2. Formulation#

2.1. Géométrie de la coque#

Pour les éléments de coque volumique \(\Omega\) on définit une surface de référence \(\omega\) , ou surface moyenne, gauche (de coordonnées curvilignes \({\xi}_{1}{\xi}_{2}\) par exemple) et une épaisseur \(h({\xi}_{1}{\xi}_{2})\) mesurée selon la normale à la surface moyenne. Cette épaisseur doit être petite par rapport aux autres dimensions (extensions, rayons de courbure) de la structure à modéliser. La figure [Figure 2.1-a] ci‑dessous illustre notre propos.

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Figure 2.1-a

La position des points de la coque est donnée par les coordonnées curvilignes \(({\xi}_{1}{\xi}_{2})\) de la surface moyenne \(\omega\) et l’élévation \({\xi}_{3}\) par rapport à cette surface. \((O,{e}_{k})\) est le repère cartésien global, d’axes associés \(({x}_{k})\) .

2.1.1. Description géométrique de la surface moyenne#

Base naturelle locale et base cartésienne locale

Soit \(P\) un point quelconque de la surface moyenne de référence \(\omega\) , on a:

\(\text{OP}={x}_{k}^{0}({\xi}_{1},{\xi}_{2}){e}_{k}\)

On définit les vecteurs \({a}_{\alpha}\) de la base locale naturelle du plan tangent en \(P\) à \(\omega\) , attachés à \(P\) par:

\({a}_{\alpha}=\frac{\partial \text{OP}}{\partial {\xi}_{\alpha}}={\text{OP}}_{,\alpha }\)

et on définit la normale unitaire \(n\) par:

\(n=\frac{{a}_{1}\mathrm{\wedge }{a}_{2}}{\mathrm{\parallel }{a}_{1}\mathrm{\wedge }{a}_{2}\mathrm{\parallel }}\)

\({\xi}_{3}\) est la variable de position dans l’épaisseur associée à \(n\) .

\(\left({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3}\right)\) constitue la base naturelle attachée à \(P\) .

Le système de coordonnées curvilignes \(({\xi}_{1}{\xi}_{2})\) n’étant pas forcément orthogonal, la base \(({a}_{\alpha})\) n’est donc pas forcément orthogonale (et encore moins orthonormée). On définit donc une base locale orthonormée \({t}_{k}\) comme suit:

\({t}_{1}=\frac{{a}_{1}}{\mathrm{\parallel }{a}_{1}\mathrm{\parallel }},{t}_{2}=n\mathrm{\wedge }{t}_{1}{t}_{3}=n\)

et on note \(\left({s}_{1},{s}_{2}\right)\) le système de coordonnées associé à \(\left({t}_{1},{t}_{2}\right)\) .

Repère intrinsèque

La base locale \({t}_{k}\) serviraà définir le repère intrinsèque d’un élément coque en choisissant pour point P le premier sommet de l’élément et pour vecteur \({a}_{1}\) un vecteur coïncidant avec la projection du premier côté sur le plan tangent au premier sommet.

Calcul du tenseur de courbure

Le tenseur de courbure est lié à la variation de la normale sur \(\omega\) . Il est défini par ses composantes mixtes:

\({n}_{,\beta }\text{=-}{C}_{\beta}^{\gamma}{a}_{\gamma}\)

ou encore par ses composantes covariantes : \({C}_{\alpha \beta }\text{=-}{a}_{\alpha}.{n}_{,\beta }=n.{a}_{\alpha ,\beta }\) . Ce tenseur est symétrique puisque \({a}_{\alpha ,\beta }={a}_{\beta ,\alpha }\) . Sa trace \(\text{tr}{C}_{\alpha \beta }\) est la courbure moyenne et son déterminant la courbure gaussienne.

2.1.2. Description de la géométrie de la coque#

Soit \(Q\) un point quelconque de \(\Omega\) , volume de la coque d’épaisseur \(h\) considérée constante, on a:

\(\text{OQ}+\text{OP}+\text{PQ}=\text{OP}+\frac{{\xi}_{3}}{2}hn\)

où \({\xi}_{3}\in \left[-1,1\right]\) .

\(({\xi}_{1},{\xi}_{2},\frac{{\xi}_{3}}{2}h)\) constitue un système de coordonnées curvilignes de \(\Omega\) .

