde{\varepsilon}}_{ij}{\tilde{\sigma}}_{ij})\text{dV}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}({\tilde{\varepsilon}}_{ij}{\tilde{C}}_{ijkl}{\tilde{\varepsilon}}_{kl})\text{dV}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}({\varepsilon}_{\text{rs}}{P}_{i}^{r}{P}_{k}^{s}{\tilde{C}}_{ijkl}{P}_{k}^{p}{P}_{l}^{q}{\varepsilon}_{\text{pq}})\text{dV}\\ =\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}({\varepsilon}_{\text{rs}}{C}_{\text{rspq}}{\varepsilon}_{\text{pq}})\text{dV}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}({\varepsilon}_{ij}{\sigma}_{ij})\text{dV}\end{array}\)
On vérifie que cette expression est invariante par rapport à la base dans laquelle les tenseurs sont exprimés. On choisit pour la suite de ce document de tout exprimer dans la base locale \(({T}_{k})\) en sachant que l’on passe du tenseur local de comportement au tenseur global de comportement par la relation \({C}_{\text{rspq}}={P}_{i}^{r}{P}_{k}^{s}{\tilde{C}}_{ijkl}{P}_{k}^{p}{P}_{l}^{q}\) .
L’expression générale du travail de déformation 3D pour l’élément de coque vaut:
\({W}_{\text{def}}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}(\tilde{\varepsilon}\tilde{\sigma})\text{dV}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}(\tilde{\varepsilon}\tilde{C}\tilde{\varepsilon})\text{dV}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}({\tilde{\varepsilon}}_{\text{mf}}\tilde{H}{\tilde{\varepsilon}}_{\text{mf}})\text{dV}+\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int}}({\tilde{\varepsilon}}_{\gamma}{\tilde{H}}_{\gamma}{\tilde{\varepsilon}}_{\gamma})\text{dV}\)
où \(S\) est la surface moyenne et la position dans l’épaisseur de la coque varie entre \(–h/2\) et \(+h/2\) . Il apparaît dans l’expression du travail de déformation une contribution de déformation en membrane‑flexion et une contribution de déformation en cisaillement transverse.
3.1.1. Énergie interne élastique de coque#
Elle s’exprime de la façon suivante:
\({\Phi}_{int}=\frac{1}{2}\underset{S}{\int}[\frac{E}{1-{\nu}^{2}}({\tilde{\varepsilon}}_{11}^{2}+{\tilde{\varepsilon}}_{22}^{2}+2\nu {\tilde{\varepsilon}}_{11}{\tilde{\varepsilon}}_{22})+G({\tilde{\gamma}}_{12}^{2}+k({\tilde{\gamma}}_{1}^{2}+{\tilde{\gamma}}_{2}^{2}))]\text{dV}\)
où k est le facteur de correction en cisaillement transverse défini au paragraphe 2 et \(G=\frac{E}{2(1+\nu )}\) .
3.1.2. Expression des efforts résultants#
On note:
\(N=(\begin{array}{c}{N}_{11}\\ {N}_{22}\\ {N}_{12}\end{array})=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}(\begin{array}{c}{\tilde{\sigma}}_{11}\\ {\tilde{\sigma}}_{22}\\ {\tilde{\sigma}}_{12}\end{array})\text{dz}\) ; \(M=(\begin{array}{c}{M}_{11}\\ {M}_{22}\\ {M}_{12}\end{array})=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}(\begin{array}{c}{\tilde{\sigma}}_{11}\\ {\tilde{\sigma}}_{22}\\ {\tilde{\sigma}}_{12}\end{array})z\text{dz}\) ; \(T=(\begin{array}{c}{T}_{1}\\ {T}_{2}\end{array})=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}(\begin{array}{c}{\tilde{\sigma}}_{13}\\ {\tilde{\sigma}}_{23}\end{array})\text{dz}\) .
\({N}_{11},{N}_{22},{N}_{12}\) sont les efforts généralisés de membrane (en \(N/m\) );
\({M}_{11},{M}_{22},{M}_{12}\) sont les efforts généralisés de flexion ou moments (en \(N\) );
\({T}_{1},{T}_{2}\) , sont les efforts généralisés de cisaillement ou efforts tranchants (en \(N/m\) );
L’expression des efforts résultants que l’on donne ici est une expression approchée qui ne tient pas compte de la courbure de la coque (cf. p.316 de [bib3]). L’erreur commise sur ces efforts est alors en \({h}^{2}/R\) où \(1/R\) est la courbure moyenne. Lorsque la coque devient plane, les expressions données ci‑dessus sont exactes et la signification des efforts résultants peut être retrouvée dans [R3.07.03]. Nous ne développerons pas plus cet aspect par ailleurs bien documenté dans [bib3] car la théorie de coque utilisée ici ne repose pas sur une formulation déformations généralisées/efforts résultants mais sur une formulation déformations tridimensionnelles/contraintes.
