8. Conclusion#
Les éléments finis de coque courbes que nous décrivons ici sont utilisés dans les calculs de structures minces courbes dont le rapport épaisseur sur longueur caractéristique est inférieur à 1/10. Deux éléments finis de coque volumique s’appuyant sur des mailles quadrangulaires et triangulaires ont été introduits dans Code_Aster . Ils ont été choisis dans un but bien particulier: pouvoir représenter un comportement complet de structures courbes alors que jusqu’à présent on ne pouvait utiliser que des éléments à facettes planes qui induisaient des flexions parasites et nécessitaient de raffiner les maillages.
Ce sont des éléments pour lesquels les déformations et les contraintes dans le plan de l’élément varient linéairement avec l’épaisseur de la coque. La cinématique choisie est une cinématique coque de type Hencky-Mindlin-Naghdi permettant de faire intervenir l’énergie de cisaillement transverse. La distorsion associée au cisaillement transverse est constante dans l’épaisseur de l’élément. La correction variable sur Le coefficient \(k\) de cisaillement transverse offre une souplesse d’utilisation permettant de passer de la théorie de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI pour \(k=1\) , à celle de REISSNER pour \(k=5/6\) et à celle de LOVE_KIRCHHOFF (pour des structures très minces) si on choisit une valeur de \(k\) égale à \({10}^{6}\times h/L\) , \(h\) étant l’épaisseur et \(L\) une distance caractéristique (rayon de courbure moyen, zone d’application des charges….). Comme dans ce dernier cas, on utilise une méthode de pénalisation pour rendre petits les termes de cisaillement transverse, on peut, si l’on prend une valeur de \(k\) trop importante, rendre singulier le système numérique. Dans ce cas, il faut diminuer la valeur de \(k\) .
La valeur par défaut de \(k\) est de \(5/6\) . On l’utilise généralement lorsque la structure à mailler a un rapport épaisseur sur longueur caractéristique compris entre \(1/20\) et \(1/10\) . Pour des épaisseurs plus faibles où la distorsion transverse devient faible on peut vouloir utiliser une valeur de \(k={10}^{6}\times h/L\) (pour pouvoir faire des comparaisons avec des éléments de plaque DKT par exemple). Lorsque la distorsion transverse est non nulle, les éléments de coque ne satisfont pas les conditions d’équilibre 3D et les conditions aux limites sur la nullité des contraintes de cisaillement transverse sur les faces supérieure et inférieure de coque, compatibles avec une distorsion transverse constante dans l’épaisseur de la coque. Il en résulte ainsi qu’au niveau du comportement un coefficient de 5/6 pour une coque homogène corrige la relation habituelle entre les contraintes et la distorsion transverse de façon à assurer l’égalité entre les énergies de cisaillement du modèle 3D et du modèle de coque à distorsion constante. Dans ce cas, la flèche \({\tilde{u}}_{3}\) a pour interprétation le déplacement transverse moyen dans l’épaisseur de la coque et non pas le déplacement de la surface moyenne de la coque.
Pour des structures d’épaisseur faible afin d’éviter les phénomènes de blocage, on utilise la sous‑intégration réduite pour les parties membrane et cisaillement de la matrice de rigidité. Le choix sur les éléments finis s’est porté sur les éléments quadrangle Hétérosis Q9H et triangle T7H. En effet, parmi les éléments finis à fonctions d’interpolation quadratiques, la performance de l’élément Hétérosis Q9H est connue. Elle est notamment supérieure à celle des éléments Sérendip Q9S ou des éléments de Lagrange Q9. Cette performance repose toutefois sur l’intégration sélective de l’élément avec intégration réduite des termes de membrane et de cisaillement d’une part, et intégration normale des termes de flexion d’autre part. Par analogie avec Q9H, on a pris l’élément fini T7H comme élément de forme triangulaire. Toutefois, dans la mesure du possible, on utilisera le Q9H plutôt que le T7H qui est nettement moins performant.
Les comportements non-linéaires en contraintes planes sont disponibles pour ces éléments. On signale cependant que les contraintes générées par la distorsion transverse sont traitées élastiquement, faute de mieux. En effet la prise en compte rigoureuse d’un cisaillement transverse constant non nul sur l’épaisseur et la détermination de la correction associée sur la rigidité de cisaillement par rapport à un modèle satisfaisant les conditions d’équilibre et les conditions aux limites ne sont pas possibles et rendent donc l’utilisation de ces éléments, lorsque le cisaillement transverse est non nul, rigoureusement impossible en plasticité. Rigoureusement, pour des comportements non linéaires, il faudrait donc utiliser ces éléments dans le cadre de la théorie de Love-Kirchhoff.
Des éléments correspondant aux éléments mécaniques existent en thermique; les chaînages thermo‑mécaniques sont donc disponibles avec des éléments finis de coques thermiques à 7 et 9 nœuds. Des extensions de la formulation précédente présentée en annexe permettent aussi la prise en compte de l’anisotropie des matériaux et de la non-linéarité cinématique. Cette deuxième extension est opérationnelle dans Code_Aster et fait l’objet d’une documentation de référence [R3.07.05].