On peut également écrire \(\text{OQ}\) en fonction de ses composantes \(({x}_{k})\) dans la base globale \(({e}_{k})\) :

\(\text{OQ}={x}_{k}{e}_{k}\)

Base naturelle locale, base orthonormée locale et tenseur métrique

Comme pour \(P\) , on définit la base naturelle de l’espace 3D \(({g}_{k})\) attachée à \(Q\) par:

\({g}_{\alpha}=\frac{\partial \text{OQ}}{\partial {\xi}_{\alpha}}={a}_{\alpha}+{\xi}_{3}\frac{h}{2}{n}_{,\alpha },{g}_{3}=\frac{{g}_{1}\mathrm{\wedge }{g}_{2}}{\mathrm{\parallel }{g}_{1}\mathrm{\wedge }{g}_{2}\mathrm{\parallel }}=n\)

Comme \(({g}_{k})\) n’est pas forcément orthogonale, on définit une base locale orthonormée \(({T}_{k})\) comme suit:

\({T}_{1}=\frac{{g}_{1}}{\mathrm{\parallel }{g}_{1}\mathrm{\parallel }},{T}_{2}=n\mathrm{\wedge }{T}_{1},{T}_{3}=n\)

et on note \(({x}_{k})\) le système de coordonnées associées à \(({T}_{k})\) .

On appellera \(({T}_{k})\) la base orthonormée locale, et \(({x}_{k})\) les coordonnées dans cette base orthonormée locale.

Par définition, on a:

\({T}_{k}=\frac{\partial \text{OQ}}{\partial {\tilde{x}}_{k}}=\frac{\partial {x}_{j}}{\partial {\tilde{x}}_{k}}{e}_{j}={T}_{k}^{j}{e}_{j}\)

avec \(\frac{\partial {x}_{j}}{\partial {\tilde{x}}_{k}}={T}_{k}^{j}\) les composantes de \(({T}_{k})\) dans la base globale \(({e}_{j})\) . (Ce sont aussi les composantes de la matrice de passage de \(({T}_{k})\) à \(({e}_{j})\) puisque la matrice de passage est orthogonale. Ainsi si \({T}_{k}={T}_{k}^{j}{e}_{j}\) on a aussi \({e}_{k}={T}_{j}^{k}{T}_{j}\) ).

On définit le tenseur métrique \(G\) associé à \(Q\) par ses composantes déduites des produits scalaires des vecteurs de la base orthonormée locale:

\({G}_{ij}={T}_{i}.{T}_{j}\)

Ce tenseur \(G\) vaut l’identité \(\text{Id}\) .

2.1.3. Remarque#

Les figures [Figure 2.1.3-a] et [Figure 2.1.3-b] illustrent les grandeurs géométriques mentionnées ci‑dessus.

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Figure 2.1.3-a

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Figure 2.1.3-b

Il est à noter que les deux bases orthonormées locales, celle associée à la surface moyenne \(({t}_{k})\) et l’autre au volume de la coque \(({T}_{k})\) ne sont confondues que lorsque la courbure est nulle. Dans ce cas les éléments de coque sont assimilables à des éléments de plaque

2.2. Théorie des plaques et des coques#

Ces éléments reposent sur la théorie des plaques et des coques selon laquelle:

2.2.1. Cinématique#

2.2.1.1. Champ de déplacement#

Les sections droites qui sont les sections perpendiculaires à la surface moyenne restent droites; les points matériels situés sur une normale à la surface moyenne non déformée restent sur une droite dans la configuration déformée. Il résulte de cette approche que les champs de déplacement varient linéairement dans l’épaisseur de la coque .

Si l’on note \(Q'\) , la position de \(Q\) après déformation, on a:

\(\text{OQ}'=\text{OQ}+\text{QQ}'=\text{OQ}+U(Q)\)

où le champ de déplacement choisi, correspondant à la cinématique de Hencky-Mindlin, s’écrit:

\(U(Q)=u(P)+\frac{{\xi}_{3}}{2}h\beta (P)\) avec \(\beta (P).n=0\)

où \(u(P)\) et \(\beta (P)\) sont respectivement le vecteur déplacement et le vecteur rotation de \(P\) , projection de \(Q\) sur la surface moyenne de la coque. Le fait que \(\beta (P).n=0\) indique que l’on ne prend pas en compte dans cette cinématique les rotations de la coque autour de sa normale.