3.2. Travail des forces et couples extérieurs#
Le travail des forces s’exerçant sur la coque volumique s’exprime de la manière suivante:
\({W}_{\text{ext}}=\underset{S}{\int}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{F}_{v}.U\text{dV}+\underset{S}{\int}{F}_{s}.U\text{dS}+\underset{C}{\int}\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{F}_{c}.U\text{dz}\text{ds}\)
où \({F}_{v},{F}_{s},{F}_{c}\) sont les efforts volumiques, surfaciques et de contour s’exerçant sur la coque, respectivement. \(C\) est la partie du contour de la coque sur laquelle les efforts de contour \({F}_{c}\) sont appliqués.
a) |
Charges données dans le repère global: |
Avec la cinématique du [§2.2.1], on détermine ainsi:
\(\begin{array}{c}{W}_{\text{ext}}=\underset{S}{\int}({f}_{i}{u}_{i}+{c}_{i}{\beta}_{i})\text{dS}+\underset{C}{\int}({\phi }_{i}{u}_{i}+{\chi }_{i}{\beta}_{i})\text{ds}=\underset{S}{\int}({f}_{i}{u}_{i}+{c}_{i}({\tilde{\theta}}_{2}{t}_{\mathrm{1i}}-{\tilde{\theta}}_{1}{t}_{\mathrm{2i}}))\text{dS}\\ +\underset{C}{\int}({\phi }_{i}{u}_{i}+{\chi }_{i}({\tilde{\theta}}_{2}{t}_{\mathrm{1i}}-{\tilde{\theta}}_{1}{t}_{\mathrm{2i}}))\text{ds}=\underset{S}{\int}({f}_{i}{u}_{i}+{c}_{i}({\tilde{\theta}}_{2}{t}_{\mathrm{1i}}-{\tilde{\theta}}_{1}{t}_{\mathrm{2i}}))\text{dS}+\underset{C}{\int}(\phi u+\chi \beta )\text{ds}\end{array}\)
où sont présents sur la coque:
\({f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}\) : |
forces surfaciques agissant suivant les axes du repère cartésien global |
\({f}_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{F}_{v}.{e}_{i}\text{dz}+{F}_{s}.{e}_{i}\) |
où les \({e}_{i}\) sont les vecteurs de la base cartésienne globale. |
\({c}_{1},{c}_{2},{c}_{3}\) : |
couples surfaciques agissant autour des axes du repère global. |
\({c}_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\mathrm{zF}}_{v}.{e}_{i}\text{dz}\pm \frac{h}{2}{F}_{s}.{e}_{i}\) |
où les \({e}_{i}\) sont les vecteurs de la base cartésienne globale. |
et où sont présents sur le contour de la coque:
\({\phi }_{1,}{\phi }_{2,}{\phi }_{3}\) : |
forces linéiques agissant suivant les axes du repère cartésien global. |
\({\phi }_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{F}_{c}.{e}_{i}\text{dz}\) |
où les \({e}_{i}\) sont les vecteurs de la base cartésienne globale. |
\({\chi }_{1,}{\chi }_{2,}{\chi }_{3}\) : |
couples linéiques agissant autour des axes du repère global. |
\({\chi }_{i}=\underset{-h/2}{\overset{+h/2}{\int}}{\mathit{zF}}_{c}.{e}_{i}\text{dz}\) |
où les \({e}_{i}\) sont les vecteurs de la base cartésienne globale. |
Remarque:
On note aussi \(\phi\) et \(\chi\) les distributions linéiques de force et de moment appliquées sur le contour de l’élément fini.