Notation:

On note \(\stackrel{}{˜}\) les quantités exprimées dans les bases cartésiennes locales \(({t}_{k})\) ou \(({T}_{k})\) pour les points \(P\) et \(Q\) respectivement. Il en résulte que:

  • le vecteur déplacement tridimensionnel \(U\) peut s’écrire \(U={\tilde{U}}_{k}{T}_{k}\) ou encore \(U={U}_{k}{e}_{k}\) , où il est exprimé respectivement dans sa base orthonormée locale ou dans la base cartésienne globale,

  • le vecteur déplacement de la surface moyenne \(u\) peut s’écrire \(u={\tilde{u}}_{k}{t}_{k}\) ou bien \(u={u}_{k}{e}_{k}\) selon qu’il est exprimé dans sa base orthonormée locale ou dans la base cartésienne globale,

  • le vecteur rotation de la surface moyenne s’écrit \(b={\tilde{\beta}}_{\alpha}{t}_{\alpha}\) dans sa base orthornormée locale. \(\beta\) étant la rotation de la normale \(\mathrm{n}\) (à la surface moyenne), on écrit aussi \(\beta =\theta \mathrm{\wedge }n\) avec \(\theta\) , vecteur rotation de la surface moyenne, tel que \(\theta ={\tilde{\theta}}_{\alpha}{t}_{\alpha}\) . L’équivalence des deux formulations montre que \({\tilde{\beta}}_{1}={\tilde{\theta}}_{2},{\tilde{\beta}}_{2}=-{\tilde{\theta}}_{1}\) .

2.2.1.2. Expression des déformations tridimensionnelles#

Le tenseur de déformation est calculé dans la base cartésienne orthonormée locale \(({T}_{k})\) . Il est défini comme la demi-différence des tenseurs métriques associés aux bases orthonormées locales après et avant déformation. Le tenseur métrique associé à cette base dans l’état non-déformé est simplement l’identité \(\text{Id}\) , tandis que le tenseur métrique de l’état déformé est \({\overline{G}}_{ij}={T}_{i}'.T{'}_{j}\) avec \(T{'}_{k}=\frac{\partial \text{OQ}'}{\partial {\tilde{x}}_{k}}\) .

Les composantes du tenseur de déformation dans \(({T}_{k})\) sont ainsi données par:

\(\begin{array}{c}{\tilde{e}}_{\text{αβ}}=\frac{1}{2}(\frac{\P {\tilde{U}}_{\alpha}}{\P {\tilde{x}}_{\beta}}+\frac{\P {\tilde{U}}_{\beta}}{\P {\tilde{x}}_{\alpha}})\\ {\tilde{e}}_{\mathit{\alpha 3}}=\frac{1}{2}(\frac{\P {\tilde{U}}_{\alpha}}{\P {\tilde{x}}_{3}}+\frac{\P {\tilde{U}}_{3}}{\P {\tilde{x}}_{\alpha}})\end{array}\)

Les équations ci-dessus sont des relations linéaires déformations-déplacements. Les variables de déplacement sont les composantes \({\tilde{U}}_{k}\) .

Les composantes \({\tilde{\varepsilon}}_{kl}\) du tenseur \(\tilde{\varepsilon}\) peuvent aussi s’exprimer en fonction des composantes dans le repère global \(\frac{\partial {U}_{p}}{\partial {x}_{m}}\) . En effet comme dans le repère global \(\varepsilon ={\varepsilon}_{ij}{e}^{i}\times {e}^{j}={\varepsilon}_{ij}{T}_{k}^{i}{T}_{l}^{j}{T}^{k}\times {T}^{l}={\tilde{\varepsilon}}_{kl}{T}^{k}\times {T}^{l}\) on en déduit donc immédiatement que: \({\tilde{\varepsilon}}_{kl}={\varepsilon}_{ij}{T}_{k}^{i}{T}_{l}^{j}\) . \(({e}^{k})\) et \(({T}^{k})\) sont les bases contravariantes associées à \(({e}_{k})\) et \(({T}_{k})\) respectivement telles que: \({e}^{i}.{e}_{j}={\delta}_{ij}\) et . \({T}^{i}.{T}_{j}={\delta}_{ij}\) Comme les bases \(({e}_{k})\) et \(({T}_{k})\) sont orthonormées, leurs bases contravariantes associées sont confondues avec elles-mêmes. Ainsi de la même manière que l’on avait \({T}_{k}={T}_{k}^{j}{e}_{j}\) on retrouve \({T}^{k}={T}_{k}^{j}{e}^{j}\) .

Si l’on note \(T={T}_{k}^{i}{e}_{i}\times {T}^{k}\) alors \(T\times T:\varepsilon ={\tilde{\varepsilon}}_{kl}{T}^{k}\times {T}^{l}=\tilde{\varepsilon}\) . Pour la suite on désigne par \(\tilde{\varepsilon}\) l’expression du tenseur des déformations dans le repère orthonormé local et par \(\varepsilon\) l’expression du même tenseur dans le repère global. La relation de passage de l’un à l’autre est donnée ci-dessus en terme de tenseurs.

Remarques:

Les termes \({T}_{k}^{j}\) contiennent les termes de courbure de la coque \(\Omega\) .

On note dans les relations déformations-déplacements que la composante \({\tilde{\varepsilon}}_{33}\) n’est pas déterminée par la cinématique. Ceci est à associer à l’hypothèse de nullité des contraintes normales transverses \({\tilde{\sigma}}_{33}=0\) justifiée par le comportement des coques.

Dans la littérature (voir par exemple [bib3]), la modélisation des coques par l’approche basée sur les composantes curvilignes \({\tilde{u}}_{k}\) du déplacement fait apparaître explicitement les grandeurs de courbure au niveau de l’expression du tenseur de déformation [bib5]. Comme, en général, la géométrie de la coque n’est pas connue de façon explicite, on doit donc déterminer numériquement les caractéristiques géométriques que sont les vecteurs \({a}_{\alpha},{g}_{\alpha}\) , … et les courbures \({C}_{\alpha \beta }\) . Avec la méthode des éléments finis il est nécessaire de dériver deux fois les fonctions de forme (voir page 20 de [bib5] et [R3.07.02]) pour calculer les \({C}_{\alpha \beta }\) . Ceci peut rendre leur calcul imprécis selon la famille des fonctions de forme choisie. L’erreur commise dépend de ces dernières (polynômes linéaires, quadratiques, cubiques….) et devient indépendante du raffinement du maillage. Une formulation faisant intervenir la dérivation première des fonctions de forme (calcul de pentes) ne présente pas cet inconvénient. Ainsi l’erreur conséquente aux calculs des termes de courbure dans une formulation basée sur l’approche curviligne ne diminue pas avec le raffinement du maillage alors que pour la formulation décrite ci-dessus elle devient petite en augmentant le nombre d’éléments finis. Au vu des observations précédentes, l’approche dite curviligne n’a pas été suivie.

2.2.2. Loi de comportement#

Le comportement des coques est un comportement 3D en « contraintes planes ». Il lie les composantes des contraintes et des déformations, sous forme de vecteurs, dans la base orthonormée locale. La contrainte transversale \({\tilde{\sigma}}_{33}\) est nulle car considérée comme négligeable par rapport aux autres composantes du tenseur des contraintes (hypothèse des contraintes planes). La loi de comportement la plus générale s’écrit alors ainsi:

\((\begin{array}{c}{\tilde{\sigma}}_{11}\\ {\tilde{\sigma}}_{22}\\ {\tilde{\sigma}}_{12}\\ {\tilde{\sigma}}_{13}\\ {\tilde{\sigma}}_{23}\end{array})=\tilde{C}(\varepsilon ,\mu )(\begin{array}{c}{\tilde{\varepsilon}}_{11}-{\tilde{\varepsilon}}_{11}^{\text{th}}\\ {\tilde{\varepsilon}}_{22}-{\tilde{\varepsilon}}_{22}^{\text{th}}\\ {\tilde{\gamma}}_{12}\\ {\tilde{\gamma}}_{1}\\ {\tilde{\gamma}}_{2}\end{array})\)

où \(\tilde{C}(\varepsilon ,\mu )\) est la matrice de comportement locale en contraintes planes et \(\mu\) représente l’ensemble des variables internes lorsque le comportement est non linéaire.