b) |
Charges données dans le repère local: |
On a alors:
\(\begin{array}{cc}{W}_{\text{ext}}=& \underset{S}{\int}(\sum_{i=1}^{3}{\tilde{f}}_{\alpha}{t}_{\alpha i}{u}_{i}+{\tilde{c}}_{1}{\tilde{\beta}}_{1}+{c}_{2}{\tilde{\beta}}_{2})\text{dS}+\underset{C}{\int}(\sum_{i=1}^{3}{\tilde{\phi }}_{\alpha}{t}_{\alpha i}{u}_{i}+{\chi }_{1}{\tilde{\beta}}_{1}+{\chi }_{2}{\tilde{\beta}}_{2})\text{ds}=\\ & \underset{S}{\int}(\sum_{i=1}^{3}{\tilde{f}}_{\alpha}{t}_{\alpha i}{u}_{i}+{\tilde{c}}_{1}{\tilde{\theta}}_{2}-{\tilde{c}}_{2}{\tilde{\theta}}_{1})\text{dS}+\underset{C}{\int}(\sum_{i=1}^{3}{\tilde{\phi }}_{\alpha}{t}_{\alpha i}{u}_{i}+{\chi }_{1}{\tilde{\theta}}_{2}-{\chi }_{2}{\tilde{\theta}}_{1})\text{ds}\end{array}\)
Les expressions des \({\tilde{f}}_{1},{\tilde{f}}_{2},{\tilde{f}}_{3}\) et \({\tilde{c}}_{1},{\tilde{c}}_{2},{\tilde{c}}_{3}\) sont les analogues des expressions obtenues pour \({f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}\) et \({c}_{1},{c}_{2},{c}_{3}\) en remplaçant les \({e}_{i}\) par les \({t}_{i}\) .
Remarque:
Pour le couple \(c\) , la contribution \({\tilde{c}}_{3}\) associée à \(n\) est nulle en théorie de coque.
3.3. Travail des forces d’inertie#
Le travail dû aux quantités d’accélération s’écrit:
\({W}^{\text{ac}}={\int}_{\Omega}\rho \ddot{\mathit{OQ}}'\cdot \mathit{OQ}'\mathit{dv}\)
où \(\rho\) est la masse volumique.
On suppose que \(\stackrel{..}{\text{OQ}}'\) , le vecteur d’accélération du point \(Q'\) est de la forme suivante:
\(\stackrel{..}{\text{OQ}}'={\ddot{U}}_{k}{e}_{k}+W\mathrm{\wedge }\left[W\mathrm{\wedge }{x}_{k}^{0}{e}_{k}\right]\)
où l’on a négligé les forces de Coriolis et la correction de métrique dans l’épaisseur.
On note \({\ddot{U}}_{k}=\frac{{d}^{2}{U}_{k}}{{\text{dt}}^{2}}\) , et \(\Omega\) est le vecteur de rotation uniforme du repère global \((O,{e}_{k})\) (par rapport à un repère Galiléen qui a la même origine \(O\) que le repère global).
On exprime \(\Omega\) dans la base globale \(({e}_{k})\) :
\(\Omega ={\Omega}_{k}{e}_{k}\)
Pour le déplacement virtuel \(\text{OQ}'\) , on a:
\(\text{OQ}'={U}_{k}{e}_{k}\)
Le travail dû aux quantités d’accélération devient alors:
\({W}^{\text{ac}}=\underset{\Omega}{\int}\rho {U}_{k}{e}_{k}\left[{\ddot{U}}_{k}{e}_{k}+\Omega \mathrm{\wedge }(\Omega \mathrm{\wedge }{x}_{k}^{0}{e}_{k})\right]\text{dv}={W}_{\text{mass}}^{\text{ac}}+{W}_{\text{cent}}^{\text{ac}}\)
avec:
\({W}_{\text{masse}}^{\text{ac}}={\int}_{\Omega}\rho {U}_{k}{\ddot{U}}_{k}\text{dv}\)
et:
\({W}_{\text{cent}}^{\text{ac}}=\underset{\Omega}{\int}{\mathit{\rho U}}_{k}{e}_{k}\left[\Omega \mathrm{\wedge }(\Omega \mathrm{\wedge }{x}_{k}^{0}{e}_{k})\right]\text{dv}\)
3.4. Principe du travail virtuel#
Pour un chargement statique, il s’écrit de la manière suivante: \(\delta {W}_{\text{ext}}=\delta {W}_{\text{def}}\) où \({W}_{\text{ext}}\) est la somme des différents travaux élémentaires, correspondant aux différents chargements.
En dynamique harmonique (calculs de modes propres), le principe des travaux virtuels donne: \(\delta {W}_{\text{ext}}+\delta {W}_{\text{mass}}^{\text{ac}}=0\)