Pour des comportements où les distorsions transverses sont découplées des déformations de membrane et de flexion, \(\tilde{C}(\varepsilon ,\mu )\) se met sous la forme:

\(\tilde{C}=(\begin{array}{cc}\tilde{H}& 0\\ 0& {\tilde{H}}_{\gamma}\end{array})\)

où \(\tilde{H}(\varepsilon ,\mu )\) est une matrice de comportement de membrane-flexion \(3\times 3\) et \({\tilde{H}}_{\gamma}(\varepsilon ,\mu )\) une matrice de comportement de distorsion transverse \(2\times 2\) . Les deux phénomènes étant découplés on peut aussi écrire le comportement sous la forme:

\((\begin{array}{c}{\tilde{\sigma}}_{\text{mf}}\\ {\tilde{\sigma}}_{g}\end{array})=\tilde{C}(\varepsilon ,\mu )(\begin{array}{c}{\tilde{\varepsilon}}_{\text{mf}}\\ \tilde{\gamma}\end{array})\) avec:

\({\tilde{\sigma}}_{\text{mf}}=(\begin{array}{c}{\tilde{\sigma}}_{11}\\ {\tilde{\sigma}}_{22}\\ {\tilde{\sigma}}_{12}\end{array})=\tilde{H}(\varepsilon ,\mu )(\begin{array}{c}{\tilde{\varepsilon}}_{11}-{\tilde{\varepsilon}}_{11}^{\text{th}}\\ {\tilde{\varepsilon}}_{22}-{\tilde{\varepsilon}}_{22}^{\text{th}}\\ {\tilde{\gamma}}_{12}\end{array})=\tilde{H}(\varepsilon ,\mu ){\tilde{\varepsilon}}_{\text{mf}}\) et \({\tilde{\sigma}}_{\gamma}=(\begin{array}{c}{\tilde{\sigma}}_{13}\\ {\tilde{\sigma}}_{23}\end{array})={\tilde{H}}_{\gamma}(\varepsilon ,\mu )(\begin{array}{c}{\tilde{\gamma}}_{1}\\ {\tilde{\gamma}}_{2}\end{array})={\tilde{H}}_{\gamma}(\varepsilon ,\mu )\tilde{\gamma}\)

On restera désormais dans le cadre de cette hypothèse.

Pour un comportement élastique linéaire homogène isotrope, on a ainsi:

\(\tilde{C}=\frac{E}{1-{\nu}^{2}}(\begin{array}{ccccc}1& \nu & 0& 0& 0\\ \nu & 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1-\nu }{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{k(1-\nu )}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{k(1-\nu )}{2}\end{array})\)

où \(k\) est facteur de correction de cisaillement transverse dont la signification est donnée dans la documentation de référence des éléments de plaque [R3.07.03], et [bib4] pour plus de détails. Ce coefficient vaut \(5/6\) pour une théorie de type Reissner et \(1\) dans le cadre de la théorie de Hencky‑Mindlin. Enfin, si on choisit \(k\) très grand, on se ramène à une théorie de type Love-Kirchhoff. On neutralise la distorsion transverse par pénalisation de l’énergie associée en prenant \(k={10}^{6}h/R\) (\(h\) étant l’épaisseur de la coque et \(R\) son rayon de courbure moyen).

Toujours dans le cas isotrope, les deux seules composantes non nulles de \({\tilde{\varepsilon}}^{\text{th}}\) sont \({\tilde{\varepsilon}}_{ii}^{\text{th}}\) pour \(i=1,2\) , telles que:

\({\tilde{\varepsilon}}_{ii}^{\text{th}}=\alpha (T-{T}^{\mathit{réf}})\)

où \(\alpha\) est le coefficient de dilatation thermique et \(T-{T}^{\mathit{réf}}\) la différence de température supposée connue.

Remarque:

On ne décrit pas la variation de l’épaisseur ni celle de la déformation transversale \({\tilde{e}}_{33}\) que l’on peut cependant calculer en utilisant l’hypothèse précédente de contraintes planes. Par ailleurs aucune restriction n’est faite sur le type de comportement en contraintes planes que l’on peut représenter.

De la même manière que \(T\times T:\varepsilon =\tilde{\varepsilon}\) on peut en déduire \((T\times T{)}_{\text{mf}}:\varepsilon ={T}_{\text{mf}}:\varepsilon ={\tilde{\varepsilon}}_{\text{mf}}\) et \((T\times T{)}_{\gamma}:\varepsilon ={T}_{\gamma}:\varepsilon ={\tilde{\varepsilon}}_{\gamma}\) , ce qui permet de retrouver \({\tilde{\varepsilon}}_{\text{mf}}\) et \({\tilde{\varepsilon}}_{\gamma}\) à partir du tenseur des déformations dans le repère